行列式几何意义，
维平行体的有向体积：
任意
法线与最后一个向量的内积，就是
。
上图中的体积就是：
假设
而
构造下面行列式，高维外积：
利用拉普拉斯展开可以得到：
显然，
其中，
旋转矩阵是正交矩阵。必然存在一个旋转矩阵
其中
此时，
所以
这就归约到
只要当
根据二维叉乘的定义：
多元函数求积分中的变量代换：
当我们计算多元函数积分时
有时候我们会进行变量替换。即使用
其中：
令
如何替换呢？我们在
这就得到了从：
这个矩阵就称之为雅可比矩阵：
根据行列式可以表示
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