title: 【概率论】5-7:Gama分布(The Gamma Distributions Part I)
categories:
– Mathematic
– Probability
keywords:
– The Gamma Distributions
toc: true
date: 2018-03-31 18:33:39
Abstract:
本文介绍Gamma函数和Gamma分布，本课第二部分介绍指数分布
Keywords:
The Gamma Distributions
开篇废话
今天的废话就是如果看书的时候没看透彻，写博客的时候就会不知所言，所以一定要学透了再总结，没学好就总结，会逻辑混乱
本文介绍了另一个非常有用的连续随机变量的分布族——Gamma分布，学习Gamma分布的适用场景和部分性质，以及一个贯穿始终的例子，排队时间，排队不只是人的排队，在计算机高性能计算，比如CUDA中，任务的排队也是有的，所以这个模型适用场景还是比较多的，虽然可能不如正态分布在自然界中那么普遍，但是在正随机变量中，Gamma分布族在连续分布中举足轻重。
The Gamma Function
在提出Gamma分布之前，我们先来认识一个非常有趣的函数，这个函数叫做Gamma函数。
首先来看个例子：
我们在给一灯泡的寿命建模，根据我们经验，这个灯泡的寿命越长，发生的概率越小，时间越短，则概率越高，寿命是0的我们不考虑，我们只考虑从0开始但不包括零，我们用下面的这个模型建模是合理的，之所以说是合理的而不是唯一的，是因为这个模型不具备唯一性：
f(x)={e−xforx>00otherwise f(x)= \begin{cases} e^{-x}&\text{for} x>0\\ 0&\text{otherwise} \end{cases}
f
(
x
)
=
{
e
−
x
0
for
x
>
0
otherwise
我们在没有大量数据或者试验情况下无法验证模型正确性，但是从目前来看好像和我们知道的先验知识吻合，所以我们就假定其是合理的，然后我们求这个灯泡的均值和方差：
E(X)=∫0∞xe−xdxVar(X)=∫0∞x2e−xdx E(X)=\int^{\infty}_{0}xe^{-x}dx\\ Var(X)=\int^{\infty}_{0}x^2e^{-x}dx
E
(
X
)
=
∫
0
∞
x
e
−
x
d
x
V
a
r
(
X
)
=
∫
0
∞
x
2
e
−
x
d
x
注意，第二个方差的计算我觉都有点问题，因为按照这个积分，是把均值当做
μ=0\mu=0
μ
=
0
来计算的，但是均值是从0到正无穷的积分，所以均值不会是0，所以这个方差公式我们留意一下（如果有人知道我哪错了，可以给我留言，谢谢）
这个均值的计算是一个有趣的函数。
我们来回忆一下，我们的函数都是什么样子的，我们目前学过的函数大多数都是由初等函数经过计算得到的，比如
ex2+αsin(y)e^{x^2+\alpha sin(y)}
e
x
2
+
α
s
i
n
(
y
)
是指数计算组合了多项式和三角函数得到的一个新函数，当然，我们学了积分，微分运算后，我们可以用积分来生成新的函数，比如，我们把上面求均值的积分，定义为一个新函数，这个函数叫做Gamma函数
Definition 5.7.1 The Gamma Function.For each positive number
α\alpha
α
,let the value
Γ(α)\Gamma(\alpha)
Γ
(
α
)
be defined by the following integral:
Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdx=1 \Gamma(\alpha)=\int^{\infty}_{0}x^{\alpha-1}e^{-x}dx=1
Γ
(
α
)
=
∫
0
∞
x
α
−
1
e
−
x
d
x
=
1
The function
Γ\Gamma
Γ
defined by Eq.(5.7.1) for
α>0\alpha>0
α
>
0
is called the gamma function.
这就是Gamma函数的定义，这个希腊字母
Γ\Gamma
Γ
读作 “Gamma” 注意，这个函数的自变量是
α\alpha
α
而
xx
x
只是积分中的一个哑变量，没作用，可以写作任何变量。
在举个? ：
Γ(1)=∫0∞x1−1e−xdx=1 \Gamma(1)=\int^{\infty}_{0}x^{1-1}e^{-x}dx=1
Γ
(
1
)
=
∫
0
∞
x
1
−
1
e
−
x
d
x
=
1
上面的例子和接下来内容都说明了
Γ(α)\Gamma(\alpha)
Γ
(
α
)
对于所有
α>0\alpha>0
α
>
0
都是有限的。
Theorem 5.7.1 If
α>1\alpha>1
α
>
1
then
Γ(α)=(α−1)Γ(α−1) \Gamma(\alpha)=(\alpha-1)\Gamma(\alpha-1)
Γ
(
α
)
=
(
α
−
1
)
Γ
(
α
−
1
)
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