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一.推荐系统
推荐系统如电影推荐系统的作用其实就是先对用户未评分的电影做预测评分，使数据完整，然后降序排序评分，为用户推荐评分前几名的物品。
如下图所示用户电影评价数据，其中用户2、用户3、用户5是某网站新注册用户，对新用户预测电影评价并做出推荐。
例如数据[3,1,3,’空白’,3,6,100]，类似于机器学习中处理缺失数据，方法之一是用平均值、中值、分位数、众数、随机值等替代。.
推荐系统推荐的过程其实也可以理解为在填补缺失值，而为每一个用户做出精准的个性化推荐，就不能简单的将缺失值替换为平均值(非个性化推荐)，而是要计算加权平均值(个性化推荐)。
假如我们选择替换缺失值为算数平均值，即’空白’=(3+1+3+3+6+100)/6=19.3 但这样的替换前提是认为数据的所有可能值发生的概率都是一样的，一视同仁的结果并不准确，从数据分布来看，取’3’比取’100’的机会大得多，所以我们计算平均值时也要考虑数据发生的概率，即应该计算其期望或者称为加权平均更准确而不是算数平均。加权平均值是一个更准确的分数度量，能体现相对重要性。加权平均值往往用于投资组合，等级评分和其他统计数据。
这样填充缺失值的过程其实也可以看作聚类或者回归的过程。
加权平均值中的权：1、数据出现的个数，2、数据所占的百分比。在推荐系统中，‘权’：w可以视为相似度(电影之间相似度或者用户之间相似度)，x则为用户对电影的评分。
如预测用户2对第一部电影的评分，分别计算film1与film2、3、4的相似度：p12,p13,p14，视为权重。设用户2对film2、3、4的评分分别为，f2,f3,f4，
则用户2对第一部电影的评分为f1=(p12*f2+p13*f3+p14*f4)/sum(p12,p13,p14)
上面的预测步骤中计算的相似度是第一电影与其他所有电影作比较，每一次比较需要比较全部属性，然而实际项目中，并不需要这么多，只需要寻找电影中的一些典型的有代表的属性作比较也能得到准确的结果，这样也能减少计算量。
那么如何寻找呢？
这里就可以使用SVD对用户电影评价数据做奇异值分解，寻找电影中有代表字段属性，其实也可以寻找用户中有代表字段属性，总之，SVD可以寻找到各个维度方向上的的代表量。设矩阵A为用户的电影评价数据矩阵，其中行为用户，列为电影。对矩阵A做奇异值分解，如下所示
其中
U
可视为用户的特征向量矩阵，
V
可视为电影的特征向量矩阵。注意：列向量为特征向量。对角矩阵
S
中的对角线值即奇异值(降序排序)的大小可以视为对特征用户和特征电影的权重影响。注意对角矩阵S对角线的奇异值需降序排序，特征向量根据对应的奇异值排序。
在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵，依然能很好得表达原始样本信息。
在本例中，如下图所示，假设我们发现前3个奇异值之和就占了全部的奇异值之和的90%以上的比例，据此，我们可以
选取前3维V特征矩阵或者U特征矩阵从而实现降维处理
(注意：列向量为特征向量)，如图中黄色虚线所示
更多关于奇异值分解的讲解，见
文章
协同过滤推荐算法评分机制
回到推荐系统，在训练协同过滤算法前，为了能够计算相似度，首先需要将数据集中的缺失评分项填充为0，如下图所示。
评分机制
：
- 评分>0：用户对该电影的喜欢程度
- 评分<0：用户对该电影的厌恶程度
- 评分=0：用户未看过该电影
奇异值分解
然后我们对数据集做奇异值分解，如下图所示
然后比较电影之间的相似度，我们选取电影的特征矩阵
前k行属性(注意：列向量为特征向量)
这样计算相似度时，电影1只需要比较电影2、电影3和电影4各自的部分属性就可以了，
相似度计算
如何衡量物品之间相似程度？本文选用皮尔逊相关系数来计算相似度，公式如下，
式中，Cov(
x
,
y
)表示变量
x
与
y
的协方差，
分别表示变量
x
与
y
的的标准差。更多关于相似度的内容见
文章
。
预测评分过程如下：
此外，我们不仅可以通过比较相似电影特点来为用户做出推荐，也可以比较相似用户的喜好来为用户做出推荐，过程与上面相似。
推荐结果排序策略
在完成预测评分后(对缺失值的填充)，可以根据预测评分的高低对推荐结果做排序，在排序后的推荐中选出前k名的推荐产品列表推送给用户。然而在实际的推荐系统中，并不能仅仅依靠某个属性(不如预测评分)结果来排序，因为基于
首位效应
，用户会把大量的注意力放在推荐产品列表开头的一些产品，因此由用户的关注所形成的推荐结果排序好坏会直接影响到推荐系统的好坏和用户购买的意愿。
对推荐产品列表进行排序的原理基本用的是
多属性效用
理论，也就是根据每个产品对当前用户的实际效用进行评价。因而每个产品都会根据事先定好的维度来进行评价，比如电脑这一块主要考虑的是CPU处理器和价格，其他一些像化妆品类别主要考虑就是品牌、热销情况等。再结合用户对于各个维度的
偏好
所占的百分比来计算出最终用户对于产品的偏好程度。比如在电影推荐系统，推荐结果除了要考虑根据物品相似度的评分预测结果还要结合用户对特定类型电影的偏好程度，最新得到一个偏好分数，产品偏好得分公式如下：
对应于电影推荐系统中
式中，n表示共预测n部电影，
为根据相似度计算的评分，
表示用户对第n部电影对应的电影类型的偏好程度。sort这里表示对偏好得分的做降序排序。
协同过滤推荐
通过用户与用户或者电影与电影的数据进行比对来实现推荐称为协同过滤推荐。当知道了两个用户或两个物品之间的相似度，我们就可以利用已有的数据来预测未知用户的的喜好。推荐系统应该是基于物品的相似度策略还是基于用户的相似度策略，来为用户做出推荐，取决于用户或物品的数目。基于物品相似度计算的时间会随物品数量的增加而增加，基于用户相似度计算的时间会随用户数量的增加而增加。具体使用哪种策略，要结合实际使用场景。对于大部分产品导向的推荐引擎而言，用户数量往往远大于物品的数量，我们更倾向于使用基于物品的相似度计算方法。
SVD算法缺陷
SVD矩阵因子分解在实际推荐系统中很少使用，因为它很难进行在线计算，以至于不能很好地处理用户的实时行为反馈，也就没有实时处理能力。而且对于大型的推荐系统而言，直接进行协同过滤或者SVD矩阵因子分解的话，可能会存在计算的复杂度过高的问题，这个时候就可以考虑K-means聚类算法做处理，将大量的评分数据进行分组，将每一组的所有数据归为一类或一个因子，然后再进行协同过滤处理；或者也可以采用离线数据预处理的方式，即线下提前计算物品相似度并存入数据库，然后实时调用即可。
协同过滤推荐算法缺陷
-
协同过滤推荐算法关键是评分矩阵，当用户对物品评分较少或者说几乎不评分导致评分矩阵过于稀疏时，如下图所示，推荐结果的准确性将大打折扣。此外，在某些行业中金融产品、房产、手机、汽车等等，很难获取到大量用户的评分数据(用户不大可能会对已经购买到的(过时的产品)再进行一个评价或反馈了)，此时协同过滤推荐算法将不再使用了(巧妇难为无米之炊)。
-
评分矩阵相当”稠密”时，实际需要计算数据可能是数以亿计的，这就导致算法的时间复杂度不太乐观。对于一些需要实时推荐的平台而言，推荐效果会很糟糕。
代码
图像压缩
什么压缩？如何使用SVD奇异值分解对图像压缩？
如下图，我们将我们也可以用最大的前k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵，图片依然能很好得表达原始样本信息，同时占用内存也减小，这个过程即可视为图像压缩。此时
SVD的降维体现在“近似”上
，保留前k个奇异值及其对应的奇异矢量，算出的就是在秩为k的所有矩阵中达到逼近原有矩阵，如下所示
前面的SVD用于推荐系统不太直观，而图像压缩这可以很直观得看出SVD对图像奇异值分解的作用。如下图动图所示，展示了选取的奇异值占了全部的奇异值之和的0~100%时相应的图像变化
注意图像转换为矩阵是三维矩阵，即每个像素点都有3个值表示 ，所以就是3通道图。因此对图像矩阵数据做奇异值分解需要对3个通道分别做奇异值分解。伪代码如下
注意:图片有3通道，即m*n*3矩阵，需分别对每个通道做奇异值分解。
import numpy as np
from PIL import Image
#读取照片
img = Image.open(path)
#照片转为矩阵
img = np.array(img)
imgData = np.zroes_like(img)#照片有3个通道，imgData用来存储3个通道的奇异值分解
#奇异值分解
for i in range(3):
#选取90%的奇异值占比索引，k
U, S, V = np.linalg.svd(imgData[:,:,i]) # V已转置
cumsum = np.cumsum(S)
sum_list = cumsum / sum(S)
k = np.where(sum_list>=0.9)[0][0]
img[:,:,i] = U[:,:k]@np.diag(S[:k])@V[:k,:]
return img
代码