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分析一个单服务台排队系统

1、排队系统的一般理论

一般的排队系统都有三个基本组成部分：

（1） 到达模式：指动态实体（顾客）按怎样的规律到达，描写实体到达的统计特性。通常假定顾客总体是无限的。

（2） 服务机构：指同一时刻有多少服务设备可以接纳动态实体，它们的服务需要多少时间。它也具有一定的分布特性。通常，假定系统的容量（包括正在服务的人数加上在等待线等待的人数）是无限的。（3） 排队规则：指对下一个实体服务的选择原则。通用的排队规则包括先进先出（FIFO），后进先出（LIFO），随机服务（SIRO）等。

2、离散系统常用的仿真策略

（1）事件调度法（Event Scheduling）：

基本思想：离散事件系统中最基本的概念是事件，事件发生引起系统状态的变化，用事件的观点来分析真实系统。通过定义事件或每个事件发生系统状态的变化，按时间顺序确定并执行每个事件发生时有关逻辑关系。

（2）活动扫描法：

基本思想：系统有成分组成，而成分又包含活动。活动的发生必须满足某些条件，且每一个主动成分均有一个相应的活动例程。仿真过程中，活动的发生时间也作为条件之一，而且较之其他条件具有更高的优先权。

（3）进程交互法：

基本思想：将模型中的主动成分历经系统所发生的事件及活动，按时间发生的顺序进行组合，从而形成进程表。系统仿真钟的推进采用两张进程表，一是当前事件表，二是将来事件表。

3、本实验采用单服务台模型

（1） 到达模式：顾客源是无限的，顾客单个到达，相互独立，一定时间的到达数服从指数分布。

（2） 排队规则：单队，且对队列长度没有限制，先到先服务的 FIFO规则。

（3） 服务机构：单服务台，各顾客的服务时间相互独立，服从相同的指数分布。

（4） 到达时间间隔和服务时间是相互独立的。

4、仿真运行方式

仿真运行方式可分为两大类：

（1）终止型仿真：仿真的运行长度是事先确定的由于仿真运行时间长度有限，系统的性能与运行长度有关，系统的初始状态对系统性能的影响是不能忽略的。为了消除由于初始状态对系统性能估计造成的影响，需要多次独立运行仿真模型。

（2）稳态型仿真：这类仿真研究仅运行一次，但运行长度却是足够长，仿真的目的是估计系统的稳态性能。

5、系统设计

采用事件调度法，事件调度法共有三种事件：即“顾客到达”、“服务开始”、“服务结束”。其中“服务开始”为条件事件，其条件是“顾客队列长度不为零且服务员空闲”。在用事件调度法时，不单独考虑条件事件，而将其并入非条件事件中。因此，需要考虑的事件例程有“顾客到达时间例程”和 “服务结束时间例程”。“顾客到达时间例程”和 “服务结束时间例程”如图

事件调度法的程序结构设计如下：

（1）初始化。

 设置仿真的开始时间 t0和结束时间 tf ；

 设置实体的初始化状态；

 设置初始事件及其发生时间 ts。

（2）仿真时钟 TIME = ts。

（3）确定在当前时钟 TIME 下发生的事件类型 E（i = 1,2,3，…，n），并按解结规则排序。

（4）如果 TIME <= tf执行。

{case E1：执行 E1 的事件例程；产生后续事件类型及发生时间；……case En：执行 En 的事件例程；产生后续事件类型及发生时间；

}

否则，转(6).

（5）将仿真时钟 TIME 推进到下一最早事件发生时刻；转(3)。（6）结束仿真。

6、思路分析

采用事件调度法来研究单服务台排队系统。顾客逐个到达服务台，且相邻两个顾客到达服务台的时间间隔服从参数为 3 min 的指数分布。到达服务台后，若这时服务员空闲，则为其提供服务，若此时服务员正在为其他顾客服务，则刚到的顾客排队等待。服务员为每位顾客服务的时间长度服从参数为 4 min 的指数分布。使用 Matlab 软件进行建模仿真，用 exprnd 函数生成符合指数分布的随机数。用三个空白数组分别存储第 i 个顾客引起的三种事件先后发生的时刻，对获得的参数按照时间顺序进行整理和分析，可以得出平均队长、平均等待时间等重要参数，流程样例如下

单服务台排队系统的流程框架图如下：

clcclose allclearrng defaultT = 1000; % T-仿真长度（min）mu1=3; %顾客到达时间间隔（指数分布）的均值mu2=4; %服务时间（指数分布）均值
arriveGap = []; % 到达时间间隔serveGap = [];  % 服务时间Arrive=[]; %顾客到达时间Serve=[]; %服务开始时间Leave=[]; %服务结束时间%===========初始化============%i=0;  % 第几个顾客抵达t0=0;  % 仿真开始时间TIME=0; % 系统时间arriveGap = [arriveGap, exprnd(mu1)];Tarrv=t0+arriveGap(i+1); % 第i个抵达时间serveGap = [serveGap, exprnd(mu2)];Tleave=Tarrv+serveGap(i+1);  % 第i个服务结束时间Arrive=[Arrive,Tarrv];Serve=[Serve,Tarrv]; Leave=[Leave,Tleave];% 开始仿真while TIME < T    i=i+1;    arriveGap = [arriveGap, exprnd(mu1)];    Tarrv=Tarrv+arriveGap(i+1); %确定下一顾客到达时刻    % 留个空白思考     if Leave(i)<=Arrive(i+1) %服务员空闲，无需排队        % 留个空白思考     else %服务员忙碌，需要排队        % 留个空白思考     end    % 留个空白思考     Leave=[Leave,Tleave];    end%%
Twait=[]; %每个顾客的等待时间Nwait=[]; %每个顾客接受服务时的队长WaitNum=0;  % 平均等待人数WaitTime=0;  % 平均等待时间%平均等待时间for j=1:i    Twait(j)=Serve(j)-Arrive(j);    WaitTime=WaitTime+Twait(j);endWaitTime=WaitTime/i;%平均队长for m=1:i    k=0;    for n=m+1:i        if Leave(m)>Arrive(n)            k=k+1;        else            break;        end    end    Nwait(m)=k;    WaitNum=WaitNum+Nwait(m); end WaitNum=WaitNum/i;%绘图figureplot(arriveGap)xlabel 顾客序号ylabel 到达间隔时间/minfigureplot(serveGap)xlabel 顾客序号ylabel 服务时间/minfigureplot(Twait);xlabel 顾客序号ylabel 等待时间/minfigureplot(Nwait);xlabel 顾客序号ylabel 队伍长度/人
disp(['平均到达间隔时间：', num2str(mean(arriveGap)),' min'])disp(['平均服务时间：', num2str(mean(serveGap)),' min'])disp(['平均等待时间：', num2str(WaitTime),' min'])disp(['平均队长指标：', num2str(WaitNum),' 人'])