特征值和特征向量的直观理解
特征值和特征向量是一个矩阵内在的性质。
比如你想象一根长长的铁棒放置不动，不管你在这根铁棒的任何一个位置敲击它，你都知道震动将会沿着铁棒的方向传播。而这个方向，我们可以形象的理解为特征值的方向。人类社会的人口流动，物种的迁徙，短期来看都是不确定的，但长期来看，人口的城市化是大趋势，生物去往水草丰美的栖息地也是大趋势。这一过程我们可以用计算特征值和特征向量的方式计算得到。
**问题：**假设一个城市，每年，居住在市区里的人口90%会留在市区，10%会迁往乡村。而乡村的人口80%会留在乡村，20%去往城市。
假定某年城市和乡村的人口是200和800，问最终城市和乡村的人口会是多少？（假定人口总数不变）
解答：我们将问题用矩阵形式表达出来就是人口
x
=
[
200
800
]
x=\begin{bmatrix} 200\\800 \end{bmatrix}
x
=
[
2
0
0
8
0
0
]
,而人口转移用矩阵形式表达
[
0.9
0.2
0.1
0.8
]
\begin{bmatrix} 0.9&0.2\\0.1&0.8 \end{bmatrix}
[
0
.
9
0
.
1
0
.
2
0
.
8
]
。
通过迭代的计算
x
=
A
∗
x
x=A*x
x
=
A
∗
x
可以算出人口的变化。
上图是，我将800和200这两个数按照
(
0.8
，
0.2
)
(0.8，0.2)
(
0
.
8
，
0
.
2
)
代入上式迭代100次求解过程画出来的图。可以看出，这个结果最终收敛到了两个数字，这两个数字是0.66666667和0.33333333。
当我们计算它的特征向量的时候会发现，它的特征向量是
(
2
,
1
)
和
（
−
1
，
1
）
(2,1)和（-1，1）
(
2
,
1
)
和
（
−
1
，
1
）
，也就是说，人口最终的分布比例和它的第一个特征向量的比值是一致的，即
(
2
3
,
1
3
)
(\frac{2}{3},\frac{1}{3})
(
3
2
,
3
1
)
。这当然不是一个巧合，因为这个人口转移矩阵，就像前文所说的铁棒传播震动的方向一样，它是有它的内在方向的。同样，人口的分布趋势也是有它的内在结构，而特征向量反应的就是这个矩阵内在的结构信息。
**解答：**城市和农村的人口，最终的流动稳态会无限趋近于城市667人，乡村333人。
以后我们再求解此类问题时，就可以求出它最大特征值对应的特征向量，用特征值和特征向量的信息来求出你想要的答案。