行列式的展开形式
上一篇文章中，我们提到过行列式的按行展开：
行标始终取为标准排列，列标取遍排列的所有可能，从不同行不同列取出n个元素相乘，其符号由列标排列的奇偶性决定。
行列式除了可以按行展开，还有另外两种展开方式：按列展开和既不按行也不按列展开。
-
按列展开
列标始终取为标准排列，行标取遍排列的所有可能，从不同行不同列取出n个元素相乘，其符号由行标排列的奇偶性决定。
例如下面这个三阶行列式，按列展开为：
∣a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
∣
=
a
11
a
22
a
33
−
a
11
a
32
a
23
−
a
21
a
12
a
33
+
a
21
a
32
a
13
+
a
31
a
12
a
23
−
a
31
a
22
a
13
=
①
−
②
−
③
+
④
+
⑤
−
⑥
\begin{aligned}\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}&=a_{11} a_{22}a_{33} -a_{11} a_{32} a_{23}-a_{21} a_{12}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13} \\&= \ \ \ \ \ \ \ ①\ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ ②\ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ ③\ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ ④\ \ \ \ \ \ +\ \ \ \ \ \ ⑤\ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ ⑥\end{aligned}
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a
1
1
a
2
1
a
3
1
a
1
2
a
2
2
a
3
2
a
1
3
a
2
3
a
3
3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
a
1
1
a
2
2
a
3
3
−
a
1
1
a
3
2
a
2
3
−
a
2
1
a
1
2
a
3
3
+
a
2
1
a
3
2
a
1
3
+
a
3
1
a
1
2
a
2
3
−
a
3
1
a
2
2
a
1
3
=
①
−
②
−
③
+
④
+
⑤
−
⑥
观察展开式中的每一项，我们可以得到如下结果：
| 第 i 项 | 符号 |
行 标 |
列 标 | 行标的逆序数 |
|---|---|---|---|---|
| ① | + | 123 | 123 | 0（偶排列） |
| ② | – | 132 | 123 | 1（奇排列） |
| ③ | – | 213 | 123 | 1（奇排列） |
| ④ | + | 231 | 123 | 2（偶排列） |
| ⑤ | + | 312 | 123 | 2（偶排列） |
| ⑥ | – | 321 | 123 | 3（奇排列） |
与前面我们所学习过的按行展开的行列式对比，我们可以发现，其结果是一致的，只是顺序有调换。
对于
n
\ n
n
阶行列式，按列展开的一般形式可以写作：
∣
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
∑
i
1
,
i
2
,
⋯
,
i
n
(
−
1
)
N
(
i
1
i
2
⋯
i
n
)
a
i
1
1
a
i
2
2
⋯
a
i
n
n
\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}& \cdots&a_{1n}\\a_{21} & a_{22}&\cdots& a_{2n}\\\vdots &\vdots& \ddots&\vdots\\ a_{n1} & a_{n2}& \cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{i_1,i_2,\cdots,i_n}(-1)^{N(i_1i_2 \cdots i_n)} a_{i_11}a_{i_22} \cdots a_{i_nn}
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a
1
1
a
2
1
⋮
a
n
1
a
1
2
a
2
2
⋮
a
n
2
⋯
⋯
⋱
⋯
a
1
n
a
2
n
⋮
a
n
n
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
i
1
,
i
2
,
⋯
,
i
n
∑
(
−
1
)
N
(
i
1
i
2
⋯
i
n
)
a
i
1
1
a
i
2
2
⋯
a
i
n
n
-
既不按行也不按列展开
与前两种展开方式区别，这种展开方式的列标和行标都不取为标准排列。从不同行不同列取出n个元素相乘，其符号由行标排列与列标排列的和的奇偶性决定。
对于
n\ n
n
阶行列式，既不按行也不按列展开的一般形式可以写作：
∣a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
∣
=
∑
(
−
1
)
N
(
i
1
i
2
⋯
i
n
)
+
N
(
j
1
j
2
⋯
j
n
)
a
i
1
j
1
a
i
2
j
2
⋯
a
i
n
j
n
\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}& \cdots&a_{1n}\\a_{21} & a_{22}&\cdots& a_{2n}\\\vdots &\vdots& \ddots&\vdots\\ a_{n1} & a_{n2}& \cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{}(-1)^{N(i_1i_2 \cdots i_n)+N(j_1j_2 \cdots j_n)} a_{i_1j_1}a_{i_2j_2} \cdots a_{i_nj_n}
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a
1
1
a
2
1
⋮
a
n
1
a
1
2
a
2
2
⋮
a
n
2
⋯
⋯
⋱
⋯
a
1
n
a
2
n
⋮
a
n
n
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∑
(
−
1
)
N
(
i
1
i
2
⋯
i
n
)
+
N
(
j
1
j
2
⋯
j
n
)
a
i
1
j
1
a
i
2
j
2
⋯
a
i
n
j
n
我们可以将三种展开方式做一个对比：
| 展开方式 | 特点 |
n阶行列式的一般表示 |
|---|---|---|
| 按行展开 |
行标始终取为标准排列 ，列标取遍排列的所有可能，从不同行不同列取出n个元素相乘，其符号由 列标 排列的奇偶性决定。 |
∑ j 1 , j 2 , ⋯ , j n ( − 1 ) N ( j 1 j 2 ⋯ j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 ⋯ a n j n \sum_{j_1,j_2,\cdots,j_n}(-1)^{N(j_1j_2 \cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2} \cdots a_{nj_n} ∑ j 1 , j 2 , ⋯ , j n ( − 1 ) N ( j 1 j 2 ⋯ j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 ⋯ a n j n |
| 按列展开 |
列标始终取为标准排列 ，行标取遍排列的所有可能，从不同行不同列取出n个元素相乘，其符号由 行标 排列的奇偶性决定。 |
∑ i 1 , i 2 , ⋯ , i n ( − 1 ) N ( i 1 i 2 ⋯ i n ) a i 1 1 a i 2 2 ⋯ a i n n \sum_{i_1,i_2,\cdots,i_n}(-1)^{N(i_1i_2 \cdots i_n)} a_{i_11}a_{i_22} \cdots a_{i_nn} ∑ i 1 , i 2 , ⋯ , i n ( − 1 ) N ( i 1 i 2 ⋯ i n ) a i 1 1 a i 2 2 ⋯ a i n n |
| 既不按行也不按列展开 |
列标和行标 都不 取为标准排列。从不同行不同列取出n个元素相乘，其符号由 行标排列与列标排列的和 的奇偶性决定。 |
∑ ( − 1 ) N ( i 1 i 2 ⋯ i n ) + N ( j 1 j 2 ⋯ j n ) a i 1 j 1 a i 2 j 2 ⋯ a i n j n \sum_{}(-1)^{N(i_1i_2 \cdots i_n)+N(j_1j_2 \cdots j_n)} a_{i_1j_1}a_{i_2j_2} \cdots a_{i_nj_n} ∑ ( − 1 ) N ( i 1 i 2 ⋯ i n ) + N ( j 1 j 2 ⋯ j n ) a i 1 j 1 a i 2 j 2 ⋯ a i n j n |
小练习
讨论行列式展开式中某一项：
(
−
1
)
N
(
i
21
m
)
+
N
(
1
k
32
)
a
i
1
a
2
k
a
13
a
m
2
(-1)^{N(i21m)+N(1k32)}a_{i1}a_{2k}a_{13}a_{m2}
(
−
1
)
N
(
i
2
1
m
)
+
N
(
1
k
3
2
)
a
i
1
a
2
k
a
1
3
a
m
2
的符号为正还是为负。
思路：1) 观察该项，首先判断该展开式采用哪一种展开方式。从两个排列
i
21
m
i21m
i
2
1
m
和
1
k
32
1k32
1
k
3
2
，可以看出他的列标和行标都不取为标准排列，因此属于既不按行排列，也不按列排列；
2) 元素
a
i
1
a_{i1}
a
i
1
、
a
2
k
a_{2k}
a
2
k
、
a
13
a_{13}
a
1
3
和
a
m
2
a_{m2}
a
m
2
分别来自不同行和不同列。所以
k
=
4
，
i
=
3
k=4，i=3
k
=
4
，
i
=
3
或
4
；
m
=
4
\ 4；m=4
4
；
m
=
4
或
3
\ 3
3
；
3) 再根据两个排列的逆序数之和，判断出其符号。
行列式的转置
行列式的转置即：把行列式原来的行变作列（原来的列变作行）。如果把行列式记作
D
D
D
，那么行列式的转置记作
D
T
D^T
D
T
。
以三阶行列式为例：
我们可以发现，
(
D
T
)
T
=
D
(D^T)^T=D
(
D
T
)
T
=
D
。
小练习
求
D
=
∣
1
2
3
1
1
1
8
8
8
∣
D=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\1 & 1 &1 \\8 & 8 & 8 \end{vmatrix}
D
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
1
8
2
1
8
3
1
8
∣
∣
∣
∣
∣
∣
的转置和转置的转置。
解：
D
T
=
∣
1
2
3
1
1
1
8
8
8
∣
D^T=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\1 & 1 &1 \\8 & 8 & 8 \end{vmatrix}
D
T
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
1
8
2
1
8
3
1
8
∣
∣
∣
∣
∣
∣
(
D
T
)
T
=
∣
1
2
3
1
1
1
8
8
8
∣
(D^T)^T=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\1 & 1 &1 \\8 & 8 & 8 \end{vmatrix}
(
D
T
)
T
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
1
8
2
1
8
3
1
8
∣
∣
∣
∣
∣
∣
行列式的性质
-
性质1：行列式转置，行列式的值不变（对行成立，对列也成立）。
一起来看一个例子叭！下图是行列式
D
D
D
和
D
D
D
的转置：
我们按行展开，取出
D
D
D
中的一项(包含数字1、8、10、15)，记为
a
a
a
：
a
=
(
−
1
)
N
(
1423
)
×
1
×
8
×
10
×
15
a=(-1)^{N(1423)}×1×8×10×15
a
=
(
−
1
)
N
(
1
4
2
3
)
×
1
×
8
×
1
0
×
1
5
相似的，我们要取出
D
T
D^T
D
T
中同样包含包含数字1、8、10、15的一项，观察
D
T
D^T
D
T
中这几个数字的行标（1423）和列标（1234），可以推断出其为按列展开，记为
a
′
a’
a
′
：
a
′
=
(
−
1
)
N
(
1423
)
×
1
×
8
×
10
×
15
a’=(-1)^{N(1423)}×1×8×10×15
a
′
=
(
−
1
)
N
(
1
4
2
3
)
×
1
×
8
×
1
0
×
1
5
我们可以发现，
a
=
a
′
a=a’
a
=
a
′
。其实，如果我们把
D
D
D
和
D
T
D^T
D
T
展开项中的元素一一对比，可以发现他们的所有项都是相等的，即
D
=
D
T
D=D^T
D
=
D
T
（前面已经说明了行列式按行展开和按列展开的结果是一样的）。
-
性质2：行列式两行互换，行列式的值变号（展开式的每一项都相差一个负号）。
还是通过一个例子来说明！下图是行列式
DD
D
和进行了两行互换的
D1
D_1
D
1
：
我们按行展开，取出
DD
D
中的一项(包含数字1、8、10、15)，记为
aa
a
：
a=
(
−
1
)
N
(
1423
)
×
1
×
8
×
10
×
15
a=(-1)^{N(1423)}×1×8×10×15
a
=
(
−
1
)
N
(
1
4
2
3
)
×
1
×
8
×
1
0
×
1
5
我们要取出
D1
D_1
D
1
中同样包含包含数字1、8、10、15的一项，观察
D1
D_1
D
1
中这几个数字的行标（3214）和列标（1423），可以推断出其为既不按行也不按列展开，记为
a′
a’
a
′
a′
=
(
−
1
)
N
(
3214
)
+
N
(
1423
)
×
1
×
8
×
10
×
15
a’=(-1)^{N(3214)+N(1423)}×1×8×10×15
a
′
=
(
−
1
)
N
(
3
2
1
4
)
+
N
(
1
4
2
3
)
×
1
×
8
×
1
0
×
1
5
我们可以发现，
aa
a
和
a′
a’
a
′
的值的区别在于
(−
1
)
N
(
3214
)
(-1)^{N(3214)}
(
−
1
)
N
(
3
2
1
4
)
。其实，行列式两行互换，他们的列标不会改变，但行标会交换次序（第一行和第三行互换，行标就由1234变为了3214），因此，两行兑=互换后，结果会多一个负号。 -
推论：
两行（列）相等，
D=
0
D=0
D
=
0
。
例如：
对行列式
D
=
∣
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
13
14
15
16
∣
D=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3& 4 \\5 & 6 &7 & 8 \\1 & 2 & 3 & 4\\13 & 14 & 15&16\end{vmatrix}
D
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
5
1
1
3
2
6
2
1
4
3
7
3
1
5
4
8
4
1
6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
，假如我们交换第一行和第三行，变换成
D
′
=
∣
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
13
14
15
16
∣
D’=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3& 4 \\5 & 6 &7 & 8 \\1 & 2 & 3 & 4\\13 & 14 & 15&16\end{vmatrix}
D
′
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
5
1
1
3
2
6
2
1
4
3
7
3
1
5
4
8
4
1
6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
。由于第一行和第三行是相等的，所以
D
′
=
D
D’=D
D
′
=
D
；又由性质2，可以知道于
D
′
=
−
D
D’=-D
D
′
=
−
D
。于是可知
D
=
D
′
=
0
D=D’=0
D
=
D
′
=
0
。
-
性质3：行列式的某一行都乘以k，等于用k乘以此行列式。
例如：
行列式
D
=
∣
1
2
3
4
k
5
k
6
k
7
8
9
∣
=
k
∣
1
2
3
4
5
6
7
8
9
∣
D=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\4k & 5k &6k \\7 & 8 & 9\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 &6 \\7 & 8 & 9\end{vmatrix}
D
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
4
k
7
2
5
k
8
3
6
k
9
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
k
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
4
7
2
5
8
3
6
9
∣
∣
∣
∣
∣
∣
。
推论1：
行列式的某一行都有公因子
k
k
k
，可以把
k
k
k
提到外面。
推论2：
行列式的所有元素都有公因子
k
k
k
，
k
k
k
朝外面提
n
n
n
（对
n
n
n
阶行列式而言）次。
例如：
行列式
D
=
∣
1
k
2
k
3
k
4
k
5
k
6
k
7
k
8
k
9
k
∣
=
k
3
∣
1
2
3
4
5
6
7
8
9
∣
D=\begin{vmatrix}1k & 2k & 3k \\4k & 5k &6k \\7k & 8k & 9k\end{vmatrix}=k^{3}\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 &6 \\7 & 8 & 9\end{vmatrix}
D
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
k
4
k
7
k
2
k
5
k
8
k
3
k
6
k
9
k
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
k
3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
4
7
2
5
8
3
6
9
∣
∣
∣
∣
∣
∣
。
-
性质4：行列式的两行元素对应成比例，则行列式的值为零。
例如：
行列式
D
=
∣
1
2
3
4
5
6
8
10
12
∣
=
2
∣
1
2
3
4
5
6
4
5
6
∣
D=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 &6 \\8 & 10 &12\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 &6 \\4 & 5 &6\end{vmatrix}
D
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
4
8
2
5
1
0
3
6
1
2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
4
4
2
5
5
3
6
6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
，由性质2的推论，我们可以得出该行列式的值为0。
推论：
行列式的某一行全为0，则行列式的值为零。
针对上述的几种，行列式值为零的情况做一个总结：
-
性质5：行列式的某一行都为两项之和，可以拆分为两行项之和（
和的那一行分开，其余行保持不变
）。
例如：
D
=
∣
1
2
3
4
+
1
5
+
2
6
+
3
7
8
9
∣
=
∣
1
2
3
4
5
6
4
5
6
∣
+
∣
1
2
3
1
2
3
4
5
6
∣
D=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\4+1 & 5+2 &6 +3 \\7 & 8 &9\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 &6 \\4 & 5 &6\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\1 & 2 & 3 \\4 & 5 &6\end{vmatrix}
D
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
4
+
1
7
2
5
+
2
8
3
6
+
3
9
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
4
4
2
5
5
3
6
6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
1
4
2
2
5
3
3
6
∣
∣
∣
∣
∣
∣
小练习
D
=
∣
b
+
c
c
+
a
a
+
b
a
+
b
b
+
c
c
+
a
c
+
a
a
+
b
b
+
c
∣
=
∣
b
c
a
a
+
b
b
+
c
c
+
a
c
+
a
a
+
b
b
+
c
∣
+
∣
c
a
b
a
+
b
b
+
c
c
+
a
c
+
a
a
+
b
b
+
c
∣
=
∣
b
c
a
a
b
c
c
+
a
a
+
b
b
+
c
∣
+
∣
b
c
a
b
c
a
c
+
a
a
+
b
b
+
c
∣
∣
c
a
b
a
b
c
c
+
a
a
+
b
b
+
c
∣
+
∣
c
a
b
b
c
a
c
+
a
a
+
b
b
+
c
∣
=
∣
b
c
a
a
b
c
c
a
b
∣
+
∣
b
c
a
a
b
c
a
b
c
∣
+
∣
b
c
a
b
c
a
c
a
b
∣
+
∣
b
c
a
b
c
a
a
b
c
∣
+
∣
c
a
b
a
b
c
c
a
b
∣
+
∣
c
a
b
a
b
c
a
b
c
∣
+
∣
c
a
b
b
c
a
c
a
b
∣
+
∣
c
a
b
b
c
a
a
b
c
∣
\begin{aligned}D=&\begin{vmatrix}b+c & c+a & a+b \\a+b & b+c &c+a \\c+a & a+b &b+c\end{vmatrix}\\\\=&\begin{vmatrix}b & c & a \\a+b & b+c &c+a\\c+a & a+b &b+c\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}c & a & b \\a+b & b+c &c+a\\c+a & a+b &b+c\end{vmatrix}\\\\=&\begin{vmatrix}b & c & a \\a & b&c\\c+a & a+b &b+c\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b & c & a \\b & c &a\\c+a & a+b &b+c\end{vmatrix}\begin{vmatrix}c & a & b \\a & b &c\\c+a & a+b &b+c\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}c & a & b \\b & c &a\\c+a & a+b &b+c\end{vmatrix}\\\\=&\begin{vmatrix}b & c & a \\a & b&c\\c & a &b\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b & c & a \\a & b&c\\a & b &c\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b & c & a \\b & c &a\\c & a &b\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b & c & a \\b & c &a\\a & b &c\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}c & a & b \\a & b &c\\c & a &b\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}c & a & b \\a & b &c\\a & b &c\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}c & a & b \\b & c &a\\c & a &b\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}c & a & b \\b & c &a\\a & b &c\end{vmatrix}\end{aligned}
D
=
=
=
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
b
+
c
a
+
b
c
+
a
c
+
a
b
+
c
a
+
b
a
+
b
c
+
a
b
+
c
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
b
a
+
b
c
+
a
c
b
+
c
a
+
b
a
c
+
a
b
+
c
∣
∣
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∣
∣
c
a
+
b
c
+
a
a
b
+
c
a
+
b
b
c
+
a
b
+
c
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
b
a
c
+
a
c
b
a
+
b
a
c
b
+
c
∣
∣
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∣
∣
b
b
c
+
a
c
c
a
+
b
a
a
b
+
c
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
c
a
c
+
a
a
b
a
+
b
b
c
b
+
c
∣
∣
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∣
∣
c
b
c
+
a
a
c
a
+
b
b
a
b
+
c
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
b
a
c
c
b
a
a
c
b
∣
∣
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∣
∣
b
a
a
c
b
b
a
c
c
∣
∣
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∣
∣
b
b
c
c
c
a
a
a
b
∣
∣
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∣
∣
b
b
a
c
c
b
a
a
c
∣
∣
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∣
∣
c
a
c
a
b
a
b
c
b
∣
∣
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∣
∣
c
a
a
a
b
b
b
c
c
∣
∣
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∣
∣
c
b
c
a
c
a
b
a
b
∣
∣
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∣
∣
c
b
a
a
c
b
b
a
c
∣
∣
∣
∣
∣
∣
-
性质6：行列式某一行乘以一个数，加
到
另一行上去，行列式的值不变。
例如：
把行列式
D
=
∣
1
2
3
4
5
6
7
8
9
∣
D=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 &6 \\7 & 8 &9\end{vmatrix}
D
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1
4
7
2
5
8
3
6
9
∣
∣
∣
∣
∣
∣
的第一行乘2，加到第二行去：
可以发现拆开的两项中，第二项里有两行对应成比例，所以第二项的值为0，因此，可以发现
D
′
=
D
D’=D
D
′
=
D
，即得到性质6。
求解多阶行列式，通常是要把行列式化成上三角的形式。
参考文献
[1]宋浩.《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师[EB/OL].https://www.bilibili.com/video/BV1aW411Q7x1?p=3,2019-06-12.