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引言：机器人的运动学
运动学单纯研究机械臂的运动特性（位置、速度、加速度以及位置变量的所有高阶导数（对时间或者其他变量）），不考虑使机械臂产生运动时施加的力。
首先与研究静止时机械臂的位置和姿态。
如何去描述机器复杂的几何形状呢？方法是分别在操作臂的每个连杆上分别设置一个连杆坐标系，然后再描述这些连杆坐标系之间的关系
什么是连杆，如何表示连杆
什么是连杆？
类比人手的大臂和小臂，机器人操作臂也可以看成是由一系列由
关节
连接成的刚体，称作
连杆
关节
可被分为转动关节和移动关节，这里主要讨论常用的转动关节。
一般来说，机械臂有几个关节，这个机械臂就有几个自由度。
n
\ \ n
n
个自由度的关节构成机械臂机构，就可以看做用
n
n
n
个单自由度的关节把
n
−
1
n-1
n
−
1
个
一般从基座开始对连杆进行编号，称固定基座为连杆0，第第一个可动连杆为连杆1，以此类推……
如何表示连杆？
计算这两个参数需要用到两个轴，一个连杆。
把连杆看做刚体，如何描述两个轴之间的连杆的运动呢？
两岸运动的描述需要用到两个参数：
连杆长度
(
a
a
a
)和
连杆扭转角
(
α
\alpha
α
)，如图：
连杆长度（
a
a
a
）
：将两个轴延长，其公垂线总是存在的，而且是一个固定值。
关节轴
i
−
1
i-1
i
−
1
和关节轴
i
i
i
之间的公垂线长度记作
a
i
−
1
a_{i-1}
a
i
−
1
,即为连杆长度
连杆扭转角(
α
\alpha
α
)
：将关节轴
i
−
1
i-1
i
−
1
和关节轴
i
i
i
的某一个轴沿着公垂线平移，使其相交，构成一个平面，在平面内使用
右手定则
从轴
i
−
1
i-1
i
−
1
绕
a
i
−
1
a_{i-1}
a
i
−
1
转向
i
i
i
的夹角，记作
α
i
−
1
\alpha_{i-1}
α
i
−
1
，即为连杆扭转角
可以用这两个参数来定义空间中任意两条直线（关节轴）的关系
怎样连接连杆
计算这两个参数需要两个连杆，一个公共轴
在运动学分析中，将两个连杆连接在一起，不需要考虑特别复杂的因素，同样只需要掌握两个参数：
连杆偏距
(
d
d
d
)和
关节角
(
θ
\theta
θ
)，这两个参数完全确定了两个连杆之间是如何连接的。考虑两种情况的连杆，对这两个参数进行定义。
对于处于运动链中间的连杆
连杆偏距（
d
i
d_i
d
i
）:
两个连杆连接在一起，有三个关节、两个公垂线，两个公垂线沿着两个连杆公共轴线方向的距离可以用连杆偏距描述。
如上图所示的互相连接的连杆
i
−
1
i-1
i
−
1
和
i
i
i
使用
a
i
−
1
a_{i-1}
a
i
−
1
表示连接连杆
i
−
1
i-1
i
−
1
的两端关节轴的公垂线长度，
a
i
a_{i}
a
i
表示连接连杆
i
i
i
的两端关节轴的公垂线长度；从公垂线
a
i
−
1
a_{i-1}
a
i
−
1
与关节轴
i
i
i
的交点到公垂线
a
i
a_i
a
i
与关节轴
i
i
i
的交点之间的有向距离即为两相邻连杆偏距
d
i
d_i
d
i
关节角（
θ
i
\theta_i
θ
i
）:
描述两相邻连杆绕公共轴线旋转的夹角，是一个变量。
平移使两公轴线相交，公轴线旋转的角度就是关节角
θ
i
\theta_i
θ
i
当关节是转动关节时，连杆偏距是常量，关节角是变量，若是移动关节，则与之相反。
对于处于运动链两端的连杆
处于运动链两端的连杆，他们的参数习惯设定为0，也就是说，假设对于一个具有转动关节的机械臂，
a
0
a_0
a
0
、
α
0
\alpha_0
α
0
、
d
1
d_1
d
1
都为
0
0
0
，
θ
1
\theta_1
θ
1
的值任选，实际上其实不需要定义
a
n
a_n
a
n
和
α
n
\alpha_n
α
n
，在后面的DH参数表中会体现到。
连杆参数和连杆坐标系
连杆参数
至此我们知道，每个连杆都可以用四个运动学参数来表示，两个参数描述连杆本身，另外两个参数描述连杆之间的连接关系。
对于转动关节，有三个连杆参数是不变的，
θ
i
\theta_i
θ
i
是关节变量。我们可以使用这些参数来描述机构的运动关系，这种规则称为DH方法
连杆坐标系
为了描述相邻两连杆之间的相对位置关系，需要在每个连杆上定义一个固连坐标系
建立连杆坐标系的步骤
- 找出各个关节轴，并标出这些轴线的延长线
-
找出关节轴
ii
i
和
i+
1
i+1
i
+
1
之间的公垂线或关节轴
ii
i
和
i+
1
i+1
i
+
1
的交点，以关节轴
ii
i
和
i+
1
i+1
i
+
1
的交点或公垂线与关节轴
ii
i
的交点作为连杆坐标系
{i
}
\{i\}
{
i
}
的原点 -
规定
Z^
\hat Z
Z
^
轴沿关节轴
ii
i
的指向 -
规定
X^
i
\hat X_i
X
^
i
轴沿公垂线的指向，如果关节轴
ii
i
和
i+
1
i+1
i
+
1
相交，则规定
X^
i
\hat X_i
X
^
i
轴垂直于关节轴
ii
i
和
i+
1
i+1
i
+
1
所在的平面 -
按照右手定则确定
Y^
i
\hat Y_i
Y
^
i
轴 -
当第一个关节变量为0时，定坐标系
{0
}
\{0\}
{
0
}
和
{1
}
\{1\}
{
1
}
重合；对于最后一个坐标系
{N
}
\{N\}
{
N
}
，其原点和
X^
N
\hat X_N
X
^
N
的方向可以任选，但是尽量使连杆的参数为
00
0
。
连杆参数在连杆坐标系的表示方法
-
ai
a_i
a
i
= 沿
X^
i
\hat X_i
X
^
i
轴，从
Z^
i
\hat Z_i
Z
^
i
移动到
Z^
i
+
1
\hat Z_{i+1}
Z
^
i
+
1
的距离 -
αi
\alpha_i
α
i
= 绕
X^
i
\hat X_i
X
^
i
轴，从
Z^
i
\hat Z_i
Z
^
i
旋转到
Z^
i
+
1
\hat Z_{i+1}
Z
^
i
+
1
的角度 -
di
d_i
d
i
= 沿
Z^
i
\hat Z_i
Z
^
i
轴，从
X^
i
−
1
\hat X_{i-1}
X
^
i
−
1
移动到
X^
i
\hat X_i
X
^
i
的距离 -
θi
\theta_i
θ
i
= 绕
Z^
i
\hat Z_i
Z
^
i
轴，从
X^
i
−
1
\hat X_{i-1}
X
^
i
−
1
旋转到
X^
i
\hat X_i
X
^
i
的角度
a
i
a_i
a
i
对应的是距离，所以通常设为正，其他的可以为正，也可以为负
参考：
John J. Craig《机器人学习导论》