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权重衰退是一种解决过拟合的方式

• 正则项：在训练参数化机器学习模型时，
  
  权重衰减
  
  （weight decay）是最广泛使用的正则化的技术之一， 它通常也被称为L2
  
  正则化
  
  。 这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度
• 使用L2范数的一个原因是它对权重向量的大分量施加了巨大的惩罚。 这使得我们的学习算法偏向于在大量特征上均匀分布权重的模型。 在实践中，这可能使它们对单个变量中的观测误差更为稳定。

惩罚项的加入，是得最优值向着原点方向靠近。。原来的最优点会受到罚值的影响。

参数更新法则：

因为λ的引入，使得每次更新权重参数时，先让原来的权重值先乘以一个小于1的正数（1-n-λ），再减去梯度的负方向

• 
  正则项权重是控制模型复杂度的超参数
  

代码实现：

生成人工数据集：

n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

初始化参数：

def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]

L2范数惩罚项：

#定义 L2范数
def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2

#定义 L1范数惩罚
def l1_penalty(w):
    return torch.sum(torch.sum(w))

定义训练代码：

代码将模型拟合训练数据集，并在测试数据集上进行评估。 从之前以来，线性网络和平方损失没有变化， 所以我们通过

d2l.linreg

和

d2l.squared_loss

导入它们。 唯一的变化是损失现在包括了惩罚项。

def train(lambd):
    w, b = init_params()
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 增加了L2范数惩罚项，
            # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

忽略正则项直接训练：

现在用

lambd=0

禁用权重衰减后运行这个代码。 注意，这里训练误差有了减少，但测试误差没有减少， 这意味着出现了严重的过拟合。

train(lambd=0)

使用权重衰减:

train(lambd=3)