生成模型之VAE与VQ-VAE

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有关图像处理的课程作业需要学习一篇论文,此论文中作者使用了VQ-VAE模型对舞蹈动作进行编码。因此,对相关知识略作整理以供之后查找。


AE、VAE和VQ-VAE可以统一为latent code的概率分布设计不一样,AEr通过网络学习得到任意概率分布,VAE设计为正态分布,VQVAE设计为codebook的离散分布。

总之,AutoEncoder的重构思想就是用低纬度的latent code分布来表达高纬度的数据分布,VAE和VQVAE的重构思想是通过设计latent code的分布形式,进而控制图片生成的过程。


目录


一、图片重构


二、AE(Auto-Encoding)-自动编码器


三、VAE(Variational Auto-Encoding)-变分自动编码器


四、VQ-VAE 量子化(离散化)的自编码器


4.1 向量化VQ


1.PixelCNN


2.离散隐变量空间 ​编辑-embedding空间


3.量化encoder的输出 ​编辑-标准化输出


4.计算后验分布 ​编辑 和 先验分布 ​编辑 的 KL散度


5.straight-through estimator


6.encoder误差


一、图片重构

自编码器的常规思路:通过神经网络架构重新构建图片,可以将图片编码成一个一个不同的属性,然后通过综合这些属性解码得到重构图片。

当对图像属性进行编码时,可以将其描述为离散值或概率分布的形式(从概率分布种随机采样出离散的值)。


图片与上述思路参考自链接【1】,侵删

二、AE(Auto-Encoding)-

自动编码器


AE

:将高维的原始数据映射到一个低维特征空间,然后从低维特征学习重建原始的数据。它是一种

无监督学习方式

一个AE模型包含两部分网络:

  • Encoder:将原始的高维数据映射到低维特征空间,即对输入图片进行编码得到latent code,起到压缩或降维的目的。
  • Decoder:通过Decoder重建原始数据,计算输入图片和生成图片的重构误差,训练的时候最小化重构误差。

AE是通过网络学习出任意的概率分布,然后取概率分布中最高点的横坐标作为编码的离散值。因此AE的生成过程不可控。因为学习得到的概率分布是不可提前预知的,所以AE对输入的噪声敏感。

三、VAE(Variational Auto-Encoding)-变分自动编码器

VAE:基于变分推断(

Variational Inference, Variational Bayesian methods

)的概率模型,属于无监督模型。

VAE通过Encoder学习出mean和std两个编码,同时随机采样一个正态分布的编码
\varepsilon
,然后通过
\varepsilon
* std + mean公式重采样得到latent code,然后通过Decoder进行重建。

此外,由于正态分布的连续性,不存在不可导问题,可以通过重参数方法,对latent code进行恢复,并且通过链式求导法则进行梯度更新。

VAE的整个训练流程如上所示:输入x,encoder首先计算出后验分布的均值和标准差,然后通过重采样方法采样得到隐变量z,然后送入decoder得到重建的数据x′。

训练完成后,我们就得到生成模型
p_{\theta }\left ( x|z \right )p_{\theta }\left ( z \right )
,其中
p_{\theta }\left ( x|z \right )
就是decoder网络,而先验
p_{\theta }\left ( z \right )
为标准正态分布,我们从
p_{\theta }\left ( z \right )
随机采样一个 z ,送入decoder网络,就能生成与训练数据 x 类似的样本。

VAE可以理解为通过网络学习出每个属性正态分布的mean和std编码,然后通过mean和std和N ( 0,1 )正态分布恢复每个属性的正态分布,最后随机采样得到每个属性的离散值。

VAE相对于AutoEncoder的好处是,当采样输入不同时,VAE对于任意采样都能重构出鲁棒的图片。VAE的生成过程是可控的,对输入噪声不敏感,我们可以预先知道每个属性都是服从正态分布的。

四、VQ-VAE 量子化(离散化)的自编码器

一个VAE模型包括三个部分:后验分布(Posterior)
q\left ( z|x \right )
,先验分布(Prior)
p\left ( z \right )
,以及似然(Likelihood)
p\left ( x|z \right )
。其中后验分布用encoder网络来学习,似然用decoder网络来学习,而先验分布采用

参数固定的标准正态分布

。在VAE学习过程中,后验分布往往假定是一个对角方差的多元正态分布,而隐变量 z 是一个连续的随机变量。

VQ-VAE与VAE的最主要的区别是VQ-VAE采用离散隐变量。对于encoder的输出通过向量量化(vector quantisation,VQ)的方法来离散化。论文提到了采用离散隐形变量编码的三个原因:


  • 许多重要的事物都是离散的,如语言;

  • 更容易对先验建模,VQ-VAE采用PixelCNN来学习先验,离散编码只需要简单地采用softmax多分类;

  • 连续的表征往往被encoder/decoder内在地离散化;

VQ-VAE通过Encoder学习出中间编码,然后通过最邻近搜索将中间编码映射为codebook中K个向量之一,然后通过Decoder对latent code进行重建。

另外由于最邻近搜索使用argmax来找codebook中的索引位置,导致不可导问题,VQVAE通过stop gradient操作来避免最邻近搜索的不可导问题,也就是通过stop gradient操作,将decoder输入的梯度复制到encoder的输出上。

VQVAE相比于VAE最大的不同是,直接找每个属性的离散值,通过类似于查表的方式,计算codebook和中间编码的最近邻作为latent code。由于维护了一个codebook,编码范围更加可控,VQVAE相对于VAE,可以生成更大更高清的图片(这也为后续DALLE和VQGAN的出现做了铺垫)。

4.1 向量化VQ

1.PixelCNN

VQ-VAE做生成模型的思路,源于

PixelRNN



PixelCNN

之类的自回归模型。


自回归的方法很稳妥,也能有效地做概率估计,但它有一个最致命的缺点:












原始的自回归还有一个问题,就是

割裂了类别之间的联系

。虽然说因为每个像素是离散的,所以看成256分类问题也无妨,但事实上连续像素之间的差别是很小的,纯粹的分类问题捕捉到这种联系。更数学化地说,就是我们的目标函数

交叉熵


-logp_{t}
,假如目标像素是100,如果我预测成99,因为类别不同了,那么
p_{t}
就接近于0,
-logp_{t}
就很大,从而带来一个很大的损失。但从视觉上来看,像素值是100还是99差别不大,不应该有这么大的损失。

除了训练好 VQ-VAE ,还需要训练一个


先验模型


来完成数据生成,对于图像来说,可以采用

PixelCNN 模型

,这里我们不再是学习生成原始的 pixels,而是学习生成离散编码。首先,我们需要用已经训练好的 VQ-VAE 模型对训练图像推理,得到每张图像对应的离散编码;然后用一个PixelCNN来对离散编码进行建模,最后的预测层采用基于softmax的多分类,类别数为embedding空间的大小 K。那么,生成图像的过程就比较简单了,

首先用训练好的 PixelCNN 模型来采样一个离散编码样本,然后送入 VQ-VAE 的 decoder中,得到生成的图像。

整个过程如下图所示:


2.离散隐变量空间
e \epsilon R^{K\times D}
-embedding空间

K 为 embedding 空间大小(向量个数),D 为每个 embedding 向量
e^{i}
的维度。因此,

embedding空间

总共有 K 个

embedding向量

e_{i}\epsilon R^{D}
,
i\epsilon 1,2,...,K
。采用

最近邻的查找方法

来将encoder的输出
z_{e}\left ( x \right )
量化为其中的一个embedding向量。

3.量化encoder的输出
z_{e}\left ( x \right )
-标准化输出


最近邻的查找方法

的实质为 计算 输出
z_{e}\left ( x \right )
和每个embedding向量
e_{i}
的欧氏距离,选择距离最小的向量
e_{i}
作为

量化值

z_{q}\left ( x \right )

z_{q}\left ( x \right )
将作为 decoder 的输入。因此,VQ-VAE 的整个过程可以表示为:

x \rightarrow z_{e}(x)=\operatorname{Encoder}(x) \rightarrow z_{q}(x)=\operatorname{Quantize}\left(z_{e}(x)\right) \rightarrow x^{\prime}=\operatorname{Decoder}\left(z_{q}(x)\right)

4.计算后验分布
q\left ( z|x \right )
和 先验分布
p\left ( z\right )
的 KL散度

VAE 的后验分布
q\left ( z|x \right )
为多元高斯分布,但 VQ-VAE 经过 VQ 之后,后验分布
q\left ( z|x \right )
可以看作一个

多类分布(

categorical distribution

),

其概率分布为 one-hot 型:

此时,VQ-VAE 的后验分布变成了 一个 确定的分布。k 的确定不涉及随机因素。若将先验分布
p\left ( z\right )
定义为 均匀的多类分布(每个类别的概率为 1/k),则可以直接计算后验分布 和 先验分布 的

KL 散度/相对熵(


Kullback-Leibler divergence


:计算两个分布差异最常用的)

计算得到,KL 散度为一个常数,那么 VQ-VAE 的训练损失就只剩下了一项重建误差
logp\left ( x|z \right )
。可以观察到,VQ-VAE 的训练过程没有用到先验分布,所以后面需要单独训练一个先验模型来生成数据。

VQ-VAE分成两个阶段来得到生成模型
p\left ( z \right )p\left ( x|z \right )
,可以避免 VAE 训练过程中容易出现的“posterior collapse”。

5.

straight-through estimator

VQ-VAE还存在一个问题,那就是

由于argmin操作不可导,所以重建误差的梯度就无法传导到encoder

。论文采用

straight-through estimator

来解决这个问题。

梯度反向传播进行更新:


  • encoder的梯度更新:

Straight-Through的思想很简单,就是前向传播的时候可以用想要的变量(哪怕不可导),而反向传播的时候,用你自己为它所设计的梯度。根据这个思想,我们设计的目标函数是:
\left \| x-decoder\left ( z+sg\left [z _{q}-z \right ] \right ) \right \|_{2}^{2}

其中 sg 是 stop gradien t的意思,就是不要它的梯度。这样一来,前向传播计算(求loss)的时候,就直接等价于
decoder\left ( z+z _{q}-z \right )
,然后反向传播(求梯度)的时候,由于
z _{q}-z
不提供梯度,所以它也等价于
decoder\left ( z\right )
,这个就允许我们对 encoder 进行优化了。

VQ-VAE 的 decoder 的输入是
z_{q}\left ( x \right )
,直接用重建误差相对于
z_{q}\left ( x \right )
的梯度来作为encoder的输出
z_{e}\left ( x \right )
的梯度,由于
z_{q}\left ( x \right )

z_{e}\left ( x \right )
的维度一样,所以这样做不需要任何特殊处理。

虽然通过

straight-through estimator

方法,重建误差的梯度可以传导到encoder,但是embedding向量
e_{i}
就接收不到重建误差带的梯度了,这也意味着embedding空间无法参与学习。


  • embedding空间的更新





根据VQ-VAE的最邻近搜索的设计,我们应该期望
z_{q}

z
是很接近的。所以,为了让
z_{q}

z
更接近,我们可以直接地将
\left \| z-z_{q} \right \|_{2}^{2}
加入到loss中:

\left \| x-decoder\left ( z+sg\left [z _{q}-z \right ] \right ) \right \|_{2}^{2}+\beta \left \| z-z_{q} \right \|_{2}^{2}

由于编码表
z_{q}
相对是比较自由的,而
z
要尽力保证重构效果,所以我们应当尽量“



z_{q}

去靠近

z
”,而因为
\left \| z_{q} -z\right \|_{2}^{2}
的梯度等于对
z_{q}
的梯度加上对
z
的梯度,所以我们将它等价地分解为:

\left \| sg\left [ z \right ] -z_{q}\right \|_{2}^{2}+\left \| z-sg\left [ z_{q} \right ] \right \|_{2}^{2}

根据我们刚才的讨论,我们希望“让
z_{q}
去靠近
z
”多于“让
z
去靠近
z_{q}
”,所以可以调一下最终的loss比例:

\left \| x-decoder\left ( z+sg\left [z _{q}-z \right ] \right ) \right \|_{2}^{2}+\beta \left \| sg\left [ z \right ]-z_{q} \right \|_{2}^{2}+\gamma \left \| z-sg\left [ z_{q} \right ] \right \|_{2}^{2}

其中
\gamma < \beta
,在

原论文

中使用的是
\gamma = 2.5\beta

为了让embedding空间参与训练,论文采用了一种简单的字典学习方法,即计算encoder的输出
z_{e}\left ( x \right )
和对应的量化得到的embedding向量
e_{k}



L2误差(

VQ loss




此处的

sg 指的是stop gradient操作(即不计算输入的梯度)

,这意味着这个 L2 损失只会更新embedding空间,而不会传导到encoder。

这里,我们也可以采用另外一种方式:

指数移动平均(exponential moving averages,EMA)

来更新embedding空间。假定
\left \{ z_{i,1} ,z_{i,2},...z_{i,k}\right \}
为一系列和embedding向量
e_{i}
对应的encoder的输出,此时L2损失为:


此时embedding向量
e_{i}
的最优值有解析解,即对所有的元素求平均值:
e_{i}^{*}= \frac{1}{n_{i}}\sum_{j}^{n_{i}}z_{i,j}
。 然而,训练过程中无法直接这样更新,因为训练是基于mini-batch的,并不是训练数据的全部。类比BatchNorm,我们可以采用EMA来更新embedding:


N_{i}^{(t)} =\gamma N_{i}^{(t-1)}+(1-\gamma) n_{i}^{(t)} \quad \\m_{i}^{(t)} =\gamma m_{i}^{(t-1)}+(1-\gamma) \sum_{j=1}^{n_{i}^{(t)}} z_{i, j}^{(t)} \quad \\ e_{i}^{(t)}=m_{i}^{(t)}/ N_{i}^{(t)}


这里共需要维护两套EMA参数,一是每个embedding向量
e_{i}
的对应的
\left \{ z_{i,1} ,z_{i,2},...z_{i,n_{i}}\right \}
元素数量
N_{i}
,二是
\left \{ z_{i,1} ,z_{i,2},...z_{i,n_{i}}\right \}
的求和值
m_{i}
。每次forward时,我们根据当前mini-batch得到
\left \{ z_{i,1} ,z_{i,2},...z_{i,n_{i}}\right \}
,然后执行EMA,而用
m_{i}
除以
N_{i}
即可得到当前的embedding向量。

采用EMA这种更新方式往往比直接采用L2损失收敛速度更快

,论文采用的decay值
\lambda
为0.99。

6.encoder误差

除此之外,论文还额外增加一个


训练loss




commitment loss

,这个主要是约束encoder的输出和embedding空间保持一致,以避免encoder的输出变动较大(从一个embedding向量转向另外一个)。

commitment loss

也比较简单,直接计算encoder的输出
z_{e}\left ( x \right )
和对应的量化得到的embedding向量
e_{k}
的L2误差:

注意这里的sg是作用在embedding向量
e_{k}
上,这意味着这个约束只会影响encoder。 ​

综上,VQ-VAE共包含三个部分的训练loss:

reconstruction loss,VQ loss,commitment loss。

其中


reconstruction loss


作用在encoder和decoder上,


VQ loss


用来更新embedding空间(也可用EMA方式),而


commitment loss


用来约束encoder,这里的
\beta
为权重系数,论文默认设置为0.25。 ​

另外,在实际实验中,一张图像会采用 N 个离散隐变量,这个和encoder得到的特征图大小有关。对于ImageNet数据集,采用 32×32 大小的中间特征图,所以 N=32×32;对于CIFAR10数据集,采用8×8大小的中间特征图,所以 N=8×8。对于一张图像,

VQ loss



commitment loss

取 N个离散编码的loss平均值。从自动编码器的角度来看,VQ-VAE实现了对图像的压缩,即将一张图像压缩成 N 个离散编码。这里要说明的一点是,VQ-VAE适用于多种模态的数据,除了图像之外,还可以用于语音和视频的生成,这里只讨论图像。 ​



【1】漫谈VAE和VQVAE,从连续分布到离散分布 – 知乎 (zhihu.com)


【2】生成模型之VAE – 知乎 (zhihu.com)


【3】生成模型之VQ-VAE – 知乎 (zhihu.com)


【4】VQ-VAE的简明介绍:量子化自编码器 – 科学空间|Scientific Spaces (kexue.fm)



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