导数，偏导，方向倒数，梯度

导数：

导数不仅仅表示该点切线的斜率，还反应了函数在该点的变化率。

偏导数：

偏导数仅仅是表示某点在x方向的导数和再y轴方向的导数。

这反应了偏导数的局限性，仅仅是多元函数沿着坐标轴的变化率，但是如上图，在M0点处存在很多方向的偏导数（并不仅仅x和y方向）。这就引出了方向导数。

方向导数：

我们不仅仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数）还需要设法求得函数在其他方向上的变化率。而方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率。

方向导数的定义和导数定义类似，只不过是在多个维度上。例如在三维空间中：

设三元函数f在点P0（x0，y0，z0）的某邻域内有定义，l为从点P0出发的射线，P（x，y，z）为l上且含于邻域内的任一点，以ρ（rou）表示P和P0两点间的距离。若极限lim（ (f(P)-f(P0)) / ρ ）= lim （△l f / ρ）（当ρ→0时）存在，则称此极限为函数f在点P0沿方向l的方向导数

梯度:

由上面的方向导数可知，方向导数是在各个方向上都有，而且每个方向上的变化一般是不一样的，那到底沿哪个方向最大呢?沿哪个方向最小呢?为了研究方便,就有了梯度的定义。

下图是梯度的定义：

梯度是众

多方向导数

中

最大

(

方向

指向数值增长最快的方向，

大小

为变化率)的那个

向量

，这个方向就用梯度来表示（grad=ai+bj）这个向量来表示，其中a是函数在x方向上的偏导数，b是函数在y方向上的偏导数，梯度的模就是这个最大方向导数的值。

参考：http://www.matongxue.com/madocs/222.html#/madoc

梯度与导数的关系 (一元导数k,梯度k*i )

梯度可谓是多元函数中一个基本的名词。它的物理意义：

方向

指向数值增长最快的方向，

大小

为变化率(学习率)。通过这个性质也说明梯度是有方向和大小的矢量。通过梯度的定义我们发现，梯度的求解其实就是求函数偏导的问题，而我们高中所学的导数在非严格意义上来说也就是一元的“偏导”。通过这一点我们自然而然地想到梯度应该是导数向更高维数的推广。然而一我一直想不明白的是：梯度是矢量而某点的导数是个常量，两者应该有本质的区别，而导数的正负也反映了函数值的大小变化，而不是一直指向数值增大的方向。

在此我们通过一张图来说明解释一下两者的关系：

其实一元函数肯定也有梯度，我们经常不提及的原因其实很简单：一元函数的梯度方向自变量轴（x）！而导数值的正负号决定了这个方向是正方向还是反方向。如图所示，A点右＂领域＂的导数为正值，则梯度的方向跟x轴正方向一致，梯度方向指向数值增大的方向；相反在B点右＂领域＂，导数为负值，则梯度的方向为x轴的负方向，梯度方向也是指向数值增大的方向。通过这个例子向多维函数推广，梯度从数值小指向数值大的物理意义也就容易理解了。而一元函数的大小自然也就是导数的绝对值。

方向导数与梯度实例

一、方向导数

现在我们来讨论函数

在一点

沿某一方向的变化率问题.

定义

设函数

在点

的某一邻域

内有定义.自点

引射线

.设

轴正向到射线

的转角为

（逆时针方向：

0；顺时针方向：

0），并设

＇(

+△

,

+△

)为

上的另一点且

＇∈

.我们考虑函数的增量

(

+△

,

+△

)－

与

、

＇两点间的距离

的比值.当

＇沿着

趋于

时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数

在点

沿方向

的方向导数，记作

，即

(1)

从定义可知，当函数

在点

的偏导数

x、

y存在时，函数在点

沿着

轴正向

=

，

轴正向

=

的方向导数存在且其值依次为

x、

y，函数

在点

沿

轴负向

=

，

轴负向

=

的方向导数也存在且其值依次为-

x、-

y.

关于方向导数

的存在及计算，我们有下面的定理.

定理

如果函数

在点

是可微分的，那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有

(2)

其中

为

轴到方向

的转角.[360度] cos(r)=@l/@x

证根据函数

在点

可微分的假定，函数的增量可以表达为

(直接相加不好吧),向量,a–b;ax-by;ay;bx; x,y正交独立

两边各除以

，得到

所以

这就证明了方向导数存在且其值为

例8-26

求函数

=

在点

处沿从点

到点

方向的方向导数.

解这里方向

即向量

=

的方向，因此

轴到方向

的转角

，

因为

在点

，

,

.故所求方向导数

例8-27

设由原点到点

的向径为

，

轴到

的转角为

，

轴到射线

的转角为

，求

，其中

=

.

解因为

所以

由例8-26可知，当

时，

,即

沿着向径本身方向的方向导数为1;而当

时，

, 即

沿着与向径垂直方向的方向导数为零.

对于三元函数

=

来说，它在空间一点

沿着方向

(设方向

的方向角为

的方向导数，同样可以定义为

(3)

其中

，△

=

,△

=

,△

=

.

同样可以证明，如果函数在所考虑的点处可微分，那末函数在该点沿着方向

的方向导数为

二、梯度

1.梯度的定义

与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度.

定义

设函数

在平面区域

内具有一阶连续偏导数，则对于每一点

，都可定出一个向量

这向量称为函数

=

在点

的梯度，记作

，即

如果设

是与方向

同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可知

这里，(

＾，e)表示向量

与

的夹角.由此可以看出，就是梯度在射线

上的投影，当方向

与梯度的方向一致时，有

(

＾，

)

1，

从而

有最大值.所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说,梯度的方向是函数

在这点增长最快的方向.因此，我们可以得到如下结论:

函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值.

由梯度的定义可知，梯度的模为

当

不为零时，那

轴到梯度的转角的正切为

我们知道，一般说来二元函数

在几何上表示一个曲面，这曲面被平面z=c(c是常数)所截得的曲线

的方程为

这条曲线

在

面上的投影是一条平面曲线

（图8―10），它在

平面直角坐标系中的方程为

对于曲线

上的一切点，已给函数的函数值都是

，所以我们称平面曲线

为函数

的等高线.

由于等高线

上任一点

处的法线的斜率为

所以梯度

为等高线上点

处的法向量，因此我们可得到梯度与等高线的下述关系：函数

在点

的梯度的方向与过点

的等高线

在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线（图8―10），而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向.

例8-28

求

解这里

因为

所以

3.数量场与向量场

如果对于空间区域

内的任一点

，都有一个确定的数量

，则称在这空间区域

内确定了一个数量场（例如温度场、密度场）等.一个数量场可用一个数量函数

来确定.如果与点

相对应的是一个向量

，则称在这空间区域

内确定了一个向量场（例如力场，速度场等）.一个向量场可用一个向量函数

来确定，而