第一章

第一节 映射与函数

一、映射概念

1.映射概念

映射定义

设


X,Y

X

,

Y

$X,Y$是两个非空集合，如果存在一个
法则


f

f

$f$,使得对X

$X$

$X$中的每个元素


x

x

$x$按法则f

$f$

$f$,在


Y

Y

$Y$中有唯一确定的元素y

$y$

$y$与之对应，那么称


f

f

$f$为从X

$X$

$X$到


Y

Y

$Y$的映射，记作：

f:X→Y

$$f:X\to Y$$

$$f:X\to Y$$ 其中，


y

y

$y$称为元素x

$x$

$x$（在映射


f

f

$f$下）的像，并记作f(x)

$f(x)$

$f(x)$，即

y=f(x)

y

=

f

(

x

)

$$y=f(x)$$ 而元素


x

x

$x$称为元素y

$y$

$y$（在映射


f

f

$f$下）的一个原像；集合X

$X$

$X$称为映射


f

f

$f$的定义域，记作Df

$D_f$

$D_f$，即


Df=X

D

f

=

X

$D_f=X$；


X

X

$X$中的所有元素的像所组成的集合称为映射f

$f$

$f$的值域，记作


Rf

R

f

$R_f$或


f(x)

f

(

x

)

$f(x)$，即

Rf=f(x)={f(x)∣x∈D}

R

f

=

f

(

x

)

=

{

f

(

x

)

∣

x

∈

D

}

$$R_f=f(x)=\{f(x)\mid x\in D\}$$ .

同时需要记住的一些内容
1. 构成映射必须具备的三个要素：集合
X

X

$X$,集合Y

$Y$

$Y$,对应的法则
f

f

$f$。同时，使对每个x∈X

$x\in X$

$x \in X$有唯一确定的
y=f(x)

y

=

f

(

x

)

$y=f(x)$与之对应。
2. 像
y

y

$y$是唯一的，原像x

$x$

$x$不一定是唯一的。
Rf

R

f

$R_f$是
Y

Y

$Y$的一个子集即Rf⊂Y

$R_f\subset Y$

$R_f\subset Y$,不一定
Rf=Y

R

f

=

Y

$R_f=Y$.
3. 满射，单射，一一映射（双射）。
4. 映射又称为算子，根据不同的
X

X

$X$，Y

$Y$

$Y$集合情形下，在不同的数学分支中，映射有不同的名称。（泛函（非空集到数集），变换（非空集到它自身），函数（实数集到实数集）等）。

2.逆映射与复合映射

逆映射定义

既然存在


f(x)=y

f

(

x

)

=

y

$f(x)=y$的映射，于是，我们可以定义一个从


Rf

R

f

$R_f$到


X

X

$X$的一个新映射g

$g$

$g$，即

g:Rf→X

g

:

R

f

→

X

$$g:R_f\to X$$ 对每个


y∈Rf

y

∈

R

f

$y \in R_f$,规定


g(y)=x

g

(

y

)

=

x

$g(y)=x$,而且这个


x

x

$x$满足f(x)=y

$f(x)=y$

$f(x)=y$。这个新映射


g

g

$g$称为映射f

$f$

$f$的
逆映射。记作


f−1

f

−

1

$f^{-1}$。其定义域


Df−1=Rf

D

f

−

1

=

R

f

$D_{f^{-1}}=R_f$,值域


Rf−1=X

R

f

−

1

=

X

$R_{f^{-1}}=X$。

记住：只有单射才存在逆映射。

复合映射定义

设有两个映射


g:X→Y1,f:Y2→Z

g

:

X

→

Y

1

,

f

:

Y

2

→

Z

$g:X\to Y_1 , \quad f:Y_2\to Z$，其中


Y1⊂Y2

Y

1

⊂

Y

2

$Y_1\subset Y_2$，则由映射


g

g

$g$和f

$f$

$f$可以定义出一个从


X

X

$X$到Z

$Z$

$Z$的对应法则，它将每个


x∈X

x

∈

X

$x\in X$映射成


f[g(x)]∈Z

f

[

g

(

x

)

]

∈

Z

$f[g(x)]\in Z$。显然，这个对应的法则确定了一个从


X

X

$X$到Z

$Z$

$Z$的映射，这个映射称为映射


g

g

$g$和映射f

$f$

$f$构成的
复合映射，记作


f∘g

f

∘

g

$f\circ g$，即

f∘g:X→Z,(f∘g)=f[g(x)],x∈X.

f

∘

g

:

X

→

Z

,

(

f

∘

g

)

=

f

[

g

(

x

)

]

,

x

∈

X

.

$$f\circ g:X\to Z,(f\circ g)=f[g(x)],\qquad x\in X.$$

记住：
1.
g

g

$g$的值域Rg

$R_g$

$R_g$必须包含在
f

f

$f$的定义域Df

$D_f$

$D_f$内。即
Rg⊂Df

R

g

⊂

D

f

$R_g\subset D_f$.否则，不能构成复合函数。
2. 复合函数是有顺序的，
f∘g

f

∘

g

$f\circ g$有意义并不代表
g∘f

g

∘

f

$g\circ f$也有意义，即使都有意义，复合函数
f∘g

f

∘

g

$f\circ g$和
g∘f

g

∘

f

$g\circ f$也未必相同。

二、函数

1.函数的概念

函数定义

设数集


D⊂R

D

⊂

R

$D \subset R$,则称映射


f:D→R

f

:

D

→

R

$f:D\to R$为定义在


D

D

$D$上的函数。通常简记为

y=f(x),x∈D.

$$y=f(x),x\in D.$$

$$y=f(x),\qquad x\in D.$$ 其中


x

x

$x$称为自变量，y

$y$

$y$称为因变量。


D

D

$D$称为定义域，记作Df

$D_f$

$D_f$,即


Df=D.

D

f

=

D

.

$D_f=D.$

需要区分开如下概念

1. 函数值

2. 函数关系

3. 值域

4. 记号


f

f

$f$与f(x)

$f(x)$

$f(x)$区别

5. 记号可以任意选取

6.


函数是从实数集到实数集的映射

函

数

是

从

实

数

集

到

实

数

集

的

映

射

$\color{blue}{函数是从实数集到实数集的映射}$

7. 构成函数的要素：定义域


Df

D

f

$D_f$及对应法则


f

f

$f$。
8. 如果两个函数的定义域相同，对应的法则也相同，那么这两个函数就是相同，否则就是不同的。

$如果两个函数的定义域相同，对应的法则也相同，那么这两个函数就是相同，否则就是不同的。$

$\color {red}{如果两个函数的定义域相同，对应的法则也相同，那么这两个函数就是相同，否则就是不同的。}$

9. 表示函数有三种方法：表格法、图形法、解析法（公式法）。

2.函数的几种特性

函数的有界性：上界


f(x)≤K1

f

(

x

)

≤

K

1

$f(x)\leq K_1$，下界


f(x)≥K2

f

(

x

)

≥

K

2

$f(x)\ge K_2$，有界


|f(x)|≤M

|

f

(

x

)

|

≤

M

$|f(x)|\leq M$ ，无界(


M

M

$M$不存在) 。
函数的单调性：单调增加：当x1<x2

$x_1<x_2$

$x_1\lt x_2$时，


f(x1)<f(x2).

f

(

x

1

)

<

f

(

x

2

)

.

$f(x_1)\lt f(x_2).\quad$ 单调减少：当


x1<x2

x

1

<

x

2

$x_1\lt x_2$时，


f(x1)>f(x2).

f

(

x

1

)

>

f

(

x

2

)

.

$f(x_1)\gt f(x_2).\quad$，统称为：单调函数。

函数的奇偶性：偶函数：


f(−x)=f(x).

f

(

−

x

)

=

f

(

x

)

.

$f(-x)=f(x).\quad$ 奇函数：


f(−x)=−f(x).

f

(

−

x

)

=

−

f

(

x

)

.

$f(-x)=-f(x).$

函数的周期性:


f(x+l)=f(x).

f

(

x

+

l

)

=

f

(

x

)

.

$\quad f(x+l)=f(x).$


l

l

$l$称为函数f(x)

$f(x)$

$f(x)$的周期。

3.反函数与复合函数

反函数：逆映射的特例。

复合函数：复合映射的特例。

4.函数的运算

1和运算


f+g

f

+

g

$f+g$：

设函数


f(x)

f

(

x

)

$f(x)$和函数


g(x)

g

(

x

)

$g(x)$的定义域分别为


Df

D

f

$D_f$，


Dg

D

g

$D_g$，


D=Df∩Dg≠Φ

D

=

D

f

∩

D

g

≠

Φ

$D=D_f\cap D_g\neq \Phi$，则：



(f+g)(x)=f(x)+g(x),x∈D

(

f

+

g

)

(

x

)

=

f

(

x

)

+

g

(

x

)

,

x

∈

D

$(f+g) (x)=f(x)+g(x), \quad x \in D$；

2差运算


f−g

f

−

g

$f-g$

设函数


f(x)

f

(

x

)

$f(x)$和函数


g(x)

g

(

x

)

$g(x)$的定义域分别为


Df

D

f

$D_f$，


Dg

D

g

$D_g$，


D=Df∩Dg≠Φ

D

=

D

f

∩

D

g

≠

Φ

$D=D_f\cap D_g\neq \Phi$，则：



(f−g)(x)=f(x)−g(x),x∈D

(

f

−

g

)

(

x

)

=

f

(

x

)

−

g

(

x

)

,

x

∈

D

$(f-g) (x)=f(x)-g(x) ,\quad x \in D$；

3积运算


f⋅g

f

⋅

g

$f\cdot g$：

设函数


f(x)

f

(

x

)

$f(x)$和函数


g(x)

g

(

x

)

$g(x)$的定义域分别为


Df

D

f

$D_f$，


Dg

D

g

$D_g$，


D=Df∩Dg≠Φ

D

=

D

f

∩

D

g

≠

Φ

$D=D_f\cap D_g\neq \Phi$，则：



(f×g)(x)=f(x)×g(x),x∈D

(

f

×

g

)

(

x

)

=

f

(

x

)

×

g

(

x

)

,

x

∈

D

$(f\times g) (x)=f(x)\times g(x), \quad x \in D$；

4商运算


fg

f

g

$\frac fg$：

设函数


f(x)

f

(

x

)

$f(x)$和函数


g(x)

g

(

x

)

$g(x)$的定义域分别为


Df

D

f

$D_f$，


Dg

D

g

$D_g$，


D=Df∩Dg≠Φ

D

=

D

f

∩

D

g

≠

Φ

$D=D_f\cap D_g\neq \Phi$，则：



(fg)(x)=f(x)g(x),x∈D∖{x∣g(x)=0,x∈D}

(

f

g

)

(

x

)

=

f

(

x

)

g

(

x

)

,

x

∈

D

∖

{

x

∣

g

(

x

)

=

0

,

x

∈

D

}

$(\frac fg) (x)= \frac {f(x)}{g(x)}, \quad x \in D \setminus \{x\mid g(x)=0 ,x\in D\}$；

5.初等函数

基本初等函数包括：

1幂函数：


y=xμ.

y

=

x

μ

.

$y=x^\mu.\quad$ (


μ∈R

μ

∈

R

$\mu \in R$是常数)

2指数函数：


y=ax(a>0

y

=

a

x

(

a

>

0

$y=a^x\quad (a\gt 0$且


a≠1)

a

≠

1

)

$a\ne 1)$

3对数函数：


y=logax

y

=

log

a

⁡

x

$y=\log _a x\quad$（


a>0

a

>

0

$a\gt0$且


a≠1

a

≠

1

$a\ne1$，特别当


a=e

a

=

e

$a=e$时，记为


y=lnx

y

=

ln

⁡

x

$y=\ln x$）

4三角函数：如


y=sinx

y

=

sin

⁡

x

$y=\sin x\quad$，


y=cosx

y

=

cos

⁡

x

$y=\cos x\quad$，


y=tanx

y

=

tan

⁡

x

$y=\tan x$等。

5反三角函数：如


y=arcsinx

y

=

arcsin

⁡

x

$y=\arcsin x\quad$，


y=arccosx

y

=

arccos

⁡

x

$y=\arccos x\quad$，


y=arctanx

y

=

arctan

⁡

x

$y=\arctan x$等

初等函数：

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

双曲正弦：
shx=ex−e−x2

sh

⁡

x

=

e

x

−

e

−

x

2

$\operatorname{sh} x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

双曲余弦：


chx=ex+e−x2

ch

⁡

x

=

e

x

+

e

−

x

2

$\operatorname{ch} x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

双曲正切：


thx=shxchx=ex−e−xex+e−x

th

⁡

x

=

sh

⁡

x

ch

⁡

x

=

e

x

−

e

−

x

e

x

+

e

−

x

$\operatorname{th} x=\frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x }=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

反双曲正弦：


y=arshx

y

=

arsh

⁡

x

$y=\operatorname{arsh} x$

反双曲余弦：


y=archx

y

=

arch

⁡

x

$y=\operatorname{arch} x$

反双曲正切：


y=arthx

y

=

arth

⁡

x

$y=\operatorname{arth} x$

第二节 数列的极限

一、数列极限的定义

数列定义
如果按照某一法则，对每个
n∈N+

n

∈

N

+

$n\in N_+$（正整数），对应着一个确定实数
xn

x

n

$x_n$，这些实数
xn

x

n

$x_n$按照下标
n

n

$n$从小到大排列得到的一个序列

x1,x2,x3,...,xn,...

$$x_1,x_2,x_3,...,x_n,...$$

$$x_1,x_2,x_3,...,x_n,...$$ 就叫做序列，简记为数列
{xn}.

{

x

n

}

.

$\{ x_n \}.$

接下来

数列极限定义
设
{xn}

{

x

n

}

$\{ x_n \}$为一数列，如果存在常数
a

a

$a$，对于任意给定的正数ε

$\epsilon$

$\varepsilon$（不论它多么小），总存在正整数
N

N

$N$，使得当n>N

$n>N$

$n\gt N$时，不等式

|xn−a|<εa−ε<xn<a+ε

|

x

n

−

a

|

<

ε

a

−

ε

<

x

n

<

a

+

ε

$$\color{blue}{|x_n-a|\lt \varepsilon \qquad a - \varepsilon \lt x_n \lt a+\varepsilon}$$ 都成立，那么就称常数


a

a

$a$是数列{xn}

$\{x_n\}$

$\{ x_n \}$的极限，或者称数列


{xn}

{

x

n

}

$\{ x_n \}$收敛于


a

a

$a$，记为

limn→∞xn=a

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$$

$$\color{red}{\lim _{n\to \infty}x_n=a}$$ 或

xn→a(n→∞)

x

n

→

a

(

n

→

∞

)

$$\color{red}{x_n\to a(n\to \infty)}$$

如果不存在这样常数
a

a

$a$，就说明数列{xn}

$\{ x_n \}$没有极限。或者说数列是发散的。
引入记号“
∀

∀

$\forall$”表示“对于任意给定”或“对于每一个（所有）”，引入记号“
∃

∃

$\exists$”表示“存在”，于是
limn→∞xn=a⇔∃

lim

n

→

∞

x

n

=

a

⇔

∃

$\lim _{n\to \infty}x_n=a \quad \Leftrightarrow \quad \exists$正整数
N

N

$N$，当n>N

$n\gt N$时，有
|xn−a|<ε

|

x

n

−

a

|

<

ε

$|x_n-a|\lt \varepsilon$。

二、收敛数列的性质（四个定理）

定理1（极限的唯一性）
如果数列
{xn}

{

x

n

}

$\{ x_n \}$收敛，那么它的极限唯一。

根据函数有界性，数列也有界性，有界或无界。

定理2（收敛数列的有界性）
如果数列
{xn}

{

x

n

}

$\{ x_n \}$收敛，那么数列
{xn}

{

x

n

}

$\{ x_n \}$一定有界。

根据定理2可以得：

如果数列


{xn}

{

x

n

}

$\{ x_n \}$无界，那么数列


{xn}

{

x

n

}

$\{ x_n \}$一定发散。

但是，如果数列


{xn}

{

x

n

}

$\{ x_n \}$有界，却不能断定数列


{xn}

{

x

n

}

$\{ x_n \}$一定收敛。

定理3（收敛数列的保号性）
如果
limn→∞xn=a

lim

n

→

∞

x

n

=

a

$\lim_{n \to \infty}x_n=a$

第三节 函数的极限

第四节 无穷小与无穷大

第五节 极限运算法则

第六节 极限存在准则 两个重要极限

第七节 无穷小的比较

第八节 函数的连续性与间断性

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

第十节 闭区间上连续函数的性质