数值分析的一些内容

临时备考用，有许多未完善地方，有错误欢迎纠正

数值计算的误差：模型误差、观测误差（数据误差）、截断误差（方法误差）、舍入误差。在数值分析中主要讨论截断误差及舍入误差。

设 x* 是准确值x的一个近似值, 称 e(x*) = x*-x为近似值x

的

绝对误差

, 简称误差.。 e(x

)又简记e*。e
_r

为近似值 x

的

相对误差

。e
_r

=(x

-x)/x。

有效数字

在这里插入图片描述

这里面的n即为有效数字。

避免误差危害的若干原则

1.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值。 2.注意避免两个相近数的相减。3.即避免两个相差很大的数作加法运算。4.简化计算步骤, 减少运算次数。5.使用数值稳定的算法。

误差估计

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插值法

设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi ( i=0, 1, … ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知 y=f(x) 在 xi 的值 yi=f(xi) (i=0,1,…,n), 求一个次数不超过n的多项式Pn(x)使其满足Pn(xi)=yi (i=0,1, …, n) ，此为

插值条件

。这就是

多项式插值问题

。

其中Pn(x) 称为 f(x) 的n次插值多项式, f(x) 称为

被插函数

, xi(i=0,1, …,n)称为

插值节点

, (xi, yi) (i=0,1, … ,n) 称为

插值点

, [a,b] 称为

插值区间

。

拉格朗日插值多项式

不超过n的多项式

在这里插入图片描述

y
_n
为对应点的值。l
_i
中不含对应的第i项。

当 n =1时又叫线性插值,其几何意义为过两点的直线. 当 n =2时又叫抛物（线）插值。注意这里的点是从0开始数的，n=1实际上是两点的插值。

对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无关

插值余项

这里的ξ是介于区间中的一个不确定的值。

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其中

有一结论：

M
_n+1
为max|f
⁽ⁿ⁺¹⁾
(x)|

均差（差商）

此为一阶均差（差商）

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在这n+1个点处的n阶均差

一般解题的时候列均差表

均差与节点的排列次序无关，无序将点进行排序

若f(x)在[a,b]上存在n阶导数, 且节点x0 , x1 ,…, xn∈[a,b] ,则至少存在一点ξ∈[a, b] 满足下式

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解题时f的阶数可能与n相等，这样求导后为常数就与ξ无关了。

牛顿插值多项式

只有牛顿插值具有承袭性，即添加数据不需要重头计算。

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余项

差值多项式是唯一的，所以这里的余项也可以用上面的表示

差分

设函数y=f(x)在等距节点xi=x0+ih (i=0,1, …,n)上的函数值为fi=f(xi)(h为步长)

一阶前向差分

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一阶后向差分

差分表

也可表示为

均差与差分的关系

等距节点插值公式

与牛顿的区别在于它在选节点的时候强调了等距，其他与牛顿相同他，可以直接带进去。这样原牛顿中的n项x-x
_i
就包含了h
ⁿ
与上方换算称均差的分母部分h
^m
抵消掉。

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余项

t部分是-号，这里写错了。

埃尔米特插值多项式

在给出含导数问题时一般使用。实际上就是在列均差的时候将给出导数的点写两遍。

例如 f(1)=2 f’(1)=4,那么列表时

x	y	一阶
1	1	\
1	1	4

余项，与上面一样的算法（这是三阶的）

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三次样条函数

S特点

1.S(xi )=yi (i=0,1,…,n);

2.在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,…,n-1)上是次数不超过3的多项式;

3.在每个内节点xi (i=1,2,…,n-1)上具有二阶连续导数,则称 S(x) 为关于上述划分的一个三次多项式样条函数，简称三次样条。

函数逼近（曲线拟合）

用简单的函数P(x)近似代替函数f (x)，f (x)称为逼近（被拟合）函数， P(x)称为逼近（拟合）函数。

C[a, b]，表示函数在ab的闭区间内连续，当C上方有角标数字，数字即代表具有几阶连续偏导。

S=span{x1,…,xn}，并称空间S为

n维空间

，其中x1,…,xn为线性无关的元素（这里的线性无关与向量中的定义一样）。

范数

性质：

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常用的范数：无穷范数，一范数，二范数

对于函数就是图中的积分，对于向量x将积分改为求和即可。

内积

x＝(x1,x2,…,xn)
^T
，y＝(y1,y2,…,yn)
^T

内积(x, y)= x1

y1 +x2

y2 +…+xn*yn

线性空间中满足性质

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最佳逼近

f为原函数，P*为逼近函数

使用最大范数表达时为最佳一次逼近

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使用二范数表达时为最佳平方逼近

勒让德多项式

当区间[-1,1], 权函数ρ(x)≡1时, 由{1,x,…,xn,…}正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式

再高阶不会考（我们这里）

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对零的平方误差最小

切比雪夫多项式

权函数为1/(1-x
²
)
^0.5
,区间为[-1,1]时,由序列{1,x,…,xn,…}正交化得到的多项式就是切比雪夫多项式

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对任意n次多项式有

这个式子用于求n次多项式函数的n-1次最佳（一致）逼近多项式函数。

在所有首项系数为1的n次多项式中，对零的一致误差最小

最佳一次逼近

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最佳平方逼近

题中会问是n次最佳平方逼近

原方程为f，设方程为S*=a
₀
+a
₁
φ
₁
+…a
_n
φ
_n
ⁿ
，()中计算使用积分，上下限就是题中给出的区间，求解后带回即可。

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最小二乘法

设拟合方程为（几次就写到几，这里以二次为例），如果题中有额外条件导致有些项为零，后面项补上。

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列法方程（更高次类推）

正交多项式

函数族φ在[a,b]上连续的正交函数族。则满足

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若A
_k
恒等于1，称之为标准正交函数族。

数值积分与数值微分

要验证一个求积公式具有m次代数精度，只要令对于 f(x)=1, x,x
²
…求积公式精确成立等式就行，直到不相等。

数值积分

区间[a,b]上的f(x)

梯形公式

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中矩形公式

复合梯形求积公式余项

插值求积公式

用拉格朗日插值来近似代替原函数计算。

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余项

这样的插值替代，如果使用n+1个节点，至少具有n次精度。

牛顿—柯特斯公式

公式的系数C的和为1，且与积分区间无关

将区间[a,b]n

等分

，步长h=(b-a)/n，即插值节点选取x
_k
=a+kh (k = 0,1,…,n)

n=1时为梯形公式

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n=2时为辛普森(simpson)公式(又称为抛物形求积公式)

n=4为科特斯公式

n >7的牛顿-柯特斯公式是不稳定的

n 阶牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为

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