水平集Chan-Vese模型的变分法梯度下降

回顾：

在之前的水平集方法中，我们最后得出了一个能量泛函
$E$
如下：

$E=\mu \iint_{}^{} \left | \bigtriangledown H(\o (x,y) \right |dxdy+\nu \iint_{}^{} H(\o (x,y)dxdy+ \lambda 1\iint_{}^{} \left | I(x,y)-c1 \right |^2H(\o )dxdy + \lambda 2\iint_{}^{} \left | I(x,y)-c2 \right |^2(1-H(\o ))dxdy$

不要出现误区，我们的目的是得到水平集函数
$\phi (x,y)$
，使整体能量泛函
$E$
最小化，这里水平集函数
$\phi (x,y)$
的初始值是给定的，因为要有一个差不多的初始轮廓，初始轮廓是一个面就是
$\phi (x,y)$
的初始值（形式是一个和图像一样尺寸的矩阵，轮廓内数值为 1，轮廓外为 -1），就是要通过

变分法梯度下降

，一点一点的调整，最后得到一个个
$\phi (x,y)$
，使能量泛函
$E$
越来越趋近于极值 .（

变分法梯度下降推导过程在这里

）

再使用变分方程之前，要先了解几点：

关于泛函
$E$
中的：
$\left | \bigtriangledown H(\o (x,y) \right | = \sqrt{(\delta (\phi )*\phi _{x})^{2}+(\delta (\phi )*\phi _{y})^{2}}=[(\delta (\phi )*\phi _{x})^{2}+(\delta (\phi )*\phi _{y})^{2})]^{\frac{1}{2}}$

变分方程公式：
$\frac{\partial \phi }{\partial t}=\large \frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial {u}'}) = 0$

但是我们发现这里的
$\large u=\phi$
也就是水平集函数，但
$\large \phi =\phi (x,y)$
参数是两个，所以我们使用的变分方程应该为：

$\large \large \frac{\partial \phi }{\partial t} =\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial {u_{x}}'})-\frac{d}{dy}(\frac{\partial F}{\partial {u_{y}}'}) = 0$

在泛函
$E$
中：

$\large u=\phi$

利用变分公式，先算出
$\frac{\partial F}{\partial u} = \frac{\partial F}{\partial \phi }$
：

$\frac{\partial F}{\partial \phi } = \upsilon \delta (\phi )+\lambda 1\left |I(x,y)-c1 \right |^2\delta (x)-\lambda 2\left |I(x,y)-c2 \right |^2\delta (x)$

$\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial {u_{x}}'})+\frac{d}{dy}(\frac{\partial F}{\partial {u_{y}}'})=\frac{d}{dx}[\frac{\delta (\phi )\phi _{x}}{\sqrt{(\delta (\phi )\phi _{x})^2+(\delta (\phi )\phi _{y})^2}}]+\frac{d}{dy}[\frac{\delta (\phi )\phi _{y}}{\sqrt{(\delta (\phi )\phi _{x})^2+(\delta (\phi )\phi _{y})^2}}]$

所以：

$\large \frac{\partial \phi }{\partial t}=\frac{\partial F}{\partial \phi }-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial {u_{x}}'})-\frac{d}{dy}(\frac{\partial F}{\partial {u_{y}}'})= \upsilon \delta (\phi )+\lambda 1\left |I(x,y)-c1 \right |^2\delta (x)-\lambda 2\left |I(x,y)-c2 \right |^2\delta (x)-\mu (\frac{d}{dx}[\frac{\delta (\phi )\phi _{x}}{\sqrt{(\delta (\phi )\phi _{x})^2+(\delta (\phi )\phi _{y})^2}}]+\frac{d}{dy}[\frac{\delta (\phi )\phi _{y}}{\sqrt{(\delta (\phi )\phi _{x})^2+(\delta (\phi )\phi _{y})^2}}])$

上式中：

$\frac{d}{dx}[\frac{\phi _{x}}{\sqrt{(\delta (\phi )\phi _{x})^2+(\delta (\phi )\phi _{y})^2}}]+\frac{d}{dy}[\frac{\phi _{y}}{\sqrt{(\delta (\phi )\phi _{x})^2+(\delta (\phi )\phi _{y})^2}}]=div \frac{\bigtriangledown \phi }{\left | \bigtriangledown \phi \right |}$

所以完整的Chan-Vese模型的变分法梯度下降公式为：

$\frac{\partial F}{\partial \phi }-\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial {u_{x}}'})-\frac{d}{dy}(\frac{\partial F}{\partial {u_{y}}'})$

$=\upsilon \delta (\phi )+\lambda 1\left |I(x,y)-c1 \right |^2\delta (\phi )-\lambda 2\left |I(x,y)-c2 \right |^2\delta (\phi )-div \frac{\bigtriangledown \phi }{\left | \bigtriangledown \phi \right |}\delta (\phi )$

$=\delta (\phi )[\upsilon +\lambda 1\left |I(x,y)-c1 \right |^2-\lambda 2\left |I(x,y)-c2 \right |^2-div \frac{\bigtriangledown \phi }{\left | \bigtriangledown \phi \right |}]$

$=\delta (\phi )[-\upsilon -\lambda 1\left |I(x,y)-c1 \right |^2+\lambda 2\left |I(x,y)-c2 \right |^2+div \frac{\bigtriangledown \phi }{\left | \bigtriangledown \phi \right |}]$

应用方法与总结：

我们费了半天劲，求出了一个：

$\large \frac{\partial \phi }{\partial t}=\delta (\phi )[-\upsilon -\lambda 1\left |I(x,y)-c1 \right |^2+\lambda 2\left |I(x,y)-c2 \right |^2+div \frac{\bigtriangledown \phi }{\left | \bigtriangledown \phi \right |}]=0$

求出来这个差不多是
$0$
的式子有什么意义呢？我们其实就是用这个差不多为
$0$
的式子做梯度下降，一开始我们有一个和图像大小一样的水平集函数
$\phi (x,y)$
，我们设置一个偏小的步长，每次都让水平集函数（就是一个矩阵）加上这个步长 *
$\small \frac{\partial \phi }{\partial t}$
，经过一次次的迭代计算梯度下降，使得原本的水平集函数中的数值开始慢慢变化，逐渐演化到
$\small 0$
水平面上方，最后取大于
$\small 0$
的作为曲线的轮廓（个人理解，若有错误请及时纠正！）

原文链接：https://blog.csdn.net/qq_37668179/article/details/123429676

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应用方法与总结：

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