博客

qr方法计算中小型矩阵的全部特征值.doc

计算方法课程设计报告学生姓名学号学院班级题目QR方法计算中小型矩阵的全部特征值指导教师职称教授讲师实验师2015年12月31日目录目录I一、选题背景111QR方法112矩阵的特征值1二、算法设计121QR方法的理论122基本QR方法223HOUSEHOLDERQR分解224带原点位移的QR方法3三、程序设计及功能说明431主要程序以及主要功能4311矩阵约化为上海森伯格矩阵4311QR方法求实矩阵全部特征值4四、结果分析6五、总结及心得体会19参考文献20源程序210一、选题背景11QR方法矩阵是高等数学中的常用工具，在很多方面都有重要运用，而矩阵特征值问题在许多领域的研究中有重要的地位，矩阵特征值的一些基本计算方法，研究不同种类矩阵的计算方法和最优计算方法其中求解矩阵的普通方法包括传统的求法以及初等变换求矩阵的特征值方法；其他的一些优化方法包括幂法、反幂法、JACOBI方法、QR方法在实际的求解矩阵特征值的问题，根据矩阵的不同特点，选择最快速的方法求解，从而达到最优化解决实际问题。QR分解法是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变化成为HESSENBERG矩阵，然后再应用QR方法求特征值和特征向量。它是将矩阵分解成一个正规正交矩阵Q与上三角形矩阵R，所以称为QR分解法，与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。目前QR方法主要用来计算1HESSENBERG矩阵的全部特征值问题；2计算对称三对角矩阵的全部特征值问题。12矩阵的特征值关于计算矩阵A的特征值问题，当N2,3时，我们还可按行列式展开的办法求，我们还可按行列式展开的办法求DETΛ0的根，但当N较大时，如果按展开行列式的办法，首先求出DETΛ的系数，再求DETΛ的根，工作量就非常大，用这种办法求矩阵用这种办法求矩阵的特征值是不切实际的的特征值是不切实际的，由此需要研究求A的特征值及特征向量的数值解法。二、算法设计21QR方法的理论QR方法的理论对任意一个非奇异矩阵(可逆矩阵)A，可以把它分解成一个正交阵Q和一个上三角阵R的乘积，称为对矩阵A的QR分解，即AQR。如果规定R的对角元取正实数，这种分解是唯一的。若A是奇异的，则A有零特征值。任取一个不等于A的特征值的实数Μ，则AΜI是非奇异的。只要求出AΜI的特征值和特征向量就容易求出矩阵A的特征值和特征向量，所以假设A是非奇异的，不失一般性。122基本QR方法设AA1，对A1作QR分解，得A1Q1R1，，交换该乘积的次序，得，由于Q1正交矩阵，A1到A2的变换为正交相似变换，于是A11AQR12T和A2就有相同的特征值。一般的令A1A，对K1，2，3，AKQKRK(QR分解)AK1RKQK迭代定义这样，可得到一个迭代序列{AK}，这就是QR方法的基本过程。23HOUSEHOLDERQR分解从QR算法的构造过程可以看到算法的主要计算量出现在QR分解上，如果直接对矩阵A用QR方法求全部特征值，那麽涉及的计算量是很大的，因此应该先对A作预处理。应用中常先对做正交相似变换将其化为上HESSENBERG矩阵H，然后再对H采用QR方法，可以大大减少计算量，这里HESSENBERG矩阵也称为拟三角矩阵，它的非零元素比三角矩阵多了一条次对角线，其形式为上HESSENBERG矩阵下HESSENBERG矩阵一般矩阵相似约化到HESSENBERG矩阵的方法。定理任取非零向量XX1,X2,,XNT∈RN，可以选择一个HOUSEHOLDER矩阵P，使PX－ΣＥ1式中E11,0,,0T是RN的单位向量，证作UXΣＥ1，用U做一个HOUSEHOLDER矩阵PI－Β1UUT,因为而证毕2定理中ΒΣΣX1，为避免ΣX1出现两个相似数相减引起有效数字损失，实用中常选这样可得HOUSEHOLDER矩阵的计算公式为U1X1ΣΒΣU1PI－Β1UUT24带原点位移的QR方法设AA1，对A1S1I进行QR分解A1S1IQ1R1；形成矩阵A2R1Q1S1I1AS1IQ1S1I1A1Q1；TQTQ求得AK后，将AKSKI进行QR分解AKSKIQKRK，K3，4，形成矩阵AK1RKQKSKIKAKQKT如果令KQ1Q2QK,KRKR2R1,则有AK1KAK，并且矩阵AS1IAQRTRQS2IASNI≡ΨA有QR分解式ΨAKK也可以首先用正交变换左变换将AKSKI化为上三角矩阵，即PNP2P1AKSKIRK当A为HOUSEHOLDER矩阵或对称三对角矩阵，PI可为平面旋转矩阵，则AKPN1P2P1AKSKI12N1SKITPT3三、程序及功能说明31主要程序以及主要功能311矩阵约化为上海森伯格矩阵FUNCTIONK,SK,UK,CK,PK,UK,AKHOUSEHOLDRER1ANSIZEAAKAFORK1N2K,SKNORMAKK1N,KSIGNAKK1,K,UKAKK1N,KSKEYENK,1,CKNORMUK,22/2,PKEYENK,NKUKUK /CK,UKEYEK,K,ZEROSK,NKZEROSNK,K,PK,A1UKAKAKA1,END程序功能通过初等反射矩阵正交相似约化实矩阵为上海森伯格矩阵AK。来实现矩阵约A化为上海森伯格矩阵，以方便使用QR方法求矩阵A的全部特征值。312QR方法求实矩阵全部特征值FUNCTIONTZGQR4A,T,MAX1N,NSIZEAK0AKATZGZEROSNSTATE1FORI1NWHILEK1B1ABSAKN,N1B2ABSAKN,NB3ABSAKN1,N1B4MINB2,B3JD10TJD1JDB4IFB1JD1SKAKN,NBKAKSKEYENQK,RKQRBKATRKQKSKEYENKK1TZGKAKN,NDISP 请注意下面的I表示求第I个特征值，K是迭代次数，SK是原点位移量， DISP BKAKSKEYEN,QK和RK是BK的QR分解，ATRKQKSKEYEN迭代矩阵 I,STATE1K,SK,BK,QK,RK,AT,AKATELSE4DISP 请注意I表示求第I个特征值，TZGK是矩阵A的特征值的近似值，K是迭代次数， DISP 下面的矩阵B是M阶矩阵AT的(M1)阶主子矩阵，即AT降一阶 I,TZGKAKN,N,TZGN,1TZGKKK,SK,AKBAK1N1,1N1,AKBNN1STATE1II1ENDENDENDTZG1,1AKTZGSORTTZG,1TZGKAKDISP 请注意N阶实对称矩阵A的全部真特征值LAMODA和至少含T个有效数字的近似特征值TZG如下 LAMODASORTEIGA程序功能QR方法来计算HESSENBERG矩阵或对称的矩阵的全部特征值至少含T个有效数字的近似值。5四、结果分析实验结果分析1用QR方法求下列矩阵的全部近似特征值，其中精度为；,6205413A510解(1)先将矩阵转化为上海森伯格矩阵，MATLAB程序如下A123145026K,SK,UK,CK,PK,UK,AKHOUSEHOLDRER1A结果如下K1SK1UK20CK2PK1001UK1000100016AK123145026然后用最末元位移QR方法求实矩阵K全部特征值AMATLAB程序如下A123145026TZGQ