第一章 建立数学模型
1.首先理解什么是数学建模
对现实世界的特定对象，根据特定规律，作出简化假设，得到数学结构的过程。重点学习建立数学模型的全过程。
2. 建模简单实例
2.1包饺子中的数学
-
问题：1 kg面和1 kg可以包100个饺子，那么1 kg面包50个可以包多少馅呢？
-
问题分析：馅与面皮，即物体的表面积与体积。用V和S表示大饺子的体积与表面积；v和s表示小饺子的体积与表面积。
-
模型假设：
-
饺子面皮一样厚，面皮面积满足
S=
n
s
S=ns
S
=
n
s
-
所有饺子形状相同
-
-
模型建立
利用半径将体积与表面积建立联系，形状相同的物体，V与S有固定的关系
V=
k
1
R
3
,
S
=
k
2
R
2
v
=
k
1
R
3
,
S
=
k
2
R
2
V=k_1R^3,S=k_2R^2 \\ v=k_1R^3,S=k_2R^2
V
=
k
1
R
3
,
S
=
k
2
R
2
v
=
k
1
R
3
,
S
=
k
2
R
2
进一步确定了包饺子问题的数学模型
V=
k
S
3
2
v
=
k
s
3
2
即
V
=
n
3
2
v
=
n
(
n
v
)
…
…
∗
V=kS^{3\over2}\\v=ks^{3\over2}\\即V=n^{3\over2}v=\sqrt{n}(nv)……*
V
=
k
S
2
3
v
=
k
s
2
3
即
V
=
n
2
3
v
=
n
(
n
v
)
…
…
∗
-
结果解释
* 式子说明了50个饺子可以包馅
2k
g
\sqrt{2}kg
2
k
g
3. 建模的基本方法与基本步骤（方法指导）
基本方法：机理分析与测试分析
根据上述简单实例，建模的基本步骤分为：
- 模型准备
- 模型假设
- 模型构成
- 模型求解
- 模型分析
- 模型检验和应用
4.案例拓展：多步决策模型
-
智力游戏：商人安全过河问题利用数学模型解决
三名商人各带一个随从渡河，一只小船只能容纳二人，由自己划行。在河的任意一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货（商人携带货物）。乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们如何安全渡河？
-
模型构成
记第k次渡河前此岸的商人数为x
k
，随从数为y
k
，k=1,2,3,……， x
k
, y
k
=0,1,2……二维向量s
k
={x
k
,y
k
}为
状态
，
允许状态集合
为S，注意保证双岸都安全
S=
{
(
x
,
y
)
∣
x
=
0
,
y
=
0
,
1
,
2
,
3
;
x
=
3
,
y
=
0
,
1
,
2
,
3
;
x
=
y
=
1
,
2
}
S=\{(x,y)|x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2\}
S
=
{
(
x
,
y
)
∣
x
=
0
,
y
=
0
,
1
,
2
,
3
;
x
=
3
,
y
=
0
,
1
,
2
,
3
;
x
=
y
=
1
,
2
}
记第k次渡河船上商人数为u
k
，随从数为v
k
二维向量d
k
={u
k
,v
k
}为
决策
，
允许决策集合
为D
D=
{
(
u
,
v
)
∣
1
≤
u
+
v
≤
2
,
u
,
v
=
0
,
1
,
2
}
D=\{(u,v)|1≤u+v≤2,u,v=0,1,2\}
D
=
{
(
u
,
v
)
∣
1
≤
u
+
v
≤
2
,
u
,
v
=
0
,
1
,
2
}
k为奇数时此岸驶向彼岸，k为偶数是彼岸驶向此岸。状态s
k
随决策d
k
变化规律是
sk
+
1
=
s
k
+
(
−
1
)
k
d
k
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∗
s_{k+1}=s_k+(-1)^kd_k \ \ \ \ \ …………..*
s
k
+
1
=
s
k
+
(
−
1
)
k
d
k
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∗
*称为
状态转移律
由上归结为
多步决策模型
：求决策模型d
k
∈D，使s
k
∈S按照状态转移律*，由初始状态s
k
=｛3，3｝经过有限步n到达状态s
k
=｛0，0｝ -
模型求解
运用计算机编写程序求解
-
方法总结
适当的设置状态和决策，确定状态转移律，建立多步决策模型，可以有效地解决这一类问题
-