本博客主要内容为图书《剑指offer》第二版47 题的解题思路及代码。方法可能还有不足之处，欢迎大家讨论评论。
1. 题目描述
在一个 m*n 的棋盘中的每一个格都放一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于0）.你可以从棋盘的左上角开始拿各种里的礼物，并每次向右或者向下移动一格，直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及上面个的礼物，请计算你最多能拿走多少价值的礼物？
比如说现在有一个如下的棋盘，
在这个棋盘中，按照（1，12，5，7，7，16，5）的顺序可以拿到总价值最大的礼物。
2. 题目分析
我们首先使用递归的思路进行分析，当求解到达右下角时礼物的最大总价值时，可以通过如下的递推关系进行计算
f
(
i
,
j
)
=
m
a
x
(
f
(
i
−
1
,
j
)
,
f
(
i
,
j
−
1
)
)
+
g
(
i
,
j
)
f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i,j-1))+g(i,j)
f
(
i
,
j
)
=
m
a
x
(
f
(
i
−
1
,
j
)
,
f
(
i
,
j
−
1
)
)
+
g
(
i
,
j
)
其中
f
(
i
,
j
)
f(i,j)
f
(
i
,
j
)
是要求解的最大值，
f
(
i
,
j
−
1
)
f(i,j-1)
f
(
i
,
j
−
1
)
到达
(
i
,
j
)
(i,j)
(
i
,
j
)
点左边点时得到最大礼物价值，而
f
(
i
−
1
,
j
)
f(i-1,j)
f
(
i
−
1
,
j
)
是到达
(
i
,
j
)
(i,j)
(
i
,
j
)
点上边点时得到最大礼物价值，
g
(
i
,
j
)
g(i,j)
g
(
i
,
j
)
是
(
i
,
j
)
(i,j)
(
i
,
j
)
点礼物的价值。这个表达式的含义是，在
(
i
,
j
)
(i,j)
(
i
,
j
)
点的礼物最大值，一定是左边过来的路径的礼物最大值或者上面过来的路径的礼物最大值，加上该点的礼物最大值。
同归地推关系式可以使用递归的方法进行求解，但是在使用递归求解的过程中会重复求解许多的值，所以这个时候就应该使用动态规划的方式进行求解。也就是说分析的过程如上，是从上到下递归地分析；而求解过程是从下到上循环地求解。
一个很直观的想法是，我们将每一步求解出的结果都保存在一个矩阵中。那么在这个问题中就要有一个和原始矩阵等大的矩阵进行存储，但是实际上只需要一个与列数相同维数的一维数组就够了。为什么存储这么少的就够了呢。
在动态规划求解这个问题的时候，我们找出到达每一行中每个位置的最大值，在求解第一行的时候，很明显只能一直向右走，对于第二行的一个数字，很明显只能从
(
0
,
0
)
(0,0)
(
0
,
0
)
走到
(
0
,
1
)
(0,1)
(
0
,
1
)
，这个还是先用与原始矩阵同样大的矩阵进行分析，如下所示
在上图中，如果要求到达 a 点的礼物的最大值，它只与左边的值和它上面的值有关，所以在计算 a 之前就可以将 1 去掉了，因为后面的计算都不会用到 a 的。同理计算出 a 点的最大值之后就可以将 11 替换掉了，因为再求 b 的时候不会再用到。分析到这里我们就可以发现，并不需要一个与原始矩阵等大的矩阵来存储中间计算的值，只需要一个与列数相同的一维向量即可。
3. 代码实现
class Solution:
def getmaxValue(self, values, rows, cols):
if not values or rows<=0 or cols <=0:
return 0
# 用于存放中间数值的临时数组
temp = [0] * cols
for i in range(rows):
for j in range(cols):
left = 0
up = 0
if i > 0:
up = temp[j]
if j > 0:
left = temp[j-1]
temp[j] = max(up,left) + values[i*rows+j]
return temp[-1]
s = Solution()
a = s.getmaxValue([1,10,3,8,12,2,9,6,5,7,4,11,3,7,16,5],4,4)
参考文献
- 何海涛. 剑指Offer.第2版[M]. 电子工业出版社, 2014.