gs1：
ch0:
均匀变化： s=v*(b-a)
非均匀变化：
1） 分 2）均 3）合 4）精
微积分研究的主要对象：
函数y=f(x) （a<=x<=b）的变化规律
微观（变化率） 宏观（改变量）
微积分研究的思想方法：
利用已知求未知
均匀变化 非均匀变化
局部均匀化求近似，利用极限得精确
导数与积分的本质：
导数和积分分别处理均匀量的商和积在处理非均匀量中的发展
ch1:函数 极限 连续
sec1:函数
函数概念： 每个x有唯一确定的y按照一定法则一一对应
（1）符号函数y=sgn x
（2）取整函数，记为[x]：不超过x的最大整数
（3）复合函数：y=f(u),u=g(x).内层函数u的值域和外层函数f的定义域交集不为空集
（4）反函数：任意y属于R，有唯一确定的x属于D，使得y=f(x)，则记为x=f^(-1) (y),称其为y=f(x)的反函数 y=x^2没有反函数。严格单调函数一定有反函数，反之则不然。函数有反函数的充要条件：一一映射
有时，将 y=f(x)的反函数x=f-1(y)写成y=f-1(x)
在同一直角坐标系中，y=f(x) ，和x=f-1(y)的图形重合，和y=f-1(x)的图形关于直线y=x对称。
f-1[f(x)]=x
(5)初等函数：
基本初等函数：幂指对三反
初等函数：由常数和基本初等函数加减乘除复合组成的函数
函数性质：
（1）单调性
（2）奇偶性：
奇函数：sinx,tanx,arcsinx,arctanx,x,ln[(1-x)/(1+x)],ln(x+（1+x^2）^(1/2),(e^x-1)/(e^x+1),f(x)-f(-x)
偶函数：x^2,cosx,f(x)+f(-x)
奇函数图形关于原点对称且f(0)=0；偶函数关于y轴对称。
（3）周期性：
f(x+T)=f(x).
f(ax+b) 以T/|a|为周期
（4）有界性：
存在M>0,使得任意x属于X，恒有|f(x)|<=M,则称f(x)在X上为有界函数
sec2:极限
题型一：极限的概念性质及存在准则（选择证明）
题型二：求极限（计算填空）
题型三：无穷小量阶的比较
（一）极限的概念
1.数列的极限
4个考点
n->∞，xn->a;
N是分割前面N个有限项和N后面无限个项，并使N后面无限个项落在xn的邻域内
数列{xn}的极限与前有限项无关
n，k->∞，limxn=a <=> limx2k-1=limx2k=a（奇数列等于偶数列的极限等于a<=>数列极限等于a）
2.函数的极限
（1）自变量趋于无穷大时函数的极限
经典错误：x->oo,（x^2+1）^(1/2)/x的极限不存在，而不是等于1.（video2）
x->oo <=> |x|->+oo.
f()的函数极限存在=》数列极限存在
(2)自变量趋于有限值时函数的极限
【注】1）任意性，x-》x0,但x!=x0。
x->x0,f(x)->A.
lim(x->x0) f(x)
与
f(x0)
无关
所以极限 x->x0,但x!=x0.
经典错误：
x->0,sin(x*sin(1/x))/x*sin(1/x)!=1,
极限不存在
.
原因：因为有数列x(n) = 1/(nπ),n = 1, 2, …；x(n) → 0 (n→∞),使得函数f(x) = sin[x*sin(1/x)]/[x*sin(1/x)]在 x(n) 没定义,即极限lim(n→∞)f[x(n)]不存在,因此极限 lim(x→0)f(x)不存在.
（3）左、右极限
左右极限存在且相等才能推出函数极限存在
分左、右极限求极限的问题有三种：
（1）分段函数在分界点处的极限
（2）e^oo型极限
（3）arctanoo型极限（如x->0,arctan1/x;）
（二）极限性质
1.有界性：
（1）(数列)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
有界不能推收敛：经典反例an=(-1)^n.
（2）(函数）如果lim(x->x0)f(x)存在，则f(x)在x0某去心邻域有界（即局部有界）。
f(x)
局部有界不能推
lim(x->x0)f(x)
存在：经典范例
lim[x->x0]sin(1/x)
振荡。
x->0
时，它去心邻域的函数值在
[-1,1]
，但是它不存在。
2.保号性：
（1）数列 ：设lim[n->oo]xn=A
（1）如果A>0(或A<0),则存在n>N时，xn>0(或xn<0);
(2) 如果存在N>0，当n>N时，xn>=0(或xn<=0),则A>=0(或A<=0）。
n->+∞
，
A>0 => xn>0;
xn>=0 => A>=0;
A>=0
不能推
xn>=0:
经典反例
[
（
-1
）
^n]/n->0;
xn>0
不能推
A>0:
经典反例
1/n->0;
(2)函数：设lim[n->oo]f(x)=A
(1)
已知极限大于或小于
0
：
A>0 => f(x)>0;
(2)
已知函数大于等于或小于等于
0
：
f(x)>=0 => A>=0;
排除法：
（1）何时用：出现一般函数
（2）如何用：套具体函数
3.极限值与无穷小之间的关系：
limf(x)=A <=> f(x)=A+a(x) 其中 lima(x)=0
(三）极限存在准则
（1）夹逼准则：（n项和的极限）
（2）单调有界准则：（递推关系xn+1 = f(xn):(1)单调有界准则证极限存在；(2)a=f(a)=>a； ）
单调有界数列必有极限：
单调增有上界的数列必有极限；
单调减有下界的数列必有极限；
（四）无穷小量
（1）无穷小量的概念
（2）无穷小的比较：
（1）高阶：
（2）低阶：
（3）同阶：
（4）等价：
（5）无穷小的阶：
（3）无穷小的性质：
（1）有限个无穷小的和仍是无穷小；（√）
——无穷小的和仍是无穷小（×）经典反例n->oo时，n项无穷小的和lim[n->+oo] [1/n^2+2/n^2+……+n/n^2]=1/2 ！= 0；
（2）有限个无穷小的积仍是无穷小；经典错误：lim[x->0] xsin1/x=(lim[x->0] x)( lim[x->0] sini/x);后面（）的极限不存在；乘积的极限拆分时必须保证拆分项的极限存在。
（3）无穷小与有界量的积仍是无穷小；
（五）无穷大量
（1）无穷大量的概念：
（2）常用的一些无穷大量的比较：
当x->+oo时，(lnx)^a<<x^B<<a^x,其中a>0，B>0,a>1
当n->oo时，(lnn)^a<<n^B<<a^n<<n!<<n^n,其中a>0，B>0,a>1;
(3)无穷大量的性质：
无穷大+无穷大不一定等于无穷大：经典反例（n)+(-n)=0
无穷大×有界不一定等于无穷大：经典反例（n×1/n^2=1/n)
无穷小×有界=无穷小
(1)有限个无穷大量的积仍为无穷大量；
(2)无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量；
(4)无穷大量与无界变量的关系：
（1）数列{xn}是无穷大量：
N项以后的值都比M大；
（2）数列{xn}是无界变量：
有那么一项xN的值比M大；
最终得出结论：无穷大量 => 无界变量：例子：奇数项为n,偶数项为0：1，0，3，0，5，0，……,2n-1,0,……：是无界变量但不是无穷大量；
(5)无穷大量与无穷小量的关系：
1/无穷大=无穷小（√）
1/无穷小=无穷大（×）
f(x)是无穷小且f(x)!=0,则1/f(x)是无穷大。（√）
sec3：
（一）极限的概念、性质及存在准则
|xn-a|<👂是|xn-a|<=2👂的充要条件；
一个数列有极限，这个数列的任何部分项都有极限：数列有极限<=>数列的奇数项和偶数项的极限存在且相等
（二）求极限——常用的求极限方法（8种）
（1）利用基本极限求极限
（1）常用的基本极限：
lim(x->0) sinx/x=1,lim(x->0) (1+x)^1/x=e,lim(x->oo) (1+1/x)^x=e等；多项式之比，x->oo看幂的最高次，x–>0，看幂的最低次；
（2）1^oo型极限常用结论：
若lima(x)=0,limb(x)=oo，且lima(x)b(x)=A,则lim[1+a(x)]^b(x)=e^A;
lim[n->oo] (n^n)/(n+1)^n=1，(×）；
（2）利用等价无穷小代换求极限
（1）代换原则
a)乘除关系可以换
若a~a1,b~b1,则lim a/b=lim a1/b =lim a/b1 =lim a1/b1;
b)加减关系在一定条件下可以换
若a~a1,b~b1,且 lim a1/b1=A !=1,则a-b~a1-b1;（两个减项不等价可以换，先换后验）lim (a-b)/(a1-b1)=lim b[a/b-1]/b1[a1/b1-1]=1;
若a~a1,b~b1,且 lim a1/b1=A !=-1,则a+b~a1+b1;(两个加项之比极限不等于-1可以换，先换后验)
(2)常用的等价无穷小：当x->0时，
(1)x-sinx~x^3/6, (2)tanx-x~x^3/3, (3)x-ln(1+x)~x^2/2等；
（1）商存在，分母趋向0，则分子一定趋向0；
@（2）当x->0时，(1+x)^a-1~ax可推广为：若a(x)->0,a(x)b(x)->0,则（1+a(x)）^b(x)-1~a(x)b(x);
（3)利用有理运算法则求极限
(1)有理运算法则：
两个极限存在，则这两个极限的和差积商一定存在，为商时分母的极限不为0；
【注】（1）存在+-不存在=不存在；
（2）不存在+-不存在=不一定；n+n=不存在，n+(-n)=存在；
（3）存在×÷不存在=不一定；1×n=不存在，1/n×n=存在；
（4）不存在×÷不存在=不一定；（-1）^n ×（-1）^n=存在；
极限，连续，导数，无穷级数，该结论相同。
常用的结论：（1）极限的非零的因子的极限可先求出来：limf(x)=A != 0 =>limf(x)g(x)=Alimg(x);
经典反例：lim[x->0] （ e^(x^2)*cosx-1 ）/x^2=lim[x->0] ( e^(x^2)-1 )/x^2=1是错的！
（2）lim f(x)/g(x)存在，lim g(x)=. 0 => lim f(x) = 0:
证明：【经典错误】如果lim f(x) ！=0，而又因为lim g(x)=.0，这与lim f(x)/g(x)存在相矛盾，故lim f(x) =0;原因：只证明了lim f(x)存在非0不成立，但lim f(x)也可以不存在；（不存在×÷存在=不一定）
【正确证明】因为lim f(x)/g(x)存在，又因为lim g(x)= 0，所以lim f(x)/g(x) * lim g(x)存在且等于0，所以lim f(x)=0；
（3）lim f(x)/g(x) = A !=0,lim f(x)=0 => lim g(x)=0;
如果A != 反例：lim [x->0] 2x/(1+x^2] =0,分母极限就不等于0；
证明：因为lim f(x)/g(x) = A !=0,所以lim f(x)/[f(x)/g(x)]=0,所以lim g(x) =0;
（4）利用洛必达法则求极限
若（1）lim[x->x0] f(x)=lim[x->x0] g(x)=0或者∞； 0/0,∞/∞;
（2）f(x)和g(x)在x0的某去心邻域内可导，且g'(x)!=0;
（3）lim[x->x0] f'(x)/g'(x)存在（或∞）；
则 lim[x->x0] f(x)/g(x)=lim[x->x0] f'(x)/g'(x). 存在
【注】（1）适用类型：0/0; ∞/∞; 0*∞; ∞-∞; 1^∞; ∞^0; 0^0。
1^∞,∞^0,0^0 => 0*∞ => 0/0 , ∞/∞
∞-∞ => 0/0 , ∞/∞
[f(x)]^g(x)=e^(g(x)ln(x))——0*∞;——∞^0; 0^0
1^∞=(1+a)^b; ab->A; 原式=e^A;
化简：（1）等价代换（2）lim f(x)=A (3) 有理化
【经典错误】设f(x)二阶可导，f(0)=0,f'(0)=1,f”(0)=2.求极限lim[x->0] (f(x)-x)/x^2.
原式 ?= lim[x->0] (f'(x)-1)/2x != lim[x->0] f”(x)/2 != f”(0)/2=1。原因是：(1) 无法判断等号后面的极限limf'(x)存在不存在或为∞ (2) 二阶可导不能保证二阶导数有极限；（3） f”(x)无法判断是否连续，所以f”(x)的极限！=f(0)。
【结论】（1）f(x) n阶可导，洛必达法则最多使用到f(x)的（n-1)阶导
（2）f(x)有n阶连续导数，洛必达法则最多使用到f(x)的n阶导
正确解：（1）lim[x->0] (f(x)-x)/x^2=lim[x->0] (f'(x)-1)/2x =1/2 *lim[x->0] (f'(x)-f'(0))/x =f”(0)/2=1。(导数定义)
（2）泰勒公式
（5）利用泰勒公式求极限
求极限往往用佩亚诺余项的泰勒公式，俗称局部泰勒公式。
原则：上下同阶原则
（6）利用夹逼原理求极限
n项和的题：放缩，夹逼
n次根式的题：lim[n->∞] x^n=0 ,|x|<1;
lim [n->∞] n#(1^n+2^n+3^n)=3;夹逼：n#(3*3^n)>原式>n#(3^n) ,所以等于3.
（7）利用单调有界准则求极限
递推关系的题：单调有界证存在；令极限=a求a。
（1）2ab<=a^2+b^2.
（2）(abc)^(1/3)<=(a+b+c)/3
为什么要证极限存在？反例：x1=1,x(n+1)=1-xn,则数列为1，0，1，0，1，……，1，0……极限不存在
（8）利用定积分定义求极限
lim[n->∞] [1/(n+1) + 1/(n+2) +……+1/(2n)]=ln2
求n项和的题：先提可爱因子1/n。
（1）sinx<x<tanx,0<x<pi/2;
（2）x/(1+x)<tan(1+x)<x,x>0;
（三）函数的连续性
常考题型与典型例题：
题型一 讨论函数连续性及间断点的类型*
题型二 有关闭区间上连续函数性质的证明题
sec1:连续性的概念
定义1 略
定义2 若lim[x->x0] f(x)=f(x0),则函数在x0处连续——在某一点x0上：极限存在，函数有意义，极限与函数相等。
定义3：左连续，右连续
定理：f(x)连续 <=> f(x）左连续且右连续
定义4：区间上的连续：（1）开区间：求某一点连续 （2）闭区间：求某一点连续再求端点处左右连续
sec2:间断点及其分类
不连续的点就叫间断点（×） 反例：lnx 在x=-1
（1）间断点的定义：
定义5 若f(x)在x0某去心邻域有定义，但在x0处不连续，则称x0为f(x)的间断点。
——x0点可以没定义，但起码它的邻域得有定义。
（2)间断点的分类（第一类间断点要说明具体是哪一种间断点，第二类间断点没有特殊要求不用说明）
（1）第一类间断点：左右极限均存在的间断点
可去间断点 左极限=右极限
跳跃间断点：左极限！=右极限
（2）第二类间断点：左、右极限中至少有一个不存在
无穷间断点 lim[x->0] 1/x=无穷
振荡间断点 lim[x->0] sin(1/x)不存在
分段函数分界点，e^∞，arctan∞分左右，其他的情况一般不用分左右。
(ln|x|)’=1/x； lim [x->0+] (x^a)lnx=0 (a>0); f(x)->0 <=> |f(x)|->0;
sec3:连续性的运算与性质
定理1 连续函数的和差积商（分母不为零）仍为连续函数；
定理2 连续函数的复合仍为连续函数；
定理3 基本初等函数在其定义域内是连续的；
定理4 初等函数在其定义区间内是连续；*
例子：f(x)=1/x，x!=0是f(x)的定义域，包含在定义域内部的区间都叫定义区间。
反例： f(x)=(cosx-1)^(1/2),只在2npi上有定义，定义域就是这些离散的点，被包含在这个函数定义域内部的区间没有。
sec4:闭区间上连续函数的性质
定理5 （有界性定理）
有限闭区间上连续的函数，在这个闭区间上一定有界；
定理6 （最值定理）
有限闭区间上连续的函数，在这个闭区间上一定有最大值、最小值；
定理7（介值定理）
若f(x）在[a,b]上连续，且f(a)!=f(b),则对f(a）与f(b)之间任一数C,至少存在一个₰∈(a,b)，使得f(₰)=C;
推论：若f(x）在[a,b]上连续，则f(x）在[a,b]上可取到介于它在[a,b]上最小值与最大值之间的一切值。
定理8 （零点定理）
若f(x）在[a,b]上连续，且f(a)*f(b)<0,则必存在₰∈（a,b)使得f(₰)=0;
解：由于f(x)是初等函数，则除x=0,x=1外处处连续。原因：x=0,x=1处是没有定义的点，其他的点都在定义区间内，由定理4 初等函数在其定义区间内是连续的，所以f(x)在其他点处是连续的。
基本初等函数有定义就连续，初等函数有定义区间就连续。
lim x^n: 当|x|<1,lim x^n=0；
当|x|>1,lim x^n=∞；
当|x|=1,lim x^n=1；
当|x|=-1,lim x^n=不存在；
【总结】1.函数：（1）复合 （2）性质
2.极限：（1）概念、性质、准则 （2）求极限* （3）无穷小比阶*
3.连续：（2）间断点及其类型 *（2）性质
（三）高阶导数
（1）定义6（高阶导数）
【注】如果f(x)在点x处n阶可导，则在点x的某邻域内f(x）必定具有一切低于n阶的导数。
（2）常用的高阶导数公式：
(sinx)^(‘n)=sin(x+n*pi/2); (cosx)^(‘n)=cos(x+n*pi/2); (uv)^(‘n)=略；
(sinax)^(‘n)=(a^n)*sin(ax+n*pi/2);
【常考题型与典型例题】
1.导数定义；2.复合函数、隐函数、参数方程求导；3、高阶导数；4、导数应用
1.导数定义：
凑导数定义的形式（拆项）：知f'(x0)值，求某式子的极限。也可以用具体函数法。
直接法，排除法：遇到一般函数用具体函数替换挨个排除项。
【经典错误】lim[h->0] [f(a+h)-f(a-h)]/2h=(1/2)*lim[h->0] {[f(a+h)-f(a)]/h + [f(a-h)-(a)]/(-h)} 推出A或B存在。其中A=[f(a+h)-f(a)]/h,B=[f(a-h)-(a)]/(-h);(×) 原因：A、B相加有极限并不能推出A或B有极限。
2.复合函数、隐函数、参数方程求导：
3.高阶导数
（1）公式
（2）求y’,y”，再归纳y^(‘n).
（3）泰勒公式：求哪点写哪一点的泰勒公式。
（四）导数应用
（1）导数的几何意义
求切线，求法线。
（2）相关变化率
已知x对t的变化率是v0，求l在（0，0）点对t的变化率：
（1）建立l与x的关系;
（2）dl/dt=(dl/dx)*(dx/dt)=(dl/dx)*v0.
ch3：微分中值定理及导数应用：
题型一 求极限
题型二 函数的极值和最值，曲线的凹向与拐点
（一）微分中值定理
费马（某点可导且在某点取极值，一定有f'(x0)=0 ）——>罗尔（区间连续+端点的函数值相等+区间内可导=f(x)在区间内一定有一点取极值）——>拉格朗日（曲线上存在切线平行于端点弦）——>柯西（y=f(x)变为参数方程y=y(t),x=x(t));
定理1 （费马引理）
如果函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么f'(x0)=0; 两个条件缺一个的反例f(x)=|x|;
函数与函数的一阶导
定理2 罗尔定理：*
定理3 拉格朗日中值定理：
f(b)=f(a)便是罗尔定理
定理4 柯西中值定理
分母的F(x)=x,便是拉格朗日中值定理
函数与函数的高阶导
定理5 皮亚诺型余项泰勒公式 局部:极限，极值
n阶可导
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+………….
若x=0,则为麦克劳林公式。
定理6 拉格朗日型余项泰勒公式 整体：最值、不等式
（n+1)阶可导
泰勒公式共同点：（1)多项式逼近 一般函数（2）函数与高阶导的关系
不同点：（1）条件不同（2）余项不同
（二）导数应用
1.函数的单调性
f(x)在闭区间连续在开区间内可导，若导数大于0，f(x)在区间内单调增；若导数小于0，f(x)在区间内单调减。
2.函数的极值
定义：
区间内恒有f'(x)>=f(x0），称f(x)在x0取极小值。
区间内恒有f'(x)<=f(x0），称f(x)在x0取极大值。、
定理8 极值的必要条件
f(x)在x0处可导且在x0点取得极值，则f'(x0）=0；
函数极值点一定是驻点（错）：反例f(x)=|x|;
可导函数极值点一定是驻点。（对）
可能的极值点：(1) f'(x0)=0 (2) f'(x0)不存在
定理9 极值的第一充分条件：导数在x0的两侧发生变号
定理10 极值的第二充分条件：一阶导等于0，二阶导不等于0：二阶导小于0取极大，二阶导大于0取极小。
3.函数的最大最小值
（1）求连续函数f(x）在[a,b]上的最值
step1:求出在(a,b)内的驻点和不可导点
step2：求出驻点和不可导点以及端点的函数值
step3:比较以上各点的函数值
（2）最大最小值的应用题
step1:建立目标函数
step2:三部曲
4.曲线的凹凸性
定义3：
凹： f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x2)]/2;
凸： f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x2)]/2;
定理11 若在区间I上f”(x)>0(<0),则曲线y=f(x)在I上是凹（凸）的。
定义4（拐点) 拐点是坐标。（你可以说x=x0是极值点但不可以说x=x0是拐点。
判定（必要条件与充分条件）极点的一个必要两个充分抬高一阶
5.曲线的渐进线
（1）水平渐近线lim[x->∞] f(x)=A,y=A是水平渐近线。一条曲线最多两条水平渐近线im[x->+∞] f(x)=A，或im[x->-∞] f(x)=A。如y=arctanx;
（2）垂直渐近线im[x->x0] f(x)=∞，那么x=x0是y=f(x)的垂直渐近线。
（3）斜渐近线 lim[x->∞] f(x)/x=a,b=lim[x->∞] (f(x)-ax),那么y=ax+b是y=f(x)的斜渐近线。最多两条x趋向±∞时，取a和b不完全相同。
【注】在+∞或-∞这一侧，有水平渐近线就没有斜渐近线，有斜渐近线就没有水平渐近线。
有水平渐近线就没有斜渐近线，有斜渐近线就没有水平渐近线。（×）反例：可以负无穷有水平渐近线，正无穷有斜渐近线。
6.函数的作图
7.曲线的弧微分与曲率
曲率 K=|y”|/(1+y’²）^(3/2)
曲率半径R=1/K;
常考题型与典型例题
1.求函数的极值与最值，确定曲线的凹向和拐点：
保号性、极值定义；排除法
【注】分段函数的分段点处存在左右导数不相等即不可导的情况，需要先求左右导数进行判断。之后再决定分段函数求导时要不要加入分段点。但最后还是要讨论分段点是不是极值点（（1）在分段点，函数是否连续，导数是否变号（2）极值点的定义）。
应用题：（1）建立目标函数（2）找极值点三步走：求导数，找驻点，再判定
建立目标函数不唯一，找最好求导的目标函数。
拐点：找二阶导为0和不存在的点。再判断左右二阶导是否变号。不存在的点左右二阶导变号还要判定一阶导在这一点是否连续
2.求渐近线；
3.方程的根：
（1）存在性：
零点定理：f(a)f(b)<0;
罗尔定理：找函数f(x)的原函数，然后用罗尔使f(x)=0;
（2）个数：
单调性
4.不等式的证明:
（1）拉格朗日定理
（2）单调性
5.中值定理证明题
下图用到介值定理：
ch4:不定积分：
1.不定积分的概念与性质
1.原函数 F'(x)=f(x)
2.不定积分 ∫f(x)dx = F(x)+C
3.不定积分的几何意义
4.原函数存在定理：
定理1：若f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上一定存在原函数。
定理2：若f(x)在区间I上有第一类间断点，则f(x)在区间I上没有原函数。例子：g(x)=sgn(x)；
5.不定积分的性质：
（1）积分的导数=被积函数； 积分的微分=被积函数*dx
（2）导数的积分=被积函数+C;微分的积分=被积函数+C;
（3）和差的积分＝积分的和差；【分项积分法】
（4）常数×f(x)的不定积分=f(x)的不定积分×常数；
2.不定积分的基本公式
略。
【应用】分项积分法
3.三种主要积分法
+-：分项积分法（加项减项拆）
×÷：分部积分法
复合：换元法
（1）第一类换元法：凑微分：dx/x=d(lnx+C) ; dx/√x=2d√x ;
（2）第二类换元法：
定理：略
常用的换元：
三角代换： 去根号
√（a²-x²） x=asint或者acost
√(a²+x²） x=atant
√(x²-a²） x=asect
（3）分部积分
∫udv=uv-∫vdu 适用两类不同函数相乘
原则：
1.遇到对数或反三角，对数反三角以外的函数凑微分
2.遇到幂，幂以外的函数凑微分
3.遇到指数或三角，指数三角以外的凑微分
（4）有原函数但不可积的函数
(1)∫e^(x²）dx
(2)∫(sinx/x) dx
(3)∫（cosx/x) dx
4.三类常见可积函数积分
（1）有理函数积分 ∫R(x)dx
（1）一般法（部分分式法）：分母因子的重数=该因子拆成分式的项数，分母因子的最高次数=拆成项分子的最高次数
*（2）特殊方法（加项减项拆或凑微分降幂）；
（2）三角有理式积分： ∫R（sinx,cosx)dx
（1)一般方法（万能代换 ） 令tan(x/2)=t
∫R(sinx,cosx)dx = ∫R[ 2t/(1+t²) , (1-t²)/(1+t²) ] *[2/(1+t²)]dt
*（2)特殊方法（三角变形，换元，分部）
（1）若R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx),则令u=cosx dcosx
（2）若R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx),则令u=sinx dsinx
（3）若R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx),则令u=tanx dtanx
换元后加项减项拆
（3）简单无理函数积分 ∫R{ x, [(ax+b)/(cx+d)]^(1/n)}dx
*一般方法：令[(ax+b)/(cx+d)]^(1/n)=t;
2+3+3：2个概念，*3种方法，3类积分
常考题型与典型例题
求不定积分（换元、分部）
被积函数f(x)是连续的分段函数，只要证明它的原函数在分段点处是连续的，那么它在分段点处一定也可导. 【被积函数是连续的分段函数，做不定积要分段做，做完以后要调整任意常数，只要保证它在分段点处连续，那么自然保证它在分界点可导，导数等于被积函数。
ch5:定积分：
题型一 定积分的概念、性质及几何意义
题型二 定积分的计算
题型三 变上限定积分
1.定积分概念
（1） 定积分的定义 【分 匀 和 精】
（2）定积分存在的
充分条件
：
（1）f(x)在[a,b]上连续；
（2）f(x)在[a,b]上
有界且只有有限个间断点
；
（3）f(x)在[a,b]上
仅有有限个第一类间断点；
【注】可积函数一定有界，但有界函数不一定可积； 反例：狄雷克力函数：D(x)={有理：=1 ；无理： = 0；}
（3）f(x)>0 ,f(x)的定积分等于曲线与区间围成的面积；
f(x)<0 ,f(x)的定积分等于曲线与区间围成的面积的负值；
f(x)可正可负， f(x)的定积分等于上面的面积减去下面的面积；
2.定积分的性质
（1）不等式：
（1）若f(x)<=g(x),则f(x)在区间[a,b]的积分<=g(x)在区间[a,b]的积分,其中a<b;
（2）f(x)在区间[a,b]上连续，则m(b-a)<=f(x)在区间[a,b]的积分<=M(b-a),m和M分别是f(x)在区间的最小值和最大值；
（3）积分的绝对值<=绝对值的积分；
（2）中值定理：
*（1）若f(x)在[a,b]上连续，则∫【a,b】f(x)dx=f(&)(b-a);a<&<b;
（2）
若
f(x)
，
g(x)
在
[a,b]
上连续
,g(x
）不变号，则∫【
a,b
】
f(x)g(x)dx=f(&)
∫【
a,b
】
g(x)dx,a<=&<=b;
3.积分上限的函数*
∫【a,x】f(t)dt=F(x);
定理： 若f(x)在[a,b]上连续，则∫【a,x】f(t)dt在[a,b]上可导且(∫【a,x】f(t)dt)’=f(x).
【揭示了微分和积分的内在联系是逆运算，揭示了原函数的存在性——连续函数一定有原函数。】
定理： 设f(x)连续
（1）若f(x)是奇函数，则∫【0,x】f(t)dt是偶函数；
（2）若f(x)是偶函数，则∫【0,x】f(t)dt是奇函数；
4.定积分的计算*
（1）牛顿-莱布尼茨公式
（2）换元法
（3）分部积分法
（4）利用奇偶性、周期性
（5）利用公式
华里士公式等公式
题型一 定积分的概念、性质及几何意义
题型二 定积分的计算
第一步，奇偶性化简
第二步，
（1）定积分的几何意义算积分：
∫【0，a】√（a²-x²）= pi*a²/4;(a>0);
∫【0，a】√（2ax-x²）= pi*a²/4;(a>0);
∫【0，2a】√（2ax-x²）= pi*a²/2;(a>0);
（2）
∫【0，pi】xf(sinx)dx=(pi/2)∫【0，pi】f(sinx)dx
题型三 变上限定积分
（1）上下限有x被积函数没有x——直接求导
（2）上下限与被积函数都有x——加项减项拆或作变量代换化成第一种形式再求导
（3）抽象函数的积分中抽象函数里既有x又有t——变量代换
求导带值：F(x)在x=pi处连续，那么0<=x<pi可以写成0<=x<=pi,左导右导都可以求导带值，就不需要麻烦的用定义求左右导数来做了。
定积分出现在极限中，
（积分中值定理第二个，让值不为0的做f(x);）
sec2:反常积分
（1）无穷区间上的反常积分
定义1：∫【a,+∞】f(x)dx=lim【t->+∞】∫【a,t】f(x)dx
定义2：∫【-∞,b】f(x)dx=lim【t->-∞】∫【t,b】f(x)dx
定义3：∫【-∞,+∞】f(x)dx=∫【-∞,0】f(x)dx + ∫【0,+∞】f(x)dx
比较对象是我们熟悉的P积分进行比较。
判收敛放大，大的收敛小的就收敛
判发散缩小，小的发散大的就发散
（2)无界函数的反常积分
常考题型与典型例题：
（1）反常积分的敛散性
（1）定义：原函数比较好找的情况下
（2）比较法：和P积分比较
（3）P积分
（2）反常积分的计算
（1）换元（定积分不分第一类换元第二类换元，统称为换元；不定积分才分第一类换元第二类换元 ）
（2）分部
ch6 定积分的应用
1.平面图形的面积
（1）直角坐标
（2）极坐标
2.旋转体体积
（1）区域D绕x轴旋转一周所得到的旋转体体积为
Vx=pi∫f²(x)dx
（2）区域D绕y轴旋转一周所得到的旋转体体积为
Vy=2pi∫xf(x)dx
3.曲线弧长
（1）
（2）
（3）
4.旋转体侧面积
sec2 物理应用
1.压力：
2.变力做功：
3.引力：
ch7 常微分方程
sec1.常微分方程的基本概念
1.微分方程
2.微分方程的阶
3微分方程的解
4.微分方程的通解
5.微分方程的特解
6.微分方程的初始条件
7.积分曲线
sec2.一阶微分方程
（1）可分离变量的方程 y’=f(x)g(y)
（2）齐次方程：dy/dx=&(y/x) 令u=y/x => y=xu. dy/dx=u+x(du/dx)=&(u) 可分
（3）线性方程; y’+P(x)y=Q(x) 通解：略 【注】在代入通解公式算e上面的积分时，e上面的出现1/x的积分不用加绝对值也不用加任意常数。
（4）伯努利方程（仅数一）：y’+P(x）y+Q(x)(y^a) (a!=1) 令y^(1-a)=u,将方程化为线性方程。
（5）全微分方程（仅数一）： dF(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0. a.判定：P对y的偏导等于Q对x的偏导。b.解法：（1）偏积分（2）凑微分（3）线积分
sec3.可降价的高阶方程
y”=f(x,y,y’)
（1）y”=f(x)
（2）y”=f(x,y’)不显含y的微分方程 ：令 y’=P,y”=dP/dx
（3）y”=(y,y’)不显含x的微分方程 ：令 y’=P,y”=P(dP/dy)
sec4.高阶线性微分方程
(1)线性微分方程的解的结构
齐次方程： y”+p(x)y’+q(x)y=0 (1)
非齐次方程 y”+p(x)y’+q(x)y=f(x) (2)
定理1：如果y1(x)和y2(x)是齐次方程（1）的两个线性无关的特解，那么有y=C1y1(x)+C2y2(x)就是方程（1）的通解。
定理2：如果y*是非齐次方程（2）的一个特解，y1(x)和y2(x)是齐次方程（1）的两个线性无关的特解，则y=C1y1(x)+C2y2(x)+y*(x)是非齐次微分方程（2）的通解。
定理3：如果y1*(x),y2*(x)是非齐次方程（2）的两个特解，则y(x)=y2*(x)-y1*(x)是齐次微分方程（1）的解。
定理4：如果y1*(x),y2*(x)分别是方程y”+p(x)y’+q(x)y=f1(x) ，y”+p(x)y’+q(x)y=f2(x) 的特解，则y1*(x)+y2*(x)是方程y”+p(x)y’+q(x)y=f1(x)+f2(x)的一个特解。
（2）常系数齐次线性微分方程
y”+py’+qy=0
特征方程 r²+pr+q=0;
设r1,r2是特征方程两个根
1）不等实根：r1!=r2 y=C1(e^(r1x)+C2(e^(r2x)
2)相等实根: r1=r2=r y=(e^(rx))*(C1x+C2);
3)共轭复根： r1,2=a±iB y=(e^(ax))*(C1cosBx+C2sinBx)
（3）常系数非齐次线性微分方程
（4）欧拉方程（仅数一）
sec5差分方程（仅数三）
题型一 微分方程求解
题型二 综合题
【注】条件是f(x)连续，为什么能求f’(x)?因为求导后可以看出f’(x)=f(x)+e^x是连续的。所以能用。
题型三 应用题
ch8 多元函数微分学
sec1. 多元函数的基本概念
1.重极限 连续 偏导数 全微分
2.常考题型与典型例题 讨论连续性、可导性、可微性
（1）多元函数的极限
lim[(x,y)->(x0,y0)] f(x,y)=A
【注】
1）(x,y)->(x0,y0)是以“任意方式”
2）（1）局部有界性（2）保号性（3）有理运算（4）极限与无穷小的关系（5）夹逼性
多元函数求极限：存在，方法步骤：（1）取绝对值（2）夹逼
不存在，方法步骤：找反例
（2）多元函数的连续性
（1）连续的概念 lim[(x,y)->(x0,y0)] f(x,y)=f(x0,y0)
（2）连续函数的性质
性质1 多元函数的和差积商（分母不为零）仍为连续函数；
性质2 多元连续函数的复合函数也是连续函数；
性质3 多元初等函数在其定义区域内连续
性质4 （最大值定理） 有界闭区域D上的连续函数在区域D上必能取得最大值与最小值。
性质5 （介值定理）有界闭区域D上的连续函数在区域D上必能取得介于最大值与最小值之间的任何值。
（3）偏导数
1）偏导数的定义
略
2） 二元函数偏导数的几何意义
z=f(x,y)是一个曲面
z=f(x,y0)表示y=y0这个平面与曲面的交线。z=f(x,y)在y=y0的偏导就是这条曲线的导数。
3）高阶偏导数
定义5 略
定理1 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数f’‘xx和f”yy在区域D内连续，则在该区域内f’‘xx=f”yy。
（4）全微分
定义5 若△z=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(p)，则称函数z=f(x,y)在点（x0,y0)处可微，dz=A△x+B△y
定理2（可微的必要条件） 如果z=f(x,y)在点（x0,y0)处可微，则在点（x0,y0)处z’x，z’y必定存在，且dz=z’xdx+z’ydy。
用定义判定可微性
a)首先，fx(x0,y0)与fy(x0,y0)是否都存在？
b)然后，lim[] {△z-[fx(x0,y0)△x+fy(x0,y0)△y]}/[(△x)²+(△y)²]½
定理3（可微的充分条件）如果z=f(x,y)的偏导数z’x,z’y在点（x0,y0)处连续，则函数z=f(x,y)在点（x0,y0)处可微。（偏导存在且在该点连续，则函数在该点可微）
（5）连续、可偏导及可微之间的关系
偏导数连续一定可微，但可微不一定偏导数连续。
2.常考题型与典型例题 讨论连续性、可导性、可微性
sec2. 多元函数微分法
1.复合函数的微分法
定理4 设u=u(x,y),v=v(x,y)在点（x,y)处有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点（u,v）处有连续偏导数，则z=f[u(x,y),v(x,y)]在点（x,y)处的两个偏导数存在。且有z’x=z’u·u’x+z’v·v’x,z’x=z’u·u’y+z’v·v’y。
全微分形式的不变性
设函数z=f(u,v)，u=u(x,y)及v=v(x,y)都有连续的一阶偏导数，则复合函数z=f[u(x,y),v(x,y)]的全微分dz=z’xdx+z’ydy=z’udu+z’vdv.
2.隐函数的微分法
1）由方程F(x,y)=0确定的隐函数y=y(x)
y’=-(F’x/F’y).
2）由方程F(x,y,z)=0确定的隐函数z=z(x,y)
若F(x,y,z)在点P(x0.y0,z0)的某一邻域内由连续偏导数，且F(x0,y0,z0)=0，F’z(x0,y0,z0)!=0。则方程F(x,y,z)=0在点（x0,y0,z0)的某邻域可唯一确定一个有连续偏导数的函数z=z(x,y),并有z’x=-(F’x/F’z)，z’y=-(F’y/F’z).
常考题型
题型一 复合函数的偏导数与全微分
先代后求
题型二 隐函数的偏导数与全微分
(1)对等式两端求偏导
(2)公式法
(3)微分形式的不变性
sec3.多元函数的极值与最值
1.无约束极值
定义7：若在点（x0,y0)的某邻域内恒成立不等式f(x,y)<=f(x0,y0) ( f(x,y)>=f(x0,y0) )
则称f在点(x0,y0)取得极大值（极小值）。点（x0,y0)称为f的极大值点（极小值点）,极大值点与极小值点统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。
定理5（极值的必要条件）：设z=f(x,y)在点(x0,y0)存在偏导数，且(x0,y0)为f(x0,y0)的极值点，则f’x(x0,y0)=0，f’y(x0,y0)=0.
驻点不一定是极值点；反例xy
极值点不一定是驻点；反例|x|+|y|
可导情况下极值点是驻点。
可能极值点：（1）驻点（2）偏导数不存在的点
定理6（极值的充分条件）设z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有二阶连续偏导数，又f’x(x0,y0)=f’y(x0,y0)=0,记A=f”xx(x0,y0),B=f”xy(x0,y0),C=f”yy(x0,y0),则
（1）当AC-B²>0时，有极值；A>0极小值，A<0极大值
（2）当AC-B²<0时，无极值。
（3）当AC-B²=0时，不一定（一般用定义判定）。
2.条件极值与拉格朗日乘数法
1）函数f(x,y)在条件Φ(x,y)=0条件下的极值。
令F(x,y,入）=f(x,y)+入Φ(x,y)
F’x=f’x(x,y)+入Φ’x(x,y)=0,
F’y=f’y(x,y)+入Φ’y(x,y)=0,
F’入=Φ(x,y)=0,
2)函数f(x,y,z)在条件Φ(x,y)=0，Ψ(x,y,z)=0条件下的条件极值
令F(x,y,z.入.u)=f(x,y,z)+入Φ(x,y,z)+uΨ(x,y,z)
3.最大最小值
1.求连续函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大最小值
1）求f(x,y)在D内部可能的极值点。
2）求f(x,y)在D的边界上的最大最小值。
3）比较
2.应用题
常考题型
题型一 求极值（无条件）
题型二求连续函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大最小值
题型三最大最小值应用题
处理边界：（1）拉格朗日常数法（2）直角坐标下，化条件为无条件（3）遇到圆椭圆等曲线边界，在参数方程下化条件为无条件
ch9: 二重积分
1.二重积分的概念与性质
(1)二重积分的概念:
定义1：∫∫【D】f(x,y)dσ=lim【入->0】 Σ【i=1,n】f(xi,yi)Δσi.
几何意义：略
(2)二重积分的性质
性质1（不等式）
（1）在D上若f(x,y)≤g(x,y),则∫∫【D】f(x,y)dσ<=∫∫【D】g(x,y)dσ,
（2）若在D上有m<=f(x,y)<=M，则mS<=∫∫【D】f(x,y)dσ<=MS,其中S为区域D的面积。
性质2（中值定理）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，S为区域D的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得∫∫【D】f(x,y)dσ=f（ξ,η）·S
2.二重积分计算
（1）利用直角坐标计算
1）先y后x ∫∫【D】f(x,y)dσ=∫【a,b】dx∫【φ1(x),φ2(x)】f(x,y)dy
2）先x后y ∫∫【D】f(x,y)dσ=∫【c,d】dy∫【φ1(y),φ2(y)】f(x,y)dx
（2）利用极坐标计算
1）先р后θ ∫∫【D】f(x,y)dσ=∫【α,β】dy∫【φ1(θ),φ2(θ)】f(рcosθ,рsinθ)рdр
【注】适合用极坐标计算的二重积分的特征
（1）适合用极坐标计算的被积函数：
f( (x²+y²）^(1/2) ) ，f(y/x)，f(x/y)
（2）适合极坐标的积分域：如
x²+y²≤R²； r²≤x²+y²≤R²;
x²+y²≤2ax; x²+y²≤2by;
圆心既不在坐标原点也不在坐标轴上的积分域，令x-x0=pcosθ,y-y0=psinθ; 【？？？】
（3）利用对称性和奇偶性计算
1）若积分域D关于y轴对称，则
当f(-x,y)=f(x,y)时， ∫∫【D】f(x,y)dσ=2∫∫【D1】f(x,y)dσ；
当f(-x,y)=-f(x,y)时， ∫∫【D】f(x,y)dσ=0；
2）若积分域D关于x轴对称，则
当f(x,-y)=f(x,y)时， ∫∫【D】f(x,y)dσ=2∫∫【D1】f(x,y)dσ；
当f(x,-y)=-f(x,y)时， ∫∫【D】f(x,y)dσ=0；
（4）利用变量对称性计算
若D关于y=x对称，则∫∫【D】f(x,y)dσ=∫∫【D】f(y,x)dσ
常考题型
题型一：累次积分交换次序及计算
题型二：二重积分计算
（凑数的题）
题型三：不等式
ch10:无穷级数
sec1:常数项级数（数一数二要求）
（1）概念与性质
（1）级数的概念
Σ【n=1,∞】un=u1+u2+……+un+……
sn=Σ【i=1,n】ui(部分和）
Σ【n=1,∞】un=lim【n->∞】sn
研究两个问题：级数收敛还是发散，级数的和
（2）级数的性质
（1）若Σ【n=1,∞】un收敛于s，则Σ【n=1,∞】kun也收敛，且其和为ks.
（2）若Σ【n=1,∞】un和Σ【n=1,∞】vn,分别收敛于s,σ.则Σ【n=1,∞】（un±vn)收敛于s±σ。
【注】收敛±发散=发散；发散±发散=不确定。
（3）在级数中去掉、加上或改变有限项不影响级数的敛散性。
（4）收敛级数加括号仍收敛且和不变。
【注】加括号收敛 不能得 原级数收敛；原级数收敛 可以得加括号收敛。
加括号发散 可以得 原级数发散。
（5）级数收敛得必要条件
Σ【n=1,∞】un收敛 ——>lim【n->∞】un=0.
lim【n->∞】un=0 不能得Σ【n=1,∞】un收敛。 经典反例：Sn=Σ【n=1,∞】(1/n).
(2)级数的审敛准则
（1）正项级数 （Σ【n=1,∞】un，un≥0）
基本定理：Σ【n=1,∞】un收敛 《=》sn上有界
1）比较判别法法：设un≤vn，则
Σ【n=1,∞】vn收敛 =>Σ【n=1,∞】un收敛
Σ【n=1,∞】un发散 =>Σ【n=1,∞】vn发散
补充：Σ【n=1,∞】un发散 =>Sn->+∞。
2）比较法的极限形式：设lim【n->∞】(un/vn)=l (0<=l<=+∞）
a.若0<l<+∞，则Σ【n=1,∞】un与Σ【n=1,∞】vn同敛散。
b.若l=0,则Σ【n=1,∞】vn收敛=>Σ【n=1,∞】un收敛，Σ【n=1,∞】un发散 =>Σ【n=1,∞】vn发散；
c.若l=+∞，则Σ【n=1,∞】vn发散=>Σ【n=1,∞】un发散,Σ【n=1,∞】un收敛=>Σ【n=1,∞】vn收敛.
两个常用级数：
1）Σ【n=1,∞】1/(n^p) p>1时收敛，当p<=1时发散；
2）Σ【n=1,∞】a(q^n) (a>0,q>0) q<1时收敛，当q>=1时发散。
3）比值法：设lim【n->∞】(un+1/un)=ρ，则
当ρ<1时，Σ【n=1,∞】un收敛； 当ρ>1时，Σ【n=1,∞】un发散； 当ρ=1时，Σ【n=1,∞】un不一定。
4）根值法：设lim【n->∞】(un)^(1/n)=ρ，则
当ρ<1时，Σ【n=1,∞】un收敛； 当ρ>1时，Σ【n=1,∞】un发散； 当ρ=1时，Σ【n=1,∞】un不一定。
5）积分判别法：设f(x)是【1，+∞）上单调减，非负的连续函数，且an=f(n)则Σ【n=1,∞】an与∫【1,+∞】f(x)dx同敛散。
总结：1）、2）：适用范围广但不方便。
3）、4）：方便但适用范围窄。
【注】出现a^n,n!,n^n其中之一，用3）4）；否则用1）2）。
（2）交错级数 （Σ【n=1,∞】[（-1）^n]un，un>0）
莱布尼茨准则：（1）若（1）un单调减；（2）lim【n->∞】un=0;则Σ【n=1,∞】[（-1）^（n-1) ]un收敛。
【注】Σ【n=1,∞】[（-1）^（n-1) ]un收敛 推不出 un单调减且lim【n->∞】un=0；
un单调减且lim【n->∞】un=0 可以推出 Σ【n=1,∞】[（-1）^（n-1) ]un收敛 。
（3）任意项级数
1）绝对收敛与条件收敛的概念
（1）若Σ【n=1,∞】|an|收敛，则Σ【n=1,∞】an必收敛，此时称Σ【n=1,∞】an绝对收敛。
（2）如Σ【n=1,∞】an收敛，Σ【n=1,∞】|an|发散，则称Σ【n=1,∞】an条件收敛。
2）绝对收敛和条件收敛的基本结论
（1）绝对收敛的级数一定收敛，即Σ【n=1,∞】|un|收敛 => Σ【n=1,∞】un收敛。
（2）条件收敛的级数的所有正项（或负项）构成的级数一定发散。即：
Σ【n=1,∞】un条件收敛 =>Σ【n=1,∞】[un-|un|]/2发散。
常考题型：
- 常数项级数敛散性判定
sec2:幂级数（数一数三要求）
sec3:傅里叶级数（仅数一要求）
