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e^(π*i) +1 = 0

根据泰勒公式

f(x) = f(0) +  f'(0)x/1! + f”(0)x^2/2! + 。。。。。+fn(0)x^n/n!+。。

fn为f的n次导数

e^(x) =

1+x+x^2/2!



+x^3/3!+…+x^n/n!

sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+Rn(x)(-∞<x<∞)

cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞<x<∞)

e^(x*i) =1+(x*i) + (x*i)^2/2! +(x*i)^3/3! +..+(x*i)^n/n!+..

= 1 + xi - x^2/2! +i*x^3/3! -x^4/4! +i*x^5/5!-...

=(1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ……) + i (x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ……)

=cosx+isinx

e^(π*i) =cosπ +isinπ =-1 

==>e^(π*i) +1 = 0