博客

证明样本方差不是总体方差的无偏估计（1）

  • Post author:
  • Post category:其他


无偏估计是用

样本

统计量来估计总体参数时的一种无偏推断。估计量的

数学期望

等于被估计参数的

真实值

，则称此估计量为被估计参数的无偏估计，即具有无偏性，是一种用于评价估计量优良性的准则。无偏估计的意义是：在多次重复下，它们的平均数接近所估计的参数真值。无偏估计常被应用于测验分数统计中，以下将呈现证明样本方差不是总体方差无偏估计的两种方法。

第一种证明方法：

首先研究
\sum \left ( X_{i} -\overline{X}\right )^{2}

\sum \left ( X_{i} -\overline{X}\right )^{2}

=\sum \left ( X_{i} ^{2}-2\overline{X}X_{i}+\overline{X}^{2}\right )

=\sum X_{i}^{2}-2\overline{X}\sum X_{i}+n\overline{X}^{2}

=\sum X_{i}^{2}-n\overline{X}^{2}

因此
E\left [ \sum \left ( X_{i} -\overline{X}\right ) ^{2}\right ]

=E\left [ \sum X_{i}^{2}-n\overline{X}^{2} \right ]

=E\left ( \sum X_{i}^{2} \right )-nE\left ( \overline{X}^{2} \right )

=\sum E\left ( X_{i}^{2} \right )-nE\left ( \overline{X}^{2} \right )
①

根据方差计算公式:

VAR(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}

同理可得：
VAR(\overline{X})=E(\overline{X}^{2})-E(\overline{X})^{2}

将上述公式带入①式

\sum E\left ( X_{i}^{2} \right )-nE\left ( \overline{X}^{2} \right )

=n(\delta ^{2}+\mu ^{2})-n(\frac{\delta ^{2}}{n}+\mu ^{2})

=(n-1)\delta ^{2}

因此

E\left [ \frac{\sum \left ( X_{i} -\overline{X}\right ) ^{2}}{n}\right ]

=\frac{(n-1)\delta ^{2}}{n}

故样本方差不是总体方差的无偏估计。


版权声明：本文为weixin_57050663原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。