扫描线

以一道题引入：平面上有



n

n






n





个矩形，有很多位置被多个矩形覆盖，其中有被最多矩形覆盖的点，问覆盖这个点的矩形个数。

考虑把矩形中的每个点都加1，于是就是查询



M

a

x

Max






M


a


x





。

既然是维护平面上矩形的更改与



M

a

x

Max






M


a


x





，容易想到树套树，但是空间不行。所以希望要有一个一维的数据结构。

既然是一维的东西，怎么能维护平面呢？

类比一下小巧的一维差分：用一个变量（零维），从左到右走过去，每次累加，在位置



i

i






i





，这个变量存下的是1至



i

i






i





的前缀和（一维）。

这样一来，可以用线段树，从上到下加下来。

一个矩形把它拆成顶和底，顶的操作，是在左侧到右侧的区间内加1，底的操作，是在左侧到右侧的区间内-1。（注意，类似于一维差分，这里底的横坐标要+1）

一个拆分如下：

接下来考虑有多个矩形。

在做一维差分时，我们可以直接在数组上+1和-1，可是这里我们不能。

那么一维差分的原理是什么？

是在做到



i

i






i





时，1至



i

−

1

i-1






i




−








1





都已经处理完，也就是讲究一个有序性。

为了保证有序的差分操作，按照拆完后的行（



x

,

y

x,y






x


,




y





）排序，然后自上到下一个个做，每次做完后查询



M

a

x

Max






M


a


x





即可。

需要注意的是，当多个行相同时，先减再加（双关键字排序），是因为减是针对矩形底的。

因为这个线段树是一维的，像一条线从上往下扫过去，于是得名“扫描线”。