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首先解释一下什么是感受野：

假设将原始输入(一般是图像)img输入到网络中，某卷积层layer_i输出的特征图为map_i。map_i的感受野就是map_i中的某个元素在这个计算过程中涉及到的img的元素数量。

我们一步步来。

符号标记：

除了上面用到的符号，我们用

r_i表示map_i的感受野尺寸；

k_i、s_i表示layer_i的卷积核尺寸、步长；

如图1，2所示：

图1：

图2：

我们首先计算r_1:

如图2，map_1的蓝色元素，

map_1中的每个元素都是由原图img中k_1个相邻元素计算来的，所以：

r_1 = k_1   (1)

然后是r_2:

同样，

map_2中的每个元素涉及到map_1中k_2个相邻元素

，但是这k_2个元素是相邻的，当s_1<k_1时，它们的感受野(在img上涉及的元素)是互有重叠的，如图2中三个矩形框互相重叠，所以不能直接用k_2*k_1来计算r_2。

但是从图2上可以看出，r_2覆盖的img的元素个数正好是(k_2 – 1)个s_1再加上k_1,即：

r_2 = (k_2 - 1)*s_1 + k_1    （2）

这里要说明一点：当s_1>k_1，map_1中k_2个相邻元素的感受野之间不仅没有重叠，而且有间隙，但这是我们认为这些间隙也算作r_2的一部分。

然后是r_3:

直接计算map_3和img之间的关联是困难的，不信你可以试试。我们能够直接计算是相邻两层，比如，map_3中的一个元素关联着map_2中的k_3个元素。这是因为相邻两层，只涉及一个卷积核(map_3中的一个元素只涉及一个卷积核k_3覆盖的map_2中的元素)，因此不存在步长、重叠的问题。

当我们计算相邻的三层卷积层时，重叠和步长带来的感受野变化这个问题就出现了，但由于3层只涉及一次重叠和步长，我们仍然可以直接写出一个公式，就像我们刚刚计算r_2那样。

因此，当我们要计算r_3，这涉及2次重叠和步长，我们(我)无法直接写出公式。于是我们先根据r_2的计算，得到map_3和map_1的元素关联。这可以直接用r_2的结论，map_3中的一个元素 涉及到 map_1中的 (k_3 – 1)*s_2 + k_2个元素。没有理解的同学可以回去看一下图2，把图中的map_2看作我们这里的map_3,img看作我们这里的map_1。

强调一下，我们有了map_3和map_1的元素关联，而且显然的是，map_3中的一个元素 涉及到 的map_1中的元素是相邻的，即：我们知道*

map_3中的一个元素涉及到了 map_1中的 (k_3 – 1)

s_2 + k_2个相邻的元素。

那如何知道map_1和img的关系呢？

现在，我们再此审视一下公式(2)，回忆一下公式(2)中的k_2是什么意思？是layer2的卷积核？是的。为什么layer2的卷积核会出现在公式(2)中呢，因为它的含义是：

map_2中的每个元素涉及到map_1中k_2个相邻元素

。而我们现在知道了*

map_3中的一个元素涉及到了 map_1中的 (k_3 – 1)

s_2 + k_2个相邻的元素


，那岂不是将 (k_3 – 1)*s_2 + k_2替换调公式(2)中的k_2，就能得到r_3了？

是的：

r_3 = (((k_3 - 1)*s_2 + k_2) - 1)*s_1 + k_1   (3)

很显然，我们可以通过计算map_4和map_2的关系，得到：map_3中的一个元素涉及到了 map_2中的 (k_4 – 1)*s_3 + k_3个相邻的元素，然后将 (k_4 – 1)*s_3 + k_3替换(3)中的k_3，获得r_4,以此类推，可以得到任何r_i

但是，如果i比较大的话，那计算r_i的公式未免也有点太长了吧。能不能化简一下呢？

很显然，r_i必然和layer_i之前的所有层都有关系，也就是说r_i的计算必然牵扯到之前所有卷积层的参数，正如同我们目前已有的这个复杂公式一样。

那么，一个直观的化简思路就是，用计算 之前特征图的感受野 的中间结果，来代替layer_i之前的层的某些参数：若干s和若干k中的至少一个。

沿着这个思路，下面我们用r_3和r_2来推导。

联立(2)(3)，消去其中的k_1(你也可以消去s_1试试)，得到：

r_3 = (k_3 - 1)*s_2 *s_1 + r_1   (4)

化简结果比我们想象的好，不只是消去了k_1，而是消去了所有的k参数。

那么：

r_i = (k_i - 1)*s_i *s_(i-1)*...*s_1 + r_(i-1)   对于i>=2    (5)
r_i = k_i                                        对于i=1

这就简单多了吧。

当然，我们可以进一步把公式(5)中i=1的情况统一到i>=2的形式中，只需要我们定义：img的感受野r_0=1，补偿s_0=1。

就有：

r_i = (k_i - 1)*s_i *s_(i-1)*...*s_1 + r_(i-1)       (6)

完结。