background

1. 什么是拓扑优化

所谓拓扑优化，即优化材料的分布，使得最终的结果能够满足结构势能最小，即柔顺度（compliance）

min_x c = 1/2 * u^T * K(x) * u = u^T * F，即力 * 在该力作用下的位移，即该力做的功，也就是势能

当给定外力做的功最小时，可理解为结构刚度最强（最硬），也就是希望得到最坚固的结构

2. 什么是有限元分析

一个拓扑优化问题其实就是一个二次规划问题，其一般形式为

min_x obj = 1/2 * x^T * G * x （对应于compliance）

s.t. Ax = b

而在拓扑优化中的等式约束条件，也就是 Ku = F，最简单的形式是弹簧的 kx = f

有限元分析就是把一个连续结构，划分成一个个有限的网格，使其成为可解问题，然后根据每个单元的物理量，装配整体结构的K

Ku = F成立的前提是，当前这个材料是一个线性材料，也就是力和位移成正比，比如钢铁。此代码中是线性材料

而非线性材料 Ku ≠ F，比如橡胶

function top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin);

nelx=80; 		% x轴方向上划分的单元个数
nely=20; 		% y轴方向上划分的单元个数
volfrac=0.4; 	% 希望最后的材料占整个结构的体积比
penal=3; 		% 惩罚因子，该优化问题得到的x是一个介于[0,1]的连续解，实际应用中x仅对0或者1有意义，也就是这个单元有材料还是无材料，为了使x趋于0或者1（结果趋于黑白化），对x进行惩罚，一般为3，也有部分难以收敛的优化问题设为5
rmin=2; 		% 过滤半径，防止棋盘格现象，具体解释见注解A

% INITIALIZE
x(1:nely,1:nelx) = volfrac; 
loop = 0; 					% 存放迭代次数的变量
change = 1.;				% 每次迭代，x的改变值，用来判断何时收敛

% START ITERATION
while change > 0.01 %当两次连续目标函数迭代的差<=0.01时，迭代结束
  loop = loop + 1;
  xold = x; %把前一次的设计变量付给xold

% FE-ANALYSIS
  [U]=FE(nelx,nely,x,penal); %有限元分析，根据x得到K，求解Ku = F，得到位移矢量u

% OBJECTIVE FUNCTION AND SENSITIVITY ANALYSIS
  [KE] = lk; % 单元刚度矩阵，当一个单元x=1时，对应的刚度矩阵
  c = 0.;	 % 目标函数的compliance

  for ely = 1:nely
    for elx = 1:nelx
      n1 = (nely+1)*(elx-1)+ely;  %左上角的单元节点
      n2 = (nely+1)* elx   +ely;  %右上角的单元节点

      %所示单元的自由度，左上，右上，右下，左下，注意顺序
      Ue = U([2*n1-1;2*n1; 2*n2-1;2*n2; 2*n2+1;2*n2+2; 2*n1+1;2*n1+2],1);

      c = c + x(ely,elx)^penal*Ue'*KE*Ue;                    % 计算目标函数的值（柔度）
      dc(ely,elx) = -penal*x(ely,elx)^(penal-1)*Ue'*KE*Ue;   % 目标函数的灵敏度（导数）
      % 灵敏度的也就是目标函数的一阶导，用于求解该优化问题
    end
  end

% FILTERING OF SENSITIVITIES
% 当对 x 施加了 filter之后，可表示为 xnew = f(x)
% 那么相应的目标函数的导数dc也是关于x的函数，dc在此也要进行相应filter
  [dc]   = check(nelx,nely,rmin,x,dc); 

% DESIGN UPDATE BY THE OPTIMALITY CRITERIA METHOD
  [x]    = OC(nelx,nely,x,volfrac,dc); % 求解优化问题得到x 

% PRINT RESULTS 屏幕上显示迭代信息
  change = max(max(abs(x-xold))); % 计算x的改变量
  disp([' It.: ' sprintf('%4i',loop) ' Obj.: ' sprintf('%10.4f',c) ...
       ' Vol.: ' sprintf('%6.3f',sum(sum(x))/(nelx*nely)) ...
        ' ch.: ' sprintf('%6.3f',change )])

% PLOT DENSITIES 优化结果的图形显示 
  colormap(gray); imagesc(-x); axis equal; axis tight; axis off;pause(1e-6);
end 



%%%%%%%%%% OPTIMALITY CRITERIA UPDATE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function [xnew]=OC(nelx,nely,x,volfrac,dc)  

l1 = 0; l2 = 100000; %用于体积约束的拉格朗日乘子
move = 0.2;

while (l2-l1 > 1e-4)
  lmid = 0.5*(l2+l1);

  %即论文公式的综合
  xnew = max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid)))));

  if sum(sum(xnew)) - volfrac*nelx*nely > 0;% 二乘法减半
    l1 = lmid;
  else
    l2 = lmid;
  end
end


%%%%%%%%%% MESH-INDEPENDENCY FILTER 灵敏度过滤 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function [dcn]=check(nelx,nely,rmin,x,dc)

dcn=zeros(nely,nelx);

for i = 1:nelx
  for j = 1:nely
sum=0.0; 

    for k = max(i-floor(rmin),1):min(i+floor(rmin),nelx)
      for l = max(j-floor(rmin),1):min(j+floor(rmin),nely)
        fac = rmin-sqrt((i-k)^2+(j-l)^2);
        sum = sum + max(0,fac);

        dcn(j,i) = dcn(j,i) + max(0,fac)*x(l,k)*dc(l,k);
      end
end

    dcn(j,i) = dcn(j,i)/(x(j,i)*sum);
  end
end


%%%%%%%%%% FE-ANALYSIS 有限元求解子程序%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function [U]=FE(nelx,nely,x,penal) %自定义函数，最后返回[U]

[KE] = lk; %单元刚度矩阵

% sparse 把一个全矩阵转化为一个稀疏矩阵，只存储每一个非零元素的三个值：元素值，元素的行号和列号
% 总体刚度矩阵的稀疏矩阵
% *2是因为x，y都有一个数
K = sparse(2*(nelx+1)*(nely+1), 2*(nelx+1)*(nely+1));

F = sparse(2*(nely+1)*(nelx+1),1); % 外力
U = zeros(2*(nely+1)*(nelx+1),1);  % 要求的结果u

for elx = 1:nelx
  for ely = 1:nely
    %一列列的排序，y*x
    n1 = (nely+1)*(elx-1)+ely; % 左上
    n2 = (nely+1)* elx   +ely; % 右上

    % 左上，右上，右下，左下 自由度
    % 一个点有两个，所以要*2。第一个从1开始，所以*2之后要-1。
    edof = [2*n1-1;2*n1; 2*n2-1;2*n2; 2*n2+1;2*n2+2; 2*n1+1;2*n1+2];

    %将单元刚度矩阵组装成总的刚度矩阵
    K(edof,edof) = K(edof,edof) + x(ely,elx)^penal*KE;  
  end
end

% DEFINE LOADS AND SUPPORTS (HALF MBB-BEAM)
F(2,1) = -1; % 应用了一个在左上角的垂直单元力。

% MBB边界条件，最左边和右下角已经固定
fixeddofs = union([1:2:2*(nely+1)],[2*(nelx+1)*(nely+1)]); % 固定节点
% ！！！如果不固定某些点的u的话，那么施加外力之后，这个结构不就跑了吗
% ！！！在数学上对应到 Ku = F的话，则意味着有多解

alldofs = [1:2*(nely+1)*(nelx+1)]; 			     % 所有节点

% setdiff 因无约束自由度与固定自由度的不同来找到无约束自由度
freedofs = setdiff(alldofs,fixeddofs); %不受约束的自由度

% SOLVING
% 注意在此仅对 freedofs做计算，原理见！！！那里
U(freedofs,:) = K(freedofs,freedofs) \ F(freedofs,:);      
U(fixeddofs,:)= 0; % 矩阵A的第r行：A（r，：） 


%%%%%%%%%% ELEMENT STIFFNESS MATRIX 单元刚度矩阵的子程序%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function [KE]=lk

E = 1.; % 杨氏模量，直观可理解为这个材料的硬度，越大则越硬
nu = 0.3; % 泊松比，当这个材料受到压缩时，nu>0则会膨胀（常见），nu<0则会收缩

% 预计算了一个矩形的单元刚度矩阵，具体求解可以看曾攀的《有限元分析》
k=[ 1/2-nu/6   1/8+nu/8 -1/4-nu/12 -1/8+3*nu/8 ... 
-1/4+nu/12  -1/8-nu/8  nu/6       1/8-3*nu/8];

				%u1,v1,  u2,v2,   u3,v3,   u4,v4
KE = E/(1-nu^2)*[    k(1) k(2) k(3) k(4) k(5) k(6) k(7) k(8)
                     k(2) k(1) k(8) k(7) k(6) k(5) k(4) k(3)
                     k(3) k(8) k(1) k(6) k(7) k(4) k(5) k(2)
                     k(4) k(7) k(6) k(1) k(8) k(3) k(2) k(5)
                     k(5) k(6) k(7) k(8) k(1) k(2) k(3) k(4)
                     k(6) k(5) k(4) k(3) k(2) k(1) k(8) k(7)
                     k(7) k(4) k(5) k(2) k(3) k(8) k(1) k(6)
                     k(8) k(3) k(2) k(5) k(4) k(7) k(6) k(1)];

A：filter的意义

当我们把连续体离散成有限元网格x后，对于一个x，其分布可能为

1 0

0 1

在数学意义下，这种情况是没有问题的，

但是对应到实际应用，为1的单元填充材料，为0的单元为空，会出现棋盘格现象，对于两个对角线上相邻的节点，虽然数学上判定连通，可是实际物理情况很容易造成应力集中结构断裂

这是由于划分成有限元网格而造成的问题（也就是无解= =），因此加上一个filter过滤一下，hack式搞定