《矩阵论》学习笔记（三）：第三章 矩阵分析及其应用
本章讲述矩阵分析的理论，其基础是高等数学分析。所有的定义、性质都是从从高等数学分析中引申出来的。
一、矩阵序列
1.1 什么是矩阵序列
-
1-矩阵序列提出的原因：
矩阵序列是对数列的推广。 -
2-矩阵序列的研究重点？
研究重点：常常研究的是矩阵序列的收敛问题。
解决方式：借助矩阵范数，将矩阵序列的收敛性问题→
\to
→正项数列的收敛性问题。
-
3-什么是矩阵序列？
1.2 矩阵序列的收敛
-
1-矩阵序列收敛/发散的定义
[矩阵序列的收敛等价于多个数列收敛] -
2-矩阵序列收敛的性质：
满足加法/乘法/逆的性质。 -
3-矩阵序列收敛的判断：
思路：借助矩阵范数，将矩阵序列的收敛性问题→
\to
→正项数列的收敛性问题。
设
A
∈
C
m
∗
n
A∈C^{m*n}
A∈Cm∗n，则有：
A
(
k
)
→
O
A^{(k)} \to O
A(k)→O的充要条件是：
∣
∣
A
(
k
)
∣
∣
→
0
||A^{(k)}|| \to 0
∣∣A(k)∣∣→0.
A
(
k
)
→
A
A^{(k)} \to A
A(k)→A的充要条件是：
∣
∣
A
(
k
)
−
A
∣
∣
→
0
||A^{(k)}-A|| \to 0
∣∣A(k)−A∣∣→0.
1.3 矩阵序列的有界
1.4 收敛矩阵的定义与性质
- 1-什么是收敛矩阵？
[前提A是方阵n*n] - 2-收敛矩阵的判断：
- A为收敛矩阵的充要条件：
ρ
(
A
)
<
1
\rho(A)<1
ρ(A)<1.
- A为收敛矩阵的充分条件：只要存在一种矩阵范数||.||，使得
∣
∣
A
∣
∣
<
1
||A||<1
∣∣A∣∣<1.
[根据矩阵谱半径的性质推出]
二、矩阵级数
2.1 什么是矩阵级数
-
1-矩阵级数提出的原因：
矩阵级数是对常数项级数概念的推广。
数学分析中的级数(幂级数)理论占有很重要的位置。所以要讨论矩阵级数。 -
2-矩阵级数的研究重点？
研究重点：矩阵级数的收敛问题、幂级数。
解决方式：借助矩阵范数，将矩阵级数的绝对收敛性问题→
\to
→正项级数的收敛性问题。
-
3-什么是矩阵级数？
∑
k
=
0
无
穷
A
(
k
)
\sum_{k=0}^{无穷}A^{(k)}
∑k=0无穷A(k):矩阵序列形成的无穷项和。
2.2 矩阵级数的收敛性
-
1-矩阵级数的部分和
S
(
k
)
S^{(k)}
S(k)
-
2-什么是矩阵级数的收敛？
[矩阵级数的收敛等价于多个常数项级数收敛]
2.3 矩阵级数的绝对收敛
- 1-什么是矩阵级数的绝对收敛？
[矩阵级数的绝对收敛等价于多个常数项级数绝对收敛] - 2-矩阵级数绝对收敛的性质
|
∑ k = 0 无 穷 A ( k ) \sum_{k=0}^{无穷}A^{(k)} ∑k=0无穷A(k) |
矩阵级数绝对收敛的性质 |
|---|---|
| 性质1 | 绝对收敛级数的更序级数绝对收敛. |
| 性质2 | 矩阵级数绝对收敛的充要条件：正项级数收敛. |
| 性质3 | 矩阵级数收敛/绝对收敛，其则矩阵
∑ P A ( k ) Q \sum PA^{(k)}Q ∑PA(k)Q也收敛/绝对收敛. |
| 性质4 | 两矩阵级数绝对收敛，其按项相乘矩阵也绝对收敛. |
2.4 幂级数
-
1-什么是矩阵的幂级数？
[矩阵是方阵] -
2-幂级数与矩阵幂级数的关系：
已知幂级数的收敛半径r，则：
若方阵A满足ρ
(
A
)
<
r
\rho(A)<r
ρ(A)<r，则矩阵幂级数收敛；
若方阵A满足ρ
(
A
)
>
r
\rho(A)>r
ρ(A)>r，则矩阵幂级数发散；
若方阵A满足ρ
(
A
)
=
r
\rho(A)=r
ρ(A)=r，矩阵幂级数收敛性不确定.
- 3-矩阵幂级数收敛的判断：
- 方阵A的幂级数收敛的充要条件：
A为收敛矩阵，且收敛时，其和为(
I
−
A
)
−
1
(I-A)^{-1}
(I−A)−1.
[A为收敛矩阵，则要满足ρ
(
A
)
<
1
\rho(A)<1
ρ(A)<1].
- 借助
ρ
(
A
)
与
r
、
ρ
(
A
)
与
范
数
∣
∣
A
∣
∣
\rho(A)与r、\rho(A)与范数||A||
ρ(A)与r、ρ(A)与范数∣∣A∣∣的关系判断，
ρ
(
A
)
<
r
、
ρ
(
A
)
<
∣
∣
A
∣
∣
\rho(A)<r、\rho(A)<||A||
ρ(A)<r、ρ(A)<∣∣A∣∣.
[方阵幂级数的绝对收敛转换为复变量幂级数的绝对收敛].
三、矩阵函数
3.1 矩阵函数的定义
- 1-矩阵函数提出的原因：
矩阵函数是对一元函数概念的推广。
矩阵函数以矩阵为自变量且取值也是矩阵的一类函数。
矩阵函数的基础是矩阵序列和矩阵级数。 - 2-矩阵函数的定义？
矩阵函数是由一个收敛的矩阵幂级数的和定义的。
矩阵函数存在的条件：
1）A是方阵；
2）是矩阵幂级数的和；
3）ρ
(
A
)
<
r
\rho(A)<r
ρ(A)<r.
3.2 常见的矩阵函数与性质
- 常见的矩阵函数：
| 复平面
C n ∗ n C^{n*n} Cn∗n |
矩阵幂级数
A ∈ C n ∗ n A∈C^{n*n} A∈Cn∗n |
|---|---|
| 指数函数
e z e^z ez |
矩阵指数函数
e A e^A eA |
| 三角函数
c o s z cosz cosz |
矩阵三角函数
c o s A cosA cosA |
| 三角函数
s i n z sinz sinz |
矩阵三角函数
s i n A sinA sinA |
- 常见矩阵函数的运算性质
- 指数运算：
e
A
e
B
≠
e
B
e
A
≠
e
A
+
B
e^Ae^B≠e^Be^A≠e^{A+B}
eAeB=eBeA=eA+B.
而是：若A
B
=
B
A
AB=BA
AB=BA，则e
A
e
B
=
e
B
e
A
=
e
A
+
B
e^Ae^B=e^Be^A=e^{A+B}
eAeB=eBeA=eA+B.
->e
A
e
−
A
=
e
−
A
e
A
=
e
I
e^Ae^{-A}=e^{-A}e^A=e^I
eAe−A=e−AeA=eI
->(
e
A
)
−
1
=
e
−
A
(e^A)^{-1}=e^{-A}
(eA)−1=e−A - 三角函数运算：
若A
B
=
B
A
AB=BA
AB=BA，则：
c
o
s
(
A
+
B
)
=
c
o
s
A
c
o
s
B
−
s
i
n
A
s
i
n
B
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB
c
o
s
2
A
=
c
o
s
2
A
−
s
i
n
2
A
cos2A=cos^2A-sin^2A
cos2A=cos2A−sin2A
s
i
n
(
A
+
B
)
=
s
i
n
A
c
o
s
B
+
s
i
n
B
c
o
s
A
sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA
s
i
n
2
A
=
2
s
i
n
A
c
o
s
A
sin2A=2sinAcosA
sin2A=2sinAcosA
3.3 矩阵函数值的求法
3.3.1 待定系数法
| 待定系数法求解步骤： | |
|---|---|
| 1. 将矩阵A的特征多项式表达成特征值的因式 |
φ ( λ ) = d e t ( λ I − A ) = ∏ i = 1 s ( λ − x i ) r i \varphi(\lambda)=det(\lambda I-A)=\prod_{i=1}^s(\lambda-x_i)^{ri} φ(λ)=det(λI−A)=∏i=1s(λ−xi)ri |
| 2. 写出首1多项式.
ψ ( λ ) \psi(\lambda) ψ(λ) |
满足： 1） ψ ( λ ) = O \psi(\lambda)=O ψ(λ)=O； 2） ψ ( λ ) \psi(\lambda) ψ(λ)可以整除 φ ( λ ) . \varphi(\lambda). φ(λ). |
| 3. 用首1多项式表示函数
f ( z ) f(z) f(z) |
f ( z ) = ψ ( λ ) g ( z ) + r ( z ) f(z)=\psi(\lambda)g(z)+r(z) f(z)=ψ(λ)g(z)+r(z) |
| 4. 计算
r ( z ) → r ( A ) r(z) \to r(A) r(z)→r(A) |
f ( A ) = r ( A ) f(A)=r(A) f(A)=r(A) |
3.3.2 数项级数求和法
3.3.3 对角形法
当A相似于一个对角矩阵B时，可以将矩阵幂级数求和问题转化成求其相似变换矩阵的问题。
A
=
P
B
P
−
1
A=PBP^{-1}
A=PBP−1,
A
2
=
P
B
2
P
−
1
A^2=PB^2P^{-1}
A2=PB2P−1
f
(
A
)
=
∑
k
=
0
无
穷
c
k
A
k
=
P
[
.
.
.
]
P
−
1
f(A)=\sum_{k=0}^{无穷}c_kA^k=P[…]P^{-1}
f(A)=∑k=0无穷ckAk=P[...]P−1
注意：这里的P矩阵不唯一，但结果却总是相同的。
3.3.4 Jordan标准形法
矩阵幂级数求和问题可以转化成求矩阵的Jordan标准形及相似变换矩阵的问题。
3.4 矩阵函数的另一种定义
- 1-矩阵函数另一种定义提出的原因：
3.1中对矩阵的定义限制必须能够写成矩阵幂级数f
(
A
)
=
∑
c
k
A
f(A)=\sum c_kA
f(A)=∑ckA的形式。
而对于任意的函数，不一定能展开成幂级数的形式。所以需要拓宽矩阵函数的定义。 - 2-矩阵函数的定义？
任意矩阵都相似于一个Jordan标准形矩阵。用Jordan标准形矩阵来定义矩阵函数f
(
A
)
f(A)
f(A).
要求：函数f
(
z
)
f(z)
f(z)在λ
i
\lambda_i
λi处具有m
i
−
1
m_i-1
mi−1阶的导数。
四、矩阵的微分与积分
4.1 什么是函数矩阵？
对
A
(
t
)
=
(
a
i
j
(
t
)
)
m
∗
n
A(t)=(a_{ij}(t))_{m*n}
A(t)=(aij(t))m∗n，
其中，矩阵A中每个元素
a
i
j
(
t
)
a_{ij}(t)
aij(t)都是t的函数，这样的矩阵称作函数矩阵。
4.2 函数矩阵的导数与积分
-
函数矩阵的导数：
矩阵函数的导数值等于对矩阵中每个元素求导得到的矩阵。 -
函数矩阵的积分：
矩阵函数的积分值等于对矩阵中每个元素积分得到的矩阵。
| 定义 | 解释 |
|---|---|
| 矩阵函数 | 首先是一种函数，特殊之处在于：函数的自变量是矩阵，因变量也是矩阵 |
| 函数矩阵 | 首先是一种矩阵，特殊之处在于：矩阵中每一元素都关于自变量t的函数
a i j ( t ) a_{ij}(t) aij(t) |
4.3 函数对矩阵的导数
4.4 函数矩阵对矩阵的导数
| 函数矩阵的导数 -定义 | 解释 |
|---|---|
| 函数对矩阵的导数 | 首先有一个矩阵X，再有一个mn元的函数
f ( X ) f(X) f(X)，其特点是：自变量是X中每一元素。求的是 f ( X ) d X \frac{f(X)}{dX} dXf(X)。 |
| 函数矩阵对矩阵的导数 | 首先有一个函数矩阵F(X)，其特点是：每一元素都是一种函数
f ( X ) i j f(X)_{ij} f(X)ij。其中， f ( X ) i j d X \frac{f(X)_{ij}}{dX} dXf(X)ij即是上面“函数对矩阵的导数” |