伯努利分布
伯努利分布是二项分布的一种特殊情况，它描述的是单次随机试验中，只有两种结果的概率分布。其中，一种结果的概率为
p
p
p
，另外一种结果的概率为
1
−
p
1-p
1
−
p
。伯努利分布的概率质量函数如下：
f
(
k
;
p
)
=
{
p
if
k
=
1
,
1
−
p
if
k
=
0.
f(k;p)=\begin{cases} p & \text{if }k=1,\\ 1-p & \text{if }k=0. \end{cases}
f
(
k
;
p
)
=
{
p
1
−
p
if
k
=
1
,
if
k
=
0.
其中，
k
k
k
表示事件发生的结果，
p
p
p
表示事件发生的概率。
伯努利分布的一个经典例子是抛硬币。在抛硬币的过程中，正面朝上的概率为
p
p
p
，反面朝上的概率为
1
−
p
1-p
1
−
p
。这里的
p
p
p
就是伯努利分布的参数。
二项分布
二项分布是离散型概率分布的一种，它描述的是在
n
n
n
次独立重复的随机试验中，某个事件发生
k
k
k
次的概率分布。每次试验的结果只有两种，成功和失败。其中，成功的概率为
p
p
p
，失败的概率为
1
−
p
1-p
1
−
p
。二项分布的概率质量函数如下：
f
(
k
;
n
,
p
)
=
Pr
(
k
;
n
,
p
)
=
Pr
(
X
=
k
)
=
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
,
f(k;n,p)=\Pr(k;n,p)=\Pr(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},
f
(
k
;
n
,
p
)
=
Pr
(
k
;
n
,
p
)
=
Pr
(
X
=
k
)
=
(
k
n
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
,
其中，
k
k
k
表示事件发生的次数，
n
n
n
表示试验的总次数，
p
p
p
表示每次试验成功的概率。
二项分布的一个经典例子是扔硬币。如果我们扔一次硬币，那么它的结果就是一个伯努利分布。如果我们连续扔
n
n
n
次硬币，那么它的结果就是一个二项分布。
伯努利分布和二项分布的辨析
伯努利分布是二项分布的一种特殊情况，即
n
=
1
n=1
n
=
1
的情形。因此，二项分布是多次伯努利分布的叠加。在实际应用中，伯努利分布通常用于描述单次试验的结果，而二项分布通常用于描述多次试验的结果。例如，我们可以用伯努利分布来描述一次抛硬币的结果，而用二项分布来描述抛
n
n
n
次硬币，正面朝上
k
k
k
次的结果。