Lyapunov equation,sylvester equation and ricatti quation
今天在学习《output regulation》西尔韦斯特方程有解的证明时，猛然想到这太像前面学习的李雅普诺夫方程了，一看，真的完全是一样的，证明的方式都差不多，几乎完全一样，后面根据其他博客的学习在拓展一种新的方程Riccati方程。
-
Lyapunov方程
AM
+
M
B
=
C
AM+MB=C
A
M
+
M
B
=
C
很重要的是关于其中
A(
M
)
:
=
A
M
+
M
B
\Alpha(M):=AM+MB
A
(
M
)
:
=
A
M
+
M
B
特征值是矩阵A与矩阵B的特征值和的证明
令
μ\mu
μ
是矩阵A对应于特征值
λi
\lambda_i
λ
i
的右特征值,所以
Aμ
=
λ
i
μ
A\mu=\lambda_i\mu
A
μ
=
λ
i
μ
；令
vv
v
为矩阵B对应于特征值
μj
\mu_j
μ
j
的左特征值，所以
vB
=
v
μ
j
vB=v\mu_j
v
B
=
v
μ
j
,将矩阵
uv
uv
u
v
作为变量带入映射
A\Alpha
A
,我们可以得到
Λ(
u
v
)
=
A
u
v
+
u
v
B
=
λ
i
u
v
+
u
v
μ
j
=
(
λ
i
+
μ
j
)
u
v
\Lambda(uv)=Auv+uvB=\lambda_iuv+uv\mu_j=(\lambda_i+\mu_j)uv
Λ
(
u
v
)
=
A
u
v
+
u
v
B
=
λ
i
u
v
+
u
v
μ
j
=
(
λ
i
+
μ
j
)
u
v
在线性系统中的应用：
比如说，我们对于可控的线性系统可以通过状态反馈任意配置系统的特征值，在计算相应的feedback gain的时候，我们可以利用计算lyapunov equation的方式计算。 -
Sylvester方程
一般的Sylvester方程的形式：
A∈
R
m
×
m
,
B
∈
R
n
×
n
A \in \mathbb{R}^{m\times m},B \in \mathbb{R}^{n\times n}
A
∈
R
m
×
m
,
B
∈
R
n
×
n
XA
−
B
X
=
Q
XA-BX=Q
X
A
−
B
X
=
Q
《output regulation》这本书中给出的证明是通过克罗内克积去证明的，其实最本质的东西没说出来，为什么特征值就是两个矩阵特征值的差。
Sylvester equation方程有解的有唯一解的充分必要条件是
AA
A
,
BB
B
没有公共特征值。
证明用到了克罗内克积与向量函数(vector-valued function)
首先给出一个克罗内克积的性质：
vec
(B
X
A
)
(BXA)
(
B
X
A
)
=
(A
T
⊗
B
)
(A^T \otimes B)
(
A
T
⊗
B
)
vec
(X
)
(X)
(
X
)
在线性系统输出调节中的应用： -
Ricatti方程
Algebraic Riccati equation（代数黎卡提方程）:
AT
P
+
P
A
−
P
B
R
−
1
B
T
P
+
Q
=
0
A^{T} P+P A-P B R^{-1} B^{T} P+Q=0
A
T
P
+
P
A
−
P
B
R
−
1
B
T
P
+
Q
=
0
一般的简化形式为：
AT
P
+
P
A
+
I
n
−
P
B
B
T
P
=
0
A^TP+PA+I_n-PBB^TP=0
A
T
P
+
P
A
+
I
n
−
P
B
B
T
P
=
0
此方程具有很多的解，不过我们想要求得其使得相关的LQR系统闭回路的系统稳定的稳定唯一解，只有当系统(A,B)是可控的时候，方程有唯一一个正定解。