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1、矩阵的逆
定义：
设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=I。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。

可逆条件：
A是可逆矩阵的充分必要条件是，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。（当 时，A称为奇异矩阵）

性质：
-矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。
-可逆矩阵一定是方阵。
-如果矩阵A是可逆的，A的逆矩阵是唯一的。
-可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。
-两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
-可逆矩阵的转置矩阵也可逆。
-矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

2、矩阵的伪逆
伪逆矩阵：
伪逆矩阵是逆矩阵的广义形式。由于奇异矩阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵，但在matlab里可以用函数pinv(A)求其伪逆矩阵。基本语法为X=pinv(A),X=pinv(A,tol),其中tol为误差,pinv为pseudo-inverse的缩写：max(size(A))*norm(A)*eps。函数返回一个与A的转置矩阵A’ 同型的矩阵X，并且满足：AXA=A,XAX=X.此时，称矩阵X为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。pinv(A)具有inv(A)的部分特性，但不与inv(A)完全等同。如果A为非奇异方阵，pinv(A)=inv(A)，但却会耗费大量的计算时间，相比较而言，inv(A)花费更少的时间。

3、opencv函数invert（）介绍

double invert(InputArray src, OutputArraydst, int flags=DECOMP_LU);

功能：用以求取一个矩阵的逆或者伪逆。

src： 输入，浮点型（32位或者64位）的M×N的矩阵，当参数3的使用方法为DECOMP_CHOLESKY DECOMP_LU DECOMP_EIG时函数功能为求逆，此时需保证M=N（参见参数flag）。

dst： 输出，与输入矩阵类型一致的N×M的矩阵。

flag：求逆方法，提供4种可选择的方法：DECOMP_CHOLESKY（基于CHOLESKY分解的方法）， DECOMP_LU（基于LU分解的方法）， DECOMP_EIG（基于特征值分解的方法）， DECOMP_SVD（基于奇异值分解的方法）。其中，前三种方法要求输入的矩阵必须为方阵，此时计算结果为矩阵的逆；最后一种方法为对非方阵的伪逆计算，对矩阵的形状没有要求。函数接口的默认参数为DECOMP_LU方法（应该是效率较高的一种方法）。

4、实现代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <opencv2/opencv.hpp>

using namespace std;
using namespace cv;

int main()
{

	vector<vector<float>> vec{ { 0.68f, 0.597f, -0.211f },
						{ 0.823f, 0.566f, -0.605f } };
	const int rows{ 2 }, cols{ 3 };

	printf("source matrix:\n");
	for (int i = 0; i < vec.size(); i++)
	{
		for (int j = 0; j < vec[i].size(); j++)
			cout << vec[i][j] << '\t';
		cout << endl;
	}
	
	printf("\nopencv implement pseudoinverse:\n");
	Mat mat(rows, cols, CV_32FC1);
	for (int y = 0; y < rows; ++y) {
		for (int x = 0; x < cols; ++x) {
			mat.at<float>(y, x) = vec[y][x];
		}
	}

	Mat pinv2;
	invert(mat, pinv2, cv::DECOMP_SVD);
	
	for (int y = 0; y < pinv2.rows; ++y)
	{
		for (int x = 0; x < pinv2.cols; ++x)
			cout << pinv2.at<float>(y, x) << '\t';
		cout << endl;
	}

	system("pause");
	return 0;
}