LBD算法 – Graph matching 图匹配算法分析

概述

原文：《An efficient and robust line segment matching approach based on LBD descriptor and pairwise geometric consistency》

上一步我们进行了线特征的提取和描述，接下来我们进行线特征的匹配。在此之前我们先通过预处理将一些明显无法匹配的特征给消除，以降低图匹配问题的维度。
该部分图匹配算法分为三步：

查找候选匹配对
构建关系图
生成最终匹配结果

1. 查找候选匹配对

匹配的双方，我们分别称为参考图像和查询图像，检测出双方的LineVecs之后，我们要检测他们的一元几何属性和局部外观相似度，若未通过测试，那么认为他们是不匹配的。这样做可以大大减小图优化匹配的问题维度，使得我们后期匹配的速度更快。

1.1.一元几何属性

线段的一元几何属性就是LineVecs的方向，在同一个LineVec中的线具有相同的方向，并且每一个LineVec拥有唯一的方向。但是两张图中的LineVecs的方向有可能是不可靠的，图像有可能会有任意角度的旋转，对于这点，我们利用图像对之间存在的近似全局旋转角，可以减少候选匹配对的数目。

构建旋转

和其他文章中使用对应匹配来进行图像旋转不同，LBD的Matching中通过计算两个图像的LineVecs方向直方图，得到规范化直方图，h代表直方图。我们改变的角度，通过公式寻找一个全局近似旋转角。

而全局旋转变换不一定总是好的，所以我们也需要去检查估计旋转角是不是真的。实际上如果透视变换可以通过旋转来近似，那么直方图之差比较小。这代表了在进行了旋转之后，两个图像之间的相似程度。
这里写图片描述
上图就显示出了两张图之间的直方图差距，通过旋转我们可以得出两张图之间相似度很高。上图中的预估角度是0.349，偏移是0.243

但是如果图像中提取的线重复度很低的话，这种直方图方法就有可能提取出错误的旋转角度。为了解决这个问题，对于在方向直方图上落入相同区间bins的线段，将他们的长度累积起来。那么我们就可以得到一个长度向量，其第i个元素就是方向直方图中第i个bin中的线段累计长度。

我们设定最小偏移直方图小于阈值th，并且最小偏移长度向量距离小于阈值tl时，我们接受我们所估计的全局旋转角。一旦全局旋转角被接受，就会有一对LineVecs被匹配。但是如果这对LineVecs的方向角度和估计的全局旋转角之差超过阈值，那么我们认为他们是不能够匹配的。如果两个图片之间没有可以接受的旋转角度，那么我们只测试他们的外观相似性。

1.2. 局部外观相似性

我们用直线描述符之间的距离（lost）来度量局部外观相似度。
对于LineVec中的每个线段，我们都从提取出线的尺度层中生成一个LBD描述子向量V。当我们对一幅图像中提取出来的两组LineVec进行匹配，要去评估参考LineVec和测试LineVec中所有描述子之间的距离，并且用最小的描述子距离去测量LineVec外观相似度s。如果 s > ts s大于局部外观不相似容忍度，那么相应两个LineVecs将不会再进一步考虑。

在检查了LineVecs的一元几何属性和局部外观相似性之后，通过了这些测试的直线对被当做候选匹配。我们在上面的测试中，应当选取一组松散阈值，其中经验值是 tθ=π/4 ts=0.35。候选匹配的数量比实际匹配的数量要大很多，因为我们不能仅仅按照刚才两个属性来确定最终的匹配结果，当然我们上面的工作也是大大减小了图形匹配的问题维度的。

2. 构建关系图

对于上面得到一组候选匹配项，我们要构建一个关系图
其中关系图里的节点代表潜在的对应点
节点之间的连接的权重代表对应点之间的一致性。

拿到了k对对应关系，我们用一个大小为k*k的邻接矩阵A来表示关系图，其中第i行第j列的元素值是候选LineVec匹配对的一致性得分。其中分别是引用图和查询图的LineVecs变量，上面的一致性得分是通过候选匹配对的成对几何属性和外观相似度计算的来的。

成对几何属性

我们选择两条线分别是，他们代表了这两个LineVecs之间的最小描述子距离，并在原图中定位他们的端点位置。然后我们用他们的交点比率，投影比率和相对角度来描述的几何属性，就如上图所描述的那样。其中的两个值的计算方法如下：

Ij和Pj的值可以用相同的方法求解得到，相对角度可以直接用线方向求得。这三个量对平移旋转缩放都是不变的。

外观相似度

之前，我们使用LBD描述向量来表示线的局部外观。
假设描述子与r图（参考图）和q图（查询图）的LineVecs之间的最小距离是，同理对是。我们可以得到两组成对几何属性和局部外观，分别是。

计算一致性得分Aij：

其中是几何相似性；是局部外观相似性；是条件。最后一个代表所有在内的元素都不能大于1。
接下来我们设。计算完他们的一致性得分之后，我们便获得了邻接矩阵A。

3. 生成最终匹配结果

到这一步之后，匹配的问题最终就变成了，寻找匹配簇LM，该匹配簇可以最大化总的一致性分数，以至于可以满足映射约束。我们使用一个指标向量来表示这个簇，否则为0，因此这个问题被表示为：

其中x受制于映射约束。一般来说用二次规划来解决这个问题太耗费资源，我们采用谱图技术，对x放款映射约束和积分约束，使得他的元素可以采集实际值在[0,1]区间里。
通过Raleigh比率定理，可以最大化的x*是A的主特征向量。它仍然是使用映射约束二值化特征向量和获得最优解的一个强大近似。