一、群
半群
在非空集合上定义了一个满足结合律的二元运算，则称
{
S
;
∗
}
\{S;* \}
{
S
;
∗
}
为一个半群。
幺元
左幺元满足
e
a
=
a
ea = a
e
a
=
a
，如果既是左幺元又是右幺元，则称为幺元，则该半群就是幺半群。
逆元
存在
b
∈
S
,
b
a
=
e
b \in S ,ba =e
b
∈
S
,
b
a
=
e
,则称b为a的左逆元，如果既是左逆元又是右逆元，则称
b
b
b
为逆元，
a
a
a
成为可逆元。
性质
幺半群的幺元是唯一的，而且任何可逆的逆元也是唯一的。
群
如果幺半群中的每一个元都是可逆元，则称为群。
交换群、无限群、有限群、平凡群
特点
满足封闭性、结合律、存在恒等元和逆元。
满足交换律的群称为阿贝尔群
性质
满足左、右消去律
子群
设G为群，H是群G的子集，H不是空集，H在G的运算上构成群，则称H为G的子群，记作H<G。
例：
{
R
+
；
⋅
}
<
{
R
∗
;
⋅
}
\{R^{+}；·\} < \{R^{*};·\}
{
R
+
；
⋅
}
<
{
R
∗
;
⋅
}
{
{
1
,
−
1
}
;
⋅
}
<
{
R
∗
;
⋅
}
\{\{1,-1\};·\} < \{R^{*};·\}
{
{
1
,
−
1
}
;
⋅
}
<
{
R
∗
;
⋅
}
性质
1）G的幺元一定在H里面
2）
∀
h
∈
H
\forall h \in H
∀
h
∈
H
,h在G中的逆元
h
−
1
∈
H
h^{-1} \in H
h
−
1
∈
H
3）设
H
1
<
G
,
H
2
<
G
H_1 < G,H_2 <G
H
1
<
G
,
H
2
<
G
，则
H
1
∩
H
2
<
G
H_1 \cap H_2 < G
H
1
∩
H
2
<
G
子群的判定
设G为群，H为G的非空子集，则在下列条件等价
- H <G
-
∀a
,
b
∈
H
,
a
b
∈
H
,
a
−
1
∈
H
\forall a,b \in H, ab\in H,a^{-1} \in H
∀
a
,
b
∈
H
,
a
b
∈
H
,
a
−
1
∈
H
-
∀a
,
b
∈
H
,
a
b
−
1
∈
H
\forall a,b \in H, ab^{-1} \in H
∀
a
,
b
∈
H
,
a
b
−
1
∈
H
设H为群G的非空有限子集，则
H
<
G
⇔
H
H<G \Leftrightarrow H
H
<
G
⇔
H
对运算封闭
陪集
设G为群，
H
<
G
,
a
∈
G
H < G, a \in G
H
<
G
,
a
∈
G
定义
a
H
=
{
a
h
∣
h
∈
H
}
,
H
a
=
{
h
a
∣
h
∈
H
}
aH = \{ah | h \in H \},Ha = \{ha| h \in H\}
a
H
=
{
a
h
∣
h
∈
H
}
,
H
a
=
{
h
a
∣
h
∈
H
}
,以a 为代表元的H的左陪集和右陪集。
定理
：设G为群，H<G，则关系
a
R
b
=
a
−
1
b
∈
H
a R b = a^{-1}b \in H
a
R
b
=
a
−
1
b
∈
H
为等价关系，a所在的等价类
a
‾
=
a
H
\overline{a} = aH
a
=
a
H
,故a的所有左陪集构成G的一个划分。
在加法群中
，左陪集记作
a
+
H
a + H
a
+
H
，关系R为
a
R
b
⇔
b
−
a
∈
H
aRb \Leftrightarrow b-a \in H
a
R
b
⇔
b
−
a
∈
H
H是群G的子群，
a
,
b
∈
G
a,b \in G
a
,
b
∈
G
则
a
H
aH
a
H
和
b
H
bH
b
H
要么互不相交，要么重合。
a
H
=
b
H
aH = bH
a
H
=
b
H
当且仅当
a
−
1
b
∈
H
a^{-1}b \in H
a
−
1
b
∈
H
等价关系
A是一个非空集合，R是
A
×
A
A \times A
A
×
A
的一个子集，
a
,
b
∈
A
a,b \in A
a
,
b
∈
A
，若
(
a
,
b
)
∈
R
(a,b) \in R
(
a
,
b
)
∈
R
，则称a与b有关系R，记为aRb或a~b，则称R为A的一个二元关系。
如果关系满足反身性、对称性、传递性，则称关系R为A的一个等价关系。
等价类和代表元
A中与a有关系R的所有元素的集合，a称为代表元
商群
商集合
G中有等价关系R，则G的所有不同的等价类的集合称为G对R的商集合，记为G/R 。
从陪集来定义：
{
a
H
}
\{aH\}
{
a
H
}
构成G的分类，记商集合
G
/
H
G/H
G
/
H
为G对H的左商集或者左陪集空间。
a
‾
\overline{a}
a
是A的子集合，是商集合A/R中的元素。
G/H的基数称为H在G中的指数，记为
[
G
:
H
]
[G:H]
[
G
:
H
]
例：
[
Z
:
m
Z
]
=
m
,
m
∈
N
[Z:mZ] =m ,m \in N
[
Z
:
m
Z
]
=
m
,
m
∈
N
所有的左陪集
0
‾
,
1
‾
,
.
.
.
m
−
1
‾
\overline{0},\overline{1},…\overline{m-1}
0
,
1
,
.
.
.
m
−
1
lagrange定理
设G是有限群，H<G，则有子群H的阶是群G的阶的因子。特别地，任何元素的阶也是群G的阶的因子。
[
G
:
H
]
=
[
G
:
H
]
×
∣
H
∣
[G:H] = [G:H]\times |H|
[
G
:
H
]
=
[
G
:
H
]
×
∣
H
∣
推论
设G是有限群，K<G,H<K,则有
[
G
:
H
]
=
[
G
:
K
]
×
[
K
:
H
]
[G:H] = [G:K]\times[K:H]
[
G
:
H
]
=
[
G
:
K
]
×
[
K
:
H
]
商群
思想:由G中的运算，诱导出G/H的运算。
当且仅当H是G的正规子群时，任两个左陪集的乘积一定是一个左陪集，并且乘积的代表元就是原来两个左陪集代表元的乘积，于是我们在左陪集空间G/H上定义乘法
g
1
H
⋅
g
2
H
=
g
1
g
2
H
g_1H \cdot g_2 H = g_1g_2H
g
1
H
⋅
g
2
H
=
g
1
g
2
H
，满足该运算的G/H构成一个群，称为G对H的商群。
同余关系
设集合H中有二元运算，如果H的一个等价关系R在该运算下仍然保持，即对任意
a
,
b
,
c
,
d
∈
H
a,b,c,d \in H
a
,
b
,
c
,
d
∈
H
,
a
R
b
,
c
R
d
⇒
(
a
∗
c
)
R
(
b
∗
d
)
aRb ,cRd \Rightarrow (a*c)R(b*d)
a
R
b
,
c
R
d
⇒
(
a
∗
c
)
R
(
b
∗
d
)
,则称R为H关于运算*的一个同余关系。
此时a所在的等价类
a
‾
\overline{a}
a
也叫做a的同余类。
正规子群
设H是群G的子群，如果对于任意
g
∈
G
,
h
∈
H
g \in G, h\in H
g
∈
G
,
h
∈
H
，有
g
h
g
−
1
∈
H
ghg^{-1}\in H
g
h
g
−
1
∈
H
，则称H为G的正规子群，记作
H
⊲
G
H \lhd G
H
⊲
G
例：
平凡子群为正规子群
Abel群的任意子群都是正规子群
设H<G，则下列条件等价
-
H⊲
G
H \lhd G
H
⊲
G
-
∀g
∈
G
,
g
H
=
H
g
\forall g \in G , gH = Hg
∀
g
∈
G
,
g
H
=
H
g
-
∀g
1
,
g
2
∈
G
,
g
1
H
⋅
g
2
H
=
g
1
g
2
H
\forall g_1 , g_2 \in G, g_1 H \cdot g_2 H = g_1g_2H
∀
g
1
,
g
2
∈
G
,
g
1
H
⋅
g
2
H
=
g
1
g
2
H
，其中
g1
H
⋅
g
2
H
=
{
g
1
h
1
g
2
h
2
∣
h
1
,
h
2
∈
H
}
g_1H \cdot g_2 H =\{g_1h_1g_2h_2 | h_1,h_2 \in H\}
g
1
H
⋅
g
2
H
=
{
g
1
h
1
g
2
h
2
∣
h
1
,
h
2
∈
H
}
定理 ：设H<G，则等价运算
R
:
a
R
b
⇔
a
−
1
b
∈
H
R:aRb \Leftrightarrow a^{-1}b \in H
R
:
a
R
b
⇔
a
−
1
b
∈
H
是G的同余关系
⇔
H
⊲
G
\Leftrightarrow H\lhd G
⇔
H
⊲
G
例：
{
Z
;
+
}
\{Z;+\}
{
Z
;
+
}
为Abel群，
m
∈
N
,
m
Z
⊲
Z
,
Z
/
m
Z
m \in N,mZ \lhd Z,Z /mZ
m
∈
N
,
m
Z
⊲
Z
,
Z
/
m
Z
为商群，记为
Z
m
Z_m
Z
m
，称为模m的剩余类加群。