逻辑回归的极大似然推导：
由于似然函数是样本的函数，需要知道其分布，并且假设相互独立。
上述公式就推导出梯度下降更新的方向
梯度更新的方法：
逻辑回归编程实现（
按步骤手工编程
）
假设我们有一个数据，共有100个样本，含两个x变量，x1、x2，一个目标变量y。数据如下：
我们的目标是求出参数θ0、θ1、θ2。
步骤1：定义sigmoid函数
logistic转化成预测概率。
步骤2：定义线性回归函数z的表达式
步骤3：定义初始值
θ
步骤4：根据对数似然函数，写出J（
θ
），并写出损失函数
当
θ初始值为0时，此时的损失函数的值为ln(0.5)
步骤5：计算每个参数的梯度下降方向
步骤6：定义样本数据的刷新重排
每次迭代后需要重新刷新数据：
步骤7：梯度下降算法模块
1）设置不同的迭代停止策略，
共有三种策略：根据迭代次数、根据两次迭代目标值的变化、根据梯度值。
2）定义梯度下降公式。
3）定义梯度下降的方法
梯度下降有三种方法：
-
批量梯度下降法：
在更新参数时使用所有样本来进行更新.
-
随机梯度下降法：
批量梯度下降法原理类似，区别在与求梯度时没有用所有的n个样本的数据，而是仅仅选取1个样本来求梯度。和批量梯度下降法是两个极端值
-
小批量梯度下降法：
是批量梯度下降法和随机梯度下降法的折中，也就是对于n个样本，我们采用m个样子来迭代，1<m<n。一般可以取m=10，当然根据样本的数据，可以调整这个m的值。
步骤8：梯度下降算法实施案例。
可尝试不同的方法和策略
1、对比不同的停止策略，采用批量梯度下降法
1）策略1：采用限制迭代次数停止法。迭代策略设置为5000次。最后损失值为0.63
2）策略2：采用目标值变化的限制，两次目标值的变动小于0.000001时则停止。大约迭代了109901次，最后的损失值为0.38.
3）停止策略3：采用梯度值的方法限制，梯度值的限制为0.05。大约迭代了140045次，最后的损失值为0.49.
也可以看出迭代次数越多效果越好。
2、对比不同梯度下降法
1）采用随机梯度下降法：取
1个样本来求梯度
可以看出模型不稳定。尝试调小学习率，增加迭代次数
2）采用小批量梯度下降法：取10个样本来求梯度
结果仍然不太稳定。
3、数据标准化之后的处理
尝试下对数据进行标准化 将数据按其属性(按列进行)减去其均值，然后除以其方差。最后得到的结果是，对每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近，方差值为1。
1）批量梯度下降法，迭代5000次，求解目标值为0.38.数据预处理非常重要，可以提高迭代效率。
2）批量梯度下降法，迭代次数增加，可以使损失函数降的更多
更多的迭代次数会使得损失下降的更多。
3）小批量梯度下降法，增加迭代次数，下降效果更好
步骤10：定义精确度，并求解优化前及优化后的精度对比。
计算精度
当theta=
array([[ 0., 0., 0.]])时，计算精度为：
当theta为梯度优化后的值时，求出的精度为89%
Theta: [[ 1.49844241 3.5261332 3.27347064]]
关于逻辑回归的知识，可参考：
统计知识3:逻辑回归函数、Sigmoid函数、极大似然
关于梯度下降的知识，可参考：
统计知识4：梯度下降