关于凸集的证明
例题
：
设
C=
{
x
∈
R
n
∣
x
T
A
x
+
b
T
x
+
c
≤
0
}
C=\{x \in R^n|x^TAx+b^Tx+c \leq 0\}
C
=
{
x
∈
R
n
∣
x
T
A
x
+
b
T
x
+
c
≤
0
}
，其中
AA
A
为
nn
n
阶对称矩阵，
b∈
R
n
b \in R^n
b
∈
R
n
，
c∈
R
c \in R
c
∈
R
，证明：当
AA
A
正定时，
CC
C
为凸集。
解答
：
令
f(
x
)
=
x
T
A
x
+
b
T
x
+
c
f(x)=x^TAx+b^Tx+c
f
(
x
)
=
x
T
A
x
+
b
T
x
+
c
，则对任意
x,
y
∈
C
x,y \in C
x
,
y
∈
C
，有
f(
x
)
≤
0
f(x) \leq 0
f
(
x
)
≤
0
，
f(
y
)
≤
0
f(y) \leq 0
f
(
y
)
≤
0
。若对任意
θ∈
[
0
,
1
]
\theta \in [0,1]
θ
∈
[
0
,
1
]
，要证
θx
+
(
1
−
θ
)
y
∈
C
\theta x+(1-\theta)y \in C
θ
x
+
(
1
−
θ
)
y
∈
C
，即证
f(
θ
x
+
(
1
−
θ
)
y
)
≤
0
f(\theta x+(1-\theta)y) \leq 0
f
(
θ
x
+
(
1
−
θ
)
y
)
≤
0
。
由于：
f(
θ
x
+
(
1
−
θ
)
y
)
=
(
θ
x
+
(
1
−
θ
)
y
)
T
A
(
θ
x
+
(
1
−
θ
)
y
)
+
b
T
(
θ
x
+
(
1
−
θ
)
y
)
+
c
=
θ
(
x
T
A
x
+
b
T
x
+
c
)
+
(
1
−
θ
)
(
y
T
A
y
+
b
T
y
+
c
)
−
θ
(
1
−
θ
)
(
y
−
x
)
T
A
(
y
−
x
)
=
θ
f
(
x
)
+
(
1
−
θ
)
f
(
y
)
−
θ
(
1
−
θ
)
(
y
−
x
)
T
A
(
y
−
x
)
≤
0
（
A
的正定性）
f(\theta x+(1-\theta)y)=(\theta x+(1-\theta)y)^TA(\theta x+(1-\theta)y)+b^T(\theta x+(1-\theta)y)+c \\ =\theta(x^TAx+b^Tx+c)+(1-\theta)(y^TAy+b^Ty+c)-\theta(1-\theta)(y-x)^TA(y-x) \\ =\theta f(x)+(1-\theta)f(y)-\theta(1-\theta)(y-x)^TA(y-x) \\ \leq 0（A的正定性）
f
(
θ
x
+
(
1
−
θ
)
y
)
=
(
θ
x
+
(
1
−
θ
)
y
)
T
A
(
θ
x
+
(
1
−
θ
)
y
)
+
b
T
(
θ
x
+
(
1
−
θ
)
y
)
+
c
=
θ
(
x
T
A
x
+
b
T
x
+
c
)
+
(
1
−
θ
)
(
y
T
A
y
+
b
T
y
+
c
)
−
θ
(
1
−
θ
)
(
y
−
x
)
T
A
(
y
−
x
)
=
θ
f
(
x
)
+
(
1
−
θ
)
f
(
y
)
−
θ
(
1
−
θ
)
(
y
−
x
)
T
A
(
y
−
x
)
≤
0
（
A
的正定性）
因此，
θx
+
(
1
−
θ
)
y
∈
C
\theta x + (1-\theta)y \in C
θ
x
+
(
1
−
θ
)
y
∈
C
，即
CC
C
为凸集。