第三章 简单的优化模型
本章介绍简单的优化模型，归结为微积分中的函数极值问题，直接用微分法求解。
建立优化模型的步骤：
-
做出若干合理简化的假设
-
首先确定优化的目标、寻求决策和决策受到的限制
-
运用数学工具（变量、常数、函数）解决
-
最后运用微分法求出最优决策
以下选出几个实例学习
1.存贮模型
1.1不允许缺货的存贮模型
问题：
配件厂生产若干种部件，每次生产因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），部件生产大于需求时占用仓库要付贮存费。设计生产计划，确定生产周期，单个周期产量，可使日均费用最少。
问题分析：
经过试算可以发现，生产周期短、产量小，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量大，会使贮存费大，准备费小。连续性变化，必然存在一个中间值为最佳周期，达到日均费用最小。
模型假设：
- 使用连续模型，生产周期T和产量Q视为连续性变量。
-
每天需求量为常数r，生产准备费为C
1
,每天每件产品贮存费为C
2
。 - 生产能力足够大，不允许缺货。
模型建立：
Q
=
r
T
Q=rT
Q
=
r
T
一个周期内的贮存费
C
=
C
1
+
C
2
∫
0
T
q
(
t
)
d
t
=
C
1
+
C
2
r
T
2
/
2
C=C_1+C_2\int_{0}^Tq(t)dt=C_1+C_2rT^2/2
C
=
C
1
+
C
2
∫
0
T
q
(
t
)
d
t
=
C
1
+
C
2
r
T
2
/
2
日均费用
C
‾
=
C
1
/
T
+
C
2
r
T
/
2
\overline C=C_1/T+C_2rT/2
C
=
C
1
/
T
+
C
2
r
T
/
2
取最小值得
T
=
2
C
1
C
2
r
Q
=
2
C
1
r
C
2
C
m
i
n
=
2
C
1
C
2
r
T=\sqrt{
{2C_1}\over{C_2r}}\\ Q=\sqrt{2C_1r\over C_2} \\C_{min}=\sqrt{2C_1C_2r}
T
=
C
2
r
2
C
1
Q
=
C
2
2
C
1
r
C
m
i
n
=
2
C
1
C
2
r
1.2允许缺货的存贮模型
模型假设：
与上述模型类似，只是生产能力足够大，允许缺货，每天每件产品损失费为C
3
,缺货数量在下次生产补足。
模型建立：
Q
=
r
T
1
Q=rT_1
Q
=
r
T
1
可得总费用为
C
=
C
1
+
C
2
∫
0
T
1
q
(
t
)
d
t
−
C
3
∫
T
1
T
q
(
t
)
d
t
=
C
1
+
C
2
r
T
1
2
/
2
+
C
3
r
(
T
−
T
1
)
2
/
2
C=C_1+C_2\int_{0}^{T_1}q(t)dt-C_3\int_{T_1}^{T}q(t)dt=C_1+C_2r{T_1}^2/2+C_3r(T-T_1)^2/2
C
=
C
1
+
C
2
∫
0
T
1
q
(
t
)
d
t
−
C
3
∫
T
1
T
q
(
t
)
d
t
=
C
1
+
C
2
r
T
1
2
/
2
+
C
3
r
(
T
−
T
1
)
2
/
2
日均费用，化为关于T、Q的二元函数
C
‾
(
T
,
Q
)
=
C
1
T
+
C
2
Q
2
2
r
T
+
C
3
(
r
T
−
Q
)
2
2
r
T
\overline C(T,Q)={C_1\over T}+{C_2Q^2\over 2rT}+{C_3(rT-Q)^2\over 2rT}
C
(
T
,
Q
)
=
T
C
1
+
2
r
T
C
2
Q
2
+
2
r
T
C
3
(
r
T
−
Q
)
2
T、Q的偏导均为零得到T、Q的最优解
2.求解杯子的重心模型
问题：
杯子的重心随着杯中液体的液面高度的变化而变化，在液面升高过程中，重心会先降低后又升高，其中必然存在一个最低点，建立模型求解最低点，最不容易倾倒的状态。
问题分析：
杯子的重心由杯中液体、杯侧壁和底盘质量共同决定；并且重心在杯子的中轴线上下移动。结合物理背景知识，物体重心计算公式（等效力矩 <印象中>）。为简化问题，不妨从忽略底盘质量开始考虑。
模型一假设：
- 杯子材料均匀分布，形状为圆柱体，高为单位1
-
满杯状态的液体质量为W
1
，则液面高度为x时，质量为xW
1
，液体重心S
1
=x/2 -
侧壁质量为W
2
，底盘质量忽略不计，杯子重心S
2
=1/2
模型一建立：
物理重心求解
(
x
W
1
+
W
2
)
S
=
S
1
x
W
1
+
S
2
W
2
(xW_1+W_2)S=S_1xW_1+S_2W_2
(
x
W
1
+
W
2
)
S
=
S
1
x
W
1
+
S
2
W
2
可以求解得到
S
(
x
)
=
x
2
+
a
2
(
x
+
a
)
S(x)={
{x^2+a}\over2(x+a)}
S
(
x
)
=
2
(
x
+
a
)
x
2
+
a
令
d
S
d
x
=
0
x
∗
=
a
2
+
a
−
a
(
质
量
比
a
=
W
2
W
1
)
{dS\over dx}=0\\ x^*=\sqrt{a^2+a}-a \\(质量比\ a={W_2\over W_1})
d
x
d
S
=
0
x
∗
=
a
2
+
a
−
a
(
质
量
比
a
=
W
1
W
2
)
进一步验证知液面高度与杯子重心重合时，重心最低。
模型二建立：
考虑杯底盘质量W
3
，易知重心S
3
=0
(
x
W
1
+
W
2
+
W
3
)
S
=
S
1
x
W
1
+
S
2
W
2
+
S
3
W
3
(xW_1+W_2+W_3)S=S_1xW_1+S_2W_2+S_3W_3
(
x
W
1
+
W
2
+
W
3
)
S
=
S
1
x
W
1
+
S
2
W
2
+
S
3
W
3
S
(
x
)
=
x
2
+
a
2
(
x
+
a
+
b
)
(
a
=
W
2
W
1
,
b
=
W
3
W
1
)
x
∗
=
(
a
+
b
)
2
+
a
−
(
a
+
b
)
S(x)={
{x^2+a}\over2(x+a+b)} (a={W_2\over W_1},b={W_3\over W_1}) \\x^*=\sqrt{(a+b)^2+a}-(a+b)
S
(
x
)
=
2
(
x
+
a
+
b
)
x
2
+
a
(
a
=
W
1
W
2
,
b
=
W
1
W
3
)
x
∗
=
(
a
+
b
)
2
+
a
−
(
a
+
b
)
得到相同形式的结果：液面与杯子重心重合时的重心最低。有实际数据可证模型一产生的误差可控，简化方式同时合理。
模型推广：
这个所建立的模型同样适用其他形状的杯子，只不过求解过程会变复杂，方法不变。只要杯子为旋转体，重心最低处的条件仍旧成立。
3.经济学 商品效用
效用函数
人们商品消费、服务消费所获得的生理、心理上的满足程度称为效用。
效用函数U(x)表示数量为x的某种商品产生的效用
其导函数表示商品数量增加一个单位时U(x)的增量，
称为边际效用
遵循原则：边际效用递减
d
U
d
x
>
0
,
d
2
U
d
x
2
<
0
{dU\over dx}>0,{d^2U\over dx^2}<0
d
x
d
U
>
0
,
d
x
2
d
2
U
<
0
一种商品的典型效用函数表达式
U
(
x
)
=
a
x
α
,
a
>
0
,
0
<
α
<
1
U(x)=ax^α,a>0,0<α<1
U
(
x
)
=
a
x
α
,
a
>
0
,
0
<
α
<
1
两种商品的典型效用函数表达式
U
(
x
,
y
)
=
a
x
α
y
β
,
a
>
0
,
0
<
α
<
1
,
0
<
β
<
1
U(x,y)=ax^αy^β,a>0,0<α<1,0<β<1
U
(
x
,
y
)
=
a
x
α
y
β
,
a
>
0
,
0
<
α
<
1
,
0
<
β
<
1
对于U(x,y)可引入无差别曲线，效用相同的点的集合
U
(
x
,
y
(
x
)
)
=
a
x
α
y
β
,
a
>
0
,
0
<
α
<
1
,
0
<
β
<
1
U
(
x
,
y
)
=
u
U(x,y(x))=ax^αy^β, a>0, 0<α<1, 0<β<1\\U(x,y)=u
U
(
x
,
y
(
x
)
)
=
a
x
α
y
β
,
a
>
0
,
0
<
α
<
1
,
0
<
β
<
1
U
(
x
,
y
)
=
u
效用最大化模型
假设甲乙两种商品单价分别为p
1
，p
2
；消费者花费s；购买数量为x，y。
效用最大模型满足以下条件
m
a
x
U
(
x
,
y
)
s
.
t
.
p
1
x
+
p
2
y
=
s
maxU(x,y)\\s.t. \ p_1x+p_2y=s
m
a
x
U
(
x
,
y
)
s
.
t
.
p
1
x
+
p
2
y
=
s
模型几何解法
消费点Q在消费曲线上运动，要使效用最大，必然是切点
数学解法
拉格朗日数乘法求解
可以得到效用最大化原理：当两种商品的边际效用与二者价格之比相同时，效用最大
δ
U
/
δ
x
δ
U
/
δ
y
=
p
1
p
2
{
{δU/δx}\over{δU/δy}}={p_1\over p_2}
δ
U
/
δ
y
δ
U
/
δ
x
=
p
2
p
1
推广：n种商品
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