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0 必知的常用数

• (128)
  
  ₁₀
  
  = (7F)
  
  ₁₆
  
  = 2
  
  ⁷
  
• (256)
  
  ₁₀
  
  = (FF)
  
  ₁₆
  
  = 2
  
  ⁸
  
• (1024)
  
  ₁₀
  
  = (400)
  
  ₁₆
  
  = 2
  
  ¹⁰
  
• (32768)
  
  ₁₀
  
  = (FFFF)
  
  ₁₆
  
  = 2
  
  ¹⁵
  
• (65536)
  
  ₁₀
  
  = (10000)
  
  ₁₆
  
  = 2
  
  ¹⁶
  
• (2147483648)
  
  ₁₀
  
  = 2
  
  ³¹
  
• (4294967296)
  
  ₁₀
  
  = 2
  
  ³²
  

1 定点数的编码

1.1 编码的种类

定点数编码有四种：

• 
  原码
  
  ：最高位表示真值的符号（1 表示负，0 表示正），其余各位表示真值的绝对值

【注 1】设原码字长为 n（即有 n 位），则原码整数的表示范围为

-(2

n-1

-1) ≤ x ≤ +(2

n-1

-1)


【注 2】设原码字长为 n（即有 n 位），则原码小数的表示范围为

-(1-2

-(n-1)

) ≤ x ≤ +(1-2

-(n-1)

)


【注 3】原码全 0，对应真值的最小值

-(2

n

-1)

；原码全 1，对应真值的最大值

+(2

n-1

-1)


【注 4】0 的表示不唯一，分正负零（0,000,0000 和 1,000,0000）

• 
  反码
  
  ：正数的反码与原码一样，负数的反码其数值部分全部取反

【注 1】设反码字长为 n（即有 n 位），则反码整数的表示范围为

-(2

n-1

-1) ≤ x ≤ +(2

n-1

-1)


【注 2】设反码字长为 n（即有 n 位），则反码小数的表示范围为

-(1-2

-(n-1)

) ≤ x ≤ +(1-2

-(n-1)

)


【注 3】反码全 0，对应真值的最小值

-(2

n

-1)

；反码全 1，对应真值的最大值

+(2

n-1

-1)


【注 4】0 的表示不唯一，分正负零（0,000,0000 和 1,111,1111）

• 
  补码（带符号整数）
  
  ：正数的补码与反码一样，负数的补码等于反码加 1

【注 1】设补码字长为 n（即有 n 位），则补码整数的表示范围为

-(2

n-1

) ≤ x ≤ +(2

n-1

-1)


【注 2】设补码字长为 n（即有 n 位），则补码小数的表示范围为

-1 ≤ x ≤ +(1-2

-n

)


【注 3】补码全 0，对应真值的最小值

-(2

n-1

)

；补码全 1，对应真值的最大值

+(2

n-1

-1)


【注 4】0 的表示唯一（0,000,0000）；

无论补码有多少位，只要所有位都为 1，那么表示的真值为 -1

【注 5】

若补码的符号位相同，则数值位越大码值越大

• 
  移码
  
  ：真值基础上加上一个偏置常数（取 2
  
  ⁿ
  
  ）

【注 1】设移码字长为 n（即有 n 位），则移码整数的表示范围为

-(2

n-1

) ≤ x ≤ +(2

n-1

-1)


【注 2】移码全 0，对应真值的最小值

-2

n


；移码全 1，对应真值的最大值

+(2

n

-1)


【注 3】0 的表示唯一（1,000,0000）

【注 4】移码保持了数据原有的大小顺序，移码大真值就大，移码小真值就小

1.2 编码的转换

• 正数：
  
原码 --（不用变）–> 反码 --（不用变）–> 补码 --（符号位取反）–> 移码

• 负数：
  
原码 --（数值部分取反）–> 反码 --（直接加 1）–> 补码 --（符号位取反）–> 移码

• 负数：
  
原码 <–（从右往左找第一个“1”，“1”左边所有

数值位

取反）–> 补码

• 补码转真值：最高的符号位有
  
  负值加权
  
  ，例：
  
[1,000,0011]

补

= (-2

7

+2

1

+2

0

)

10

= (-125)

10



【例 1】(-100)

₁₀

的编码转换（默认 8 位字长）

先化为十六进制，再转换为二进制：(100)

₁₀

= (64)

₁₆

= (0110,0100)

₂

（1）原码：1,110,0100

（2）反码：1,001,1011

（3）补码：1,001,1100

（4）移码：0,001,1100

【例 2】(1,000,1101)

₂

（默认 8 位字长），若为（1）原码；（2）反码；（3）补码；（4）移码，求对应真值？

（1）原码：1,000,1101 –> 转换为十六进制：1(-),000(0),1101(13) –> 转换为十进制：(-13)

₁₀

（2）反码：1,000,1101 –> 原码：1,111,0010 –> 转换为十六进制：1(-),111(7),0010(2) –> 转换为十进制：-(16*7+2)

₁₀

= (-114)

₁₀

（3）补码：1,000,1101 –> 原码：1,111,0011 –> 转换为十六进制：1(-),111(7),0011(3) –> 转换为十进制：-(16*7+3)

₁₀

= (-115)

₁₀

（4）移码：1,000,1101 –> 补码：0,000,1101 –> 转换为十六进制：0(+),000(0),1101(13) –> 转换为十进制：(+13)

₁₀

补充：负数补码和原码的转换技巧（几秒钟内迅速转换一个 32 位二进制数！）

下面教大家一个

小技巧

：有时候需要对一个长达 16 位或 32 位的

负定点数

进行原码和补码的转换，如果一位位进行取反，这就显得太过麻烦了。实际上有非常迅速地转换方法

我们注意到十六进制与二进制之间的联系，即一位十六进制数正好对应四位二进制数，所以同时变换四位二进制数相当于变换一位十六进制数，这样一个 16 位数只需变换 4 次即可。变换操作的实质是取反操作，见下表，容易发现，

取反前和取反后的值加起来恒等于 15

，所以我们看到一位十六进制数就可以立即说出它取反后的结果。

【例 3】一个 16 位补码 0x8F0A 的原码是多少？

【解】根据补码转原码规则，先找到该补码的第一个“1”在哪里，它所在的十六进制位数不能用上述方法，需要

特殊处理

。显然在最低位的“A”处出现第一个“1”，写出二进制形式：1010，按照转换规则得到：0110，即十六进制的 6。

剩余三位全部取反，“8F0”取反后为“70F”，所以对应无符号原码为 0x70F6。而对于有符号原码，最高位为符号位，答案应为 0x80F6。

其实一开始的

特殊处理

也是可以直接口答结果，因为容易发现，

特殊处理前和特殊处理后的值相加恒等于 16

。见下表：

【例 4】一个 32 位补码 0xFFFF FFDF 对应真值是多少？

【解】最低位的“F”需要特殊处理，转换为“1”（16 减 15）。剩余七位全部取反，“FFFF FFD”取反后为“0000 002”，所以对应原码为 0x0000 0021，真值为 -(2 * 16 + 1) = -33。

【例 5】真值 -98 转化为 32 位补码是多少？

【解】将 98 化为十六进制数 0x62，扩展成 32 位原码 0x0000 0062。最低位的“2”需特殊处理，转换为“E”（16 减 2）。剩余七位全部取反，“0000 006”取反后为“FFFF FF9”，所以对应补码为 0xFFFF FF9E。

【总结】负数补码和原码的转换技巧

前提：补码表示的是真值是负数！

（1）找到需要特殊处理的最低位，该位需要特殊处理，特殊处理前和特殊处理后的值相加恒等于 16；

（2）剩余的高位进行取反操作，取反前和取反后的值相加恒等于 15。

1.3 C 语言的强制转换

• 相同字长下，有符号数与无符号数的转换：保持位值不变，仅改变解释位值的方式
• 长字长转换短字长：多余的高位直接丢弃，低位直接赋值
• 短字长转换长字长：无符号情况下，扩展的高位部分用 0 填充；有符号情况下，扩展的高位部分用原数字符号填充
• C 语言中赋值和判断也会出现强制类型转换，常见转换路径：char–>int–>long–>double 和 float–>double（范围和精度从小到大，转换过程没有损失）

【例 1】16 位补码 0x8FA0 扩展为 32 位是 0xFFFF 8FA0。

【例 2】假设变量 i、f 和 d 的数据类型分别为 int、float 和 double，其中 f = 1.5678E3，d = 1.5E100，则下列是否为“真”？

• 
i==(int)(float)i

  ：转换过程为 int–>float–>int，没有精度损失，结果为真
• 
f==(float)(int)f

  ：转换过程为 float–>int–>float，转换的第一步存在精度损失，结果为假
• 
f==(float)(double)f

  ：转换过程为 float–>double–>float，没有精度损失，结果为真
• 
d==(double)(float)d

  ：转换过程为 double–>float–>double，转换的第一步存在精度损失，结果为假
• 
(d+f)-f==f

  ：浮点数运算，f 需要先转换为 double 类型，再和 d 进行对阶，对阶过程中 f 产生精度损失，结果为假

补充：不同机器下的数据类型长度

2 定点数的运算

2.1 定点数的移位

移位有三种：算术移位、逻辑移位、循环移位。

2.1.1 算术移位（有符号数）

【规则】

• 算术移位过程中，
  
  符号位均保持不变
  
  。
• 
  正数
  
  的算术移位：原码、补码、反码算术移位，空位添 0
• 
  负数原码
  
  的算术移位：用 0 占据空位

负数的原码数值部分与真值相同，因此移位时符号位不变，其余空位添 0

• 
  负数反码
  
  的算术移位：空位添 1

负数的反码数值部分与负数的原码相反，因此移位时其余空位添相反的数，即为 1

• 
  负数补码
  
  的算术移位：算术左移，低位空位添 0；算术右移，高位空位添 1

负数的原码转补码，从右往左（从低到高）找到第一个“1”，这个“1”的左边（符号位除外）与原码相反，故空位添相反的数，即为 1；右边与原码相同，故空位仍添 0

【例】负数补码的算术移位

算术右移 1 位：1,110,0110 >> 1 = 1,

1

11,0011

算术右移 2 位：1,110,0110 >> 2 = 1,

11

1,1001

算术左移 1 位：1,110,0110 << 1 = 1,100,110

0

算术左移 2 位：1,110,0110 << 1 = 1,001,10

00

【注】补码正数的符号位为 0，左移最高位为 0 时，数据不会丢失；负数的符号位为 1，左移最高位为 1 时，数据不会丢失。

2.1.2 逻辑移位（无符号数）

【规则】

• 逻辑移位将操作数视为无符号数
• 逻辑左移：高位丢弃，低位添 0
• 逻辑右移：低位丢弃，高位添 0

2.1.3 循环移位

【规则】

• 不带进位的循环左移：高位溢出的数填充回低位，且高位溢出的数还要存入进位标志位 CF
• 不带进位的循环右移：低位溢出的数填充回高位，且低位溢出的数还要存入进位标志位 CF
• 带进位的循环左移：CF 的值填充回低位，且高位溢出的数还要存入进位标志位 CF
• 带进位的循环右移：CF 的值填充回高位，且低位溢出的数还要存入进位标志位 CF
• 循环移 n 位：相当于进行 n 次的循环移 1 位
• 一般用途：将数据的低字节数据与高字节数据互换位置

【例】一个 8 位寄存器内的数值为 0100,1011，进位标志位 CF=1，若（1）带进位循环左移一位；（2）带进位循环右移一位；（3）不带进位循环左移一位；（4）不带进位循环右移一位，结果是多少？

【注】括号内的英文表示该数值位是从 CF、数值的高位（HIGH）还是数值的低位（LOW）移进来的。

（1）带进位循环左移一位：100,1011,1 (CF)；CF = 0 (HIGH)

（2）带进位循环右移一位：1 (CF),0100,101；CF = 1 (LOW)

（3）不带进位循环左移一位：100,1011,0 (HIGH)；CF = 0 (HIGH)

（4）不带进位循环右移一位：1 (LOW),0100,101；CF = 1 (LOW)

2.2 定点数的加减法

2.2.1 补码的加减法

• 加法运算：补码直接相加
• 减法运算：被减数-减数，减数转换为其负数的补码，转换为加法运算进行

【例】A = 15，B = 28，计算 [A+B]

_补

，[A-B]

_补

转换为二进制：A = (15)

₁₀

= (000,1111)

₂

, B = (28)

₁₀

= (001,1100)

₂

[A]

_原

= 0,000,1111, [B]

_原

= 0,001,1100

[A]

_补

= 0,000,1111, [B]

_补

= 0,001,1100, [-B]

_补

= 1,110,0100

[A+B]

_补

= 0,000,1111 + 0,001,1100 = 0,010,1011 = (+43)

₁₀

[A-B]

_补

= 0,000,1111 + 1,110,0100 = 1,111,0011 = (-13)

₁₀

2.2.2 补码加减溢出的判别

发生溢出的情况：

• 两个同号数相加，得到的结果却异号
• 两个异号数相减，得到的结果与被减数异号

【模 2 补码】有一个符号位的补码，即正常的补码。

【模 4 补码（变形补码）】有两个符号位 S

₁

S

₂

的补码，“00”表示正数，“11”表示负数，如：

• -3：补码：1,101；变形补码：11,101
• +3：补码：0,011；变形补码：00,011

若两个符号位不同，“01”表示正溢出，“10”表示负溢出，最高位符号位表示真正的符号。

实际情况下，存储每个变形补码仅需一个符号位，因为无论正数还是负数，两个符号位都是一样的，只有在运算时才会出现不一样的情况。

• 溢出标志位 OF = 1 时，说明发生了溢出
• OF = 最高位（即符号位）进位 ⊕ 次高位（即数值的最高位）进位 = S
  
  ₁
  
  ⊕ S
  
  ₂
  
• OF 位仅对于有符号数有意义！

即：

最高位和次高位，一个有进位，另一个没有进位，若它们的异或值是 1，则结果就有溢出。

补码加减溢出的相关例题

【例 1】溢出的例子：0100,0000 + 0100,0000 = 1000,0000

列竖式：

• 加黑体数位为最高位，最高位没有产生进位
• 斜体数位为次高位，次高位产生了进位
• 因此结果溢出

【例 2】溢出的例子：1000,0000 + 1000,0000 = 0000,0000

列竖式：

• 加黑体数位为最高位，最高位产生了进位
• 斜体数位为次高位，次高位没有产生进位
• 因此结果溢出

【例 3】没有溢出的例子：1111,1111 + 0001,0000 = 0000,1111

列竖式：

• 加黑体数位为最高位，最高位产生了进位
• 斜体数位为次高位，次高位产生了进位
• 因此结果没有溢出

补充：使用 SF 和 OF 判断补码大小关系

SF 位：补码为非负，SF = 0；补码为负，SF = 1

以

cmp ah, bh

为例，a-b 测试：

2.2.3 进/借位的判别

• CF 位仅对无符号数有意义！
• 加法：CF = 最高位进位输出
• 减法：CF = 最高位进位输出取反

2.3 定点数的乘除法

2.3.1 定点数乘除法的技巧

在介绍定点数乘除法规则之前，先讲一个相关技巧：当一个数乘以或除以 2 的幂次方的数时，可以使用移位运算，具体原理就不细说了。

【规则】

（1）补码

：当二进制数 A 乘以 2

ⁿ

时，二进制数 A

算术左移

n 位；当二进制数 A 除以 2

ⁿ

时，二进制数 A

算术右移

n 位。

（2）原码

：当二进制数 A 乘以 2

ⁿ

时，二进制数 A

逻辑左移

n 位；当二进制数 A 除以 2

ⁿ

时，二进制数 A

逻辑右移

n 位。

【例 1】32 位补码乘法运算 B052H * 0008H = ?

【解】十六进制 B052H 转成二进制：1011 0000 0101 0010，因为 8 = 2

³

，所以需

算数左移

三位，即 1 0000 0101 0010 000，整理一下得到：1000 0010 1001 0000，即十六进制的 8290H（可以发现结果溢出，因为数值部分高三位都被丢弃了，原结果应为 D8290H）。

【例 2】32 位补码乘法运算 B052H / 0008H = ?

【解】十六进制 B052H 转成二进制：1011 0000 0101 0010，因为 8 = 2

³

，所以需

算数右移

三位，即 111 1011 0000 0101 0，整理一下得到：1111 0110 0000 1010，即十六进制的 F60AH。

2.3.2 乘法的溢出判断

• 
  无符号乘法
  
  ：n 位 x n 位，用 2n 位保存中间运算结果，取后 n 位为最终结果。仅当前 n 位都是 0 时不溢出。
• 
  有符号乘法
  
  ：n 位 x n 位，用 2n 位保存中间运算结果，取后 n 位为最终结果。仅当前 n+1 位都是 0 或 1 时不溢出。

【例】32 位补码 7FFF,FFFFH 乘 2 的 64 位中间乘积结果是多少？最终结果需存入 32 位寄存器中，请问溢出了吗？

【解】中间结果是 0000,0000,FFFF,FFFEH，由于前 33 位不全为 0 或 1，所以发生了溢出。

2.3.3 原码的乘法

设[X]

_原

=x

_s

.x

₁

x

₂

…x

_n

，[Y]

_原

=y

_s

.y

₁

y

₂

…y

_n

，

原码一位乘法 X*Y

的规则如下：

• 符号位 = x
  
  _s
  
  ⊕ y
  
  _s
  
• 部分积 = X * y
  
  _i
  
• 部分积初值为 0。从 Y 的最低位 y
  
  _n
  
  开始，
  
部分积 = 部分积 + y

n

* |X|

  ，然后将部分积和 Y
  
  逻辑右移
  
  一位。该步骤重复 n 次，进行加法运算也为 n 次

【例】x = -0.1101，y = 0.1011，进行原码一位乘法 x * y：

符号位 = 1 ⊕ 0 = 1

x * y = -0.10001111

2.3.4 补码的乘法

设[X]

_补

=x

_s

.x

₁

x

₂

…x

_n

，[Y]

_补

=y

_s

.y

₁

y

₂

…y

_n

，

补码一位乘法 X*Y

的规则如下：

• 部分积、被乘数采用双符号位补码；乘数采用单符号位补码
• 符号位参与运算
• Y 增设辅助位 y
  
  _n+1
  
  = 0
• 部分积初值为 0。从 Y 的最低位 y
  
  _n
  
  开始：当
  
(y

n

y

n+1

) = (01)

  ，
  
部分积 = 部分积 + [X]

补


  ；当
  
(y

n

y

n+1

) = (10)

  ，
  
部分积 = 部分积 + [-X]

补


  ；其他情况加 0。然后将部分积和 Y
  
  算术右移
  
  一位
• 以上步骤重复 n+1 次，但最后一次不用移位。所以需要加法运算 n+1 次，移位 n 次

【例】x = -0.1101，y = 0.1011，进行补码一位乘法 x * y：

[x]

_补

= 11.0011，[-x]

_补

= 00.1101，[y]

_补

= 0.1011

注：最后的 MQ = 00010 的最低位为原符号位，不用

[x * y]

_补

= 11.01110001，x * y = -0.10001111

2.3.5 原码的除法

设[X]

_原

=x

_s

.x

₁

x

₂

…x

_n

，[Y]

_原

=y

_s

.y

₁

y

₂

…y

_n

，

加减交替法（不恢复余数法）求 X/Y

的规则如下：

• 首先，|被除数| – |除数| = 新余数
• 若新余数为负：商 0，余数左移，然后加|除数|，得到新余数
• 若新余数为正：商 1，余数左移，然后减|除数|，得到新余数
• 以上两个步骤重复 n+1 次，最后一次若余数为负，商 0，需加上|除数|得到正确余数（余数为负，说明不够减，仅在此处恢复余数）
• 总的加法运算为 n+1 或 n+2 次，移位总次数为 n 次

【例】x = 0.1011，y = 0.1101，利用加减交替法求 x / y：

|x| = 0.1011，|y| = 0.1101，[|y|]

_补

= 0.1101，[-|y|]

_补

= 1.0011

x / y = +0.1101，余数 = 0.0111 * 2

^-4

2.3.6 补码的除法

设[X]

_补

=x

_s

.x

₁

x

₂

…x

_n

，[Y]

_补

=y

_s

.y

₁

y

₂

…y

_n

，

加减交替法求 X/Y

的规则如下：

• 部分余数、被除数、除数采用双符号位补码
• 符号位参与运算
• 首先，若 X、Y 同号，则余数 = X – Y；若 X、Y 异号，则余数 = X + Y
• 若余数与 Y 同号，则商 1，余数左移，减去 Y
• 若余数与 Y 异号，则商 0，余数左移，加上 Y
• 重复以上两个步骤 n 次，商末位恒置 1

【例】x = 0.1000，y = -0.1011，利用加减交替法求 x / y：

[x]

_原

= 00.1000，[x]

_补

= 00.1000

[y]

_原

= 11.1011，[y]

_补

= 11.0101，[-y]

_补

= 00.1011

[x/y]

_补

= 1.0101，余数 = 0.0111 * 2

^-4