张量的概念及其理解

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转自MOOC

http://mooc.guokr.com/note/14380/

这一节主要讲张量的概念以及其理解。

l 张量概念

张量(tensor)是指能够用指标表示法表示的物理量,并且该物理量满足坐标的变换关系。

0阶张量:无自由指标的量,与坐标系选取无关,如温度、质量、能量等标量。

1阶张量:有1个自由指标的量,如坐标Xi,位移ui等矢量

2阶张量:有2个自由指标的量,如应力

n阶张量:有n个自由指标的量,如Dijkl四阶弹性系数张量

  • 张量的性质

(1)张量是描述客观存在的物理量,具有坐标不变性;

(2)张量在不同的参考坐标下有不同的分量;

(3)分量之间满足坐标变换关系。

  • 以一个平面的力矢量(一阶张量)来说明如何理解张量(物理量)中的不变量或特征量的性质。

力矢量F是具有方向性的物理量,基于不同的坐标来描述该物理量

上图中的两个坐标系间满足坐标转换关系

令两个坐标系之间的夹角为α,则令l=cosα,m = sinα。坐标转换矩阵为:

则力矢量分量的转换关系为

虽然采用不同的坐标系,对于同一个客观的物理量的分量描述不同,但该物理量应该具有一些与坐标系无关的本质特征,即不随坐标系的变化而变化。对于该一阶力矢量,力的大小是不变的,也就是说该该矢量的长度是不变的。

虽然采用不同的坐标系,对于同一个客观的物理量的分量描述不同,但该物理量应该具有一些与坐标系无关的本质特征,即不随坐标系的变化而变化。对于该一阶力矢量,力的大小是不变的,也就是说该该矢量的长度是不变的。

这些不随坐标系的改变而改变的物理量反映了物理量的本质特征,因而课可以采用这些特征量定义或构建物理准则,如:等效应力、强度准则等。

  • 一个平面的应力张量(二阶张量) σ

在两个坐标系中对应力张量分别进行描述。两个坐标系之间的夹角为α。

一号坐标系中的应力分量如下图方框中所示。

二号坐标系中的应力分量如下图红圈中所示。

可以看出,在两个坐标系中应力有着不同的分量。

不同坐标系中应力张量的分量之间的转换关系为

2D问题应力分量的转换为

用Mohr圆表示2D问题应力张量变换

从图中可以看出,在P1点可以得到最大主应力σ1,在P2点可以得到最小主应力σ2。

这两个主应力就是2阶应力张量的特征量。σ1、σ2通常作为材料的强度准则。

  • 张量的一般性表达

用不同的基张量的组合来表达张量。

n阶张量的分量转换就是要乘以n次基张量的坐标变换的张量。



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