复数的引入
-
可以很平凡而繁琐地，将复数作为一个数域引入。它是实数域加上虚数
i
的扩充域。 -
代数结构
即运算法则，注意乘法法则(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc) -
几何结构
引入复平面，加入无穷远点成为
C
¯
¯
¯
。 -
拓扑结构
或分析，刻画度量。即模和极限。
复数和复平面的刻画
{
z
=
x
+
i
y
z
¯
=
x
−
i
y
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
x
=
z
+
z
¯
2
y
=
z
−
z
¯
2
i
使用
(
x
,
y
)
可能是因为习惯于使用实数；使用
(
z
,
z
¯
)
更符合复数习惯，尤其是后面的解析函数特征就是用
(
z
,
z
¯
)
的表达式中不含
z
¯
，这比用
(
x
,
y
)
的描述还需要用C-R关系加以限制要清晰得多。
用
z
,
z
¯
表示几何图形
这其实就是上述的复平面的刻画问题，直接用上面的变换式就可以得到结论
-
直线的一般方程
A
z
+
A
¯
z
¯
+
C
=
0
-
圆的一般方程
(
z
−
c
)
(
z
−
c
)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
R
2
复数域的分析性质
这里主要是指分析上的一些基本概念和命题，包括
- 邻域
- 开集
- 闭集
- 极限点
- 内点
- 闭包
- 边界
- 孤立点
- 直径
- 区域
以及关于复数域拓扑和分析的几个定理，包括
- Chauchy准则（复数域完备性定理）
- 闭区间套定理
- 开覆盖定理
- 极限点原理
- Weierstrass-Bolzano定理
- 连通的等价条件
由于这些结论也都是平凡的，不是复变函数论研究的主题，因此忽略。
复函数
-
复函数
这个概念的核心应该是值域为
C
，至于定义域，一般是数集
C
，当然也可以拓展到向量，到欧式空间，到
H
,
B
空间。 -
极限
和
连续
复变函数作为一门学科，和实变函数理论主要不同之处在于函数对复变量的可导性。（教材语）因此，在可导之前的内容，不需要过多着墨。
导数
对实变量的偏导
设
f
(
z
)
=
f
(
x
,
y
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
如果
u
(
x
,
y
)
,
v
(
x
,
y
)
在
z
0
=
(
x
0
,
y
0
)
处都存在关于
x
的偏导数，那么定义
f
对
x
的偏导为
∂
f
∂
x
=
∂
u
∂
x
+
i
∂
v
∂
x
同理，
∂
f
∂
y
=
∂
u
∂
y
+
i
∂
v
∂
y
利用
(
x
,
y
)
和
(
z
,
z
¯
)
的转换关系，可以得到对
z
和
z
¯
的形式偏导
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
∂
∂
z
=
1
2
(
∂
∂
x
−
i
∂
∂
y
)
∂
∂
z
¯
=
1
2
(
∂
∂
x
+
i
∂
∂
y
)
对复变量的导数
如果极限
lim
z
→
z
0
f
(
z
)
−
f
(
z
0
)
z
→
z
0
=
A
,
A
∈
C
存在，则称
f
(
z
)
在
z
0
处可导，
A
称为
f
(
z
)
在
z
0
处的导数，记作
f
′
(
z
0
)
.
微分
如果存在
A
∈
C
，在点
z
0
处有
f
(
z
)
=
f
(
z
0
)
+
A
(
z
−
z
0
)
+
ο
(
|
z
−
z
0
|
)
那么称
f
在
z
0
处可微。
- 复变函数可导等价于可微。
解析函数
定义
-
若
f
(
z
)
在点
z
0
的邻域内都可导，那么
f
(
z
)
在
z
0
点
解析
； -
若
f
(
z
)
在区域
Ω
内每一点都可导，那么
f
(
z
)
在区域
Ω
内解析，是
Ω
内的
解析函数
。 -
Cauchy-Riemann方程
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
∂
u
∂
x
=
∂
v
∂
y
∂
u
∂
y
=
−
∂
v
∂
x
-
定理
解析函数满足Cauchy-Riemann方程
f
(
z
)
=
u
(
x
,
y
)
+
i
v
(
x
,
y
)
，从实轴和虚轴两个方向求极限，可得。 -
方法
证明一个复变函数在某一点不可导（从而不解析）用实变量描述，证明从不同方向逼近得到的极限不同。
-
命题
实值函数在区域上解析，一定是常数。-
利用上面的办法，用实变量描述，证明从实轴和虚轴两个方向逼近得到的极限一个是实数一个是虚数，从而导数为
0
，从而是常数。 - 或用Cauchy-Riemann方程证明。
-
利用上面的办法，用实变量描述，证明从实轴和虚轴两个方向逼近得到的极限一个是实数一个是虚数，从而导数为
-
命题
解析函数如果存在反函数，那么反函数也是解析函数。 -
命题
如果两个实函数
u
,
v
满足C-R方程，那么
f
=
u
+
i
v
解析。 -
命题
如果
f
=
u
+
i
v
关于
u
,
v
二阶连续可导，且
f
解析，那么
f
′
也解析。
f
′
(
z
)
=
∂
u
∂
x
+
i
∂
v
∂
x
(
极
限
的
唯
一
性
)
-
命题
解析函数
f
=
u
+
i
v
满足
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
∂
2
u
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
y
2
=
0
∂
2
v
∂
x
2
+
∂
2
v
∂
y
2
=
0
或
{
∇
2
u
=
0
∇
2
v
=
0
即解析函数的两个实函数都是
调和函数
，并且是
共轭
的。 -
命题
单连通区域
Ω
上调和函数唯一地确定另一个共轭的调和函数。（不考虑常数） -
命题
∇
2
=
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
=
4
∂
2
∂
z
∂
z
¯
-
定理
解析函数的充要条件
∂
f
∂
z
¯
=
0
-
定理
单连通区域
Ω
上的解析函数处处不为零，且关于实变量
x
和
y
二阶连续可导，则存在
Ω
上解析函数
g
(
z
)
，使得
e
g
(
z
)
=
f
(
z
)
-
定理
单连通区域
Ω
上的解析函数处处不为零，且关于实变量
x
和
y
二阶连续可导，则存在
Ω
上解析函数
g
(
z
)
，对任意的自然数
n
，有使得
g
(
z
)
n
=
f
(
z
)
-
定理
（导数的几何意义）导数
|
f
′
(
z
0
)
|
2
是映射
w
=
f
(
z
)
关于对应区域的面积比，即映射的Jacobi行列式。用C-R关系证明。
-
推论
解析函数导函数处处连续，如果在
z
0
处导数不为
0
，则存在
z
0
的一个邻域
D
，满足：(1)
f
(
D
)
是开集；(2)
f
:
D
→
f
(
D
)
是一一映射；(3)
f
−
1
:
f
(
D
)
→
D
在
f
(
D
)
上解析，且
(
f
−
1
)
′
(
w
)
=
1
f
′
(
z
)
,
w
=
f
(
z
)
这个推论的应用：如果
f
将一个区域映射到一条曲线上，那么
f
一定是常数函数。