反常积分的敛散性
反常积分
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定义：积分区间无限的定积分成为反常积分（广义积分）。
eg.
∫ 1 + ∞ 1 x 2 d x \int_1^{+\infty} {
{1}\over{x^2}}dx
∫
1
+
∞
x
2
1
d
x
-
反常积分敛散性的普遍结论：
∫ a + ∞ 1 x p d x ( a > 0 ) : { p > 1 , 函 数 收 敛 p ≤ 1 , 函 数 发 散 \int_a^{+\infty} {
{1}\over{x^p}}dx ( a>0 ) :\begin{cases} p > 1 , 函数收敛 \\ p \leq 1, 函数发散 \end{cases}
∫
a
+
∞
x
p
1
d
x
(
a
>
0
)
:
{
p
>
1
,
函
数
收
敛
p
≤
1
,
函
数
发
散
证明：
当p =1 时，
∫ a + ∞ 1 x p d x = ∫ a + ∞ 1 x d x \int_a^{+\infty} {
{1}\over{x^p}}dx=\int_a^{+\infty} {
{1}\over{x}}dx
∫
a
+
∞
x
p
1
d
x
=
∫
a
+
∞
x
1
d
x
= l n ∣ x ∣ ∣ a + ∞ = l i m x → + ∞ l n ∣ x ∣ − l n ∣ a ∣ = + ∞ = ln|x| |_a^{+\infty}=lim_{x \rightarrow +\infty}ln|x| – ln|a|=+\infty
=
l
n
∣
x
∣
∣
a
+
∞
=
l
i
m
x
→
+
∞
l
n
∣