近世代数–置换群–判断置换的奇偶性

置换奇偶性定义
置换分解成轮换的结果是唯一的，置换分解成对换的结果不唯一
证明置换轮换的等价式
置换分解成对换的奇偶性

博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。

我整理成一个系列：

近世代数

，方便检索。

置换的奇偶性需要

置换分解成轮换

的基础。

置换奇偶性定义

偶置换even permutation

：分解成偶数个对换。
奇置换odd permutation

：分解成奇数个对换。

置换分解成轮换的结果是唯一的，置换分解成对换的结果不唯一

在

置换分解成轮换

中，我们说

置换

会分解成唯一的

轮换

，那么分解成

对换

呢？

置换分解成对换的结果不唯一，因为轮换分解成对换的结果不唯一。
- 首先，单个轮换是具有轮换不变性的，
- 但是，同一个轮换分解成的对换不唯一。

证明置换轮换的等价式

公式证明

：
- (1)
- (2)

证明

(1)

式

我们先考虑

(1)

式的左边。先把
$l:d\leftarrow l l : d ← l ；把 b b b 替换成 k : b ← k k:b\leftarrow k k : b ← k ；再把 k 、 l k、l k 、 l 互换，即 d ← l ← k ； b ← k ← l d\leftarrow l\leftarrow k；b \leftarrow k \leftarrow l d ← l ← k ； b ← k ← l 。$
现在考虑

(1)

式的右边。把
$l:b\leftarrow l l : b ← l ；把 d d d 替换成 k : d ← k k:d\leftarrow k k : d ← k ；$

可以看出，左边的变换与右边的变换是等价的。同理

(2)

式。

置换分解成对换的奇偶性

置换分解成对换的结果不唯一，将一个置换表为对换的乘积，所用对换个数的奇偶性是唯一的。

证明：

假设

\sigma

$σ$

为任一

n

$n$

阶置换，写成

s

$s$

个不相交轮换（包括1-轮换）之积，即

⋅

…

\sigma=\tau_1·\tau_2·……\tau_s

$σ = τ_{1} \cdot τ_{2} \cdot \dots \dots τ_{s}$

，设函数

(

)

(

−

)

−

N(\sigma)=(-1)^{n-s}

$N (σ) = (- 1)^{n - s}$

，显然，

(

)

N(\sigma)

$N (σ)$

由

\sigma

$σ$

惟一确定。

现在证明若

a

,

b

)

(a,b)

$(a, b)$

为任意对换，

(

(

a

,

b

)

σ

)

=

(

−

1

)

N

(

σ

)

N((a,b)\sigma)=(-1)N(\sigma)

$N ((a, b) σ) = (- 1) N (σ)$
- 如果
  
  ,
  
  b
  
  a,b
  
  $a, b$
  
  处于
  
  \sigma
  
  $σ$
  
  的同一个轮换
  
  1
  
  =
  
  (
  
  a
  
  ,
  
  c
  
  1
  
  ,
  
  …
  
  …
  
  c
  
  k
  
  ,
  
  b
  
  ,
  
  d
  
  1
  
  ,
  
  …
  
  …
  
  d
  
  h
  
  )
  
  \tau_1=(a,c_1,……c_k,b,d_1,……d_h)
  
  $τ_{1} = (a, c_{1}, \dots \dots c_{k}, b, d_{1}, \dots \dots d_{h})$
  
  中，
  
  （1）由
  
  公式
  
  k
  
  ,
  
  l
  
  )
  
  (
  
  k
  
  ,
  
  a
  
  ,
  
  …
  
  …
  
  b
  
  ,
  
  l
  
  ,
  
  c
  
  ,
  
  …
  
  …
  
  d
  
  )
  
  =
  
  (
  
  k
  
  ,
  
  a
  
  ,
  
  …
  
  …
  
  b
  
  )
  
  (
  
  l
  
  ,
  
  c
  
  ,
  
  …
  
  …
  
  d
  
  )
  
  (k,l)(k,a,……b,l,c,……d)=(k,a,……b)(l,c,……d)
  
  $(k, l) (k, a, \dots \dots b, l, c, \dots \dots d) = (k, a, \dots \dots b) (l, c, \dots \dots d)$
  
  得：
  
  （2）
  
  a
  
  ,
  
  b
  
  )
  
  σ
  
  =
  
  (
  
  a
  
  ,
  
  b
  
  )
  
  τ
  
  1
  
  ⋅
  
  τ
  
  2
  
  …
  
  …
  
  ⋅
  
  τ
  
  s
  
  =
  
  (
  
  (
  
  a
  
  ,
  
  b
  
  )
  
  τ
  
  1
  
  )
  
  ⋅
  
  τ
  
  2
  
  …
  
  …
  
  τ
  
  s
  
  =
  
  (
  
  a
  
  ,
  
  c
  
  1
  
  ,
  
  …
  
  …
  
  c
  
  k
  
  )
  
  (
  
  b
  
  ,
  
  d
  
  1
  
  ,
  
  …
  
  …
  
  d
  
  h
  
  )
  
  τ
  
  2
  
  τ
  
  3
  
  …
  
  …
  
  τ
  
  s
  
  (a,b)\sigma\\=(a,b)\tau_1·\tau_2……·\tau_s\\=((a,b)\tau_1)·\tau_2……\tau_s\\=(a,c_1,……c_k)(b,d_1,……d_h)\tau_2\tau_3……\tau_s
  
  $(a, b) σ = (a, b) τ_{1} \cdot τ_{2} \dots \dots \cdot τ_{s} = ((a, b) τ_{1}) \cdot τ_{2} \dots \dots τ_{s} = (a, c_{1}, \dots \dots c_{k}) (b, d_{1}, \dots \dots d_{h}) τ_{2} τ_{3} \dots \dots τ_{s}$
  
  （3）
  
  (
  
  (
  
  a
  
  ,
  
  b
  
  )
  
  σ
  
  )
  
  =
  
  (
  
  −
  
  1
  
  )
  
  n
  
  −
  
  (
  
  s
  
  +
  
  1
  
  )
  
  =
  
  (
  
  −
  
  1
  
  )
  
  N
  
  (
  
  σ
  
  )
  
  N((a,b)\sigma)=(-1)^{n-(s+1)}=(-1)N(\sigma)
  
  $N ((a, b) σ) = (- 1)^{n - (s + 1)} = (- 1) N (σ)$
- 如果
  
  ,
  
  b
  
  a,b
  
  $a, b$
  
  处于
  
  \sigma
  
  $σ$
  
  的不同轮换
  
  1
  
  =
  
  (
  
  a
  
  ,
  
  c
  
  1
  
  ,
  
  …
  
  …
  
  c
  
  k
  
  )
  
  ,
  
  τ
  
  2
  
  =
  
  (
  
  b
  
  ,
  
  d
  
  1
  
  ,
  
  …
  
  …
  
  d
  
  h
  
  )
  
  \tau_1=(a,c_1,……c_k),\tau_2=(b,d_1,……d_h)
  
  $τ_{1} = (a, c_{1}, \dots \dots c_{k}), τ_{2} = (b, d_{1}, \dots \dots d_{h})$
  
  中，
  
  （1）由
  
  公式
  
  k
  
  ,
  
  l
  
  )
  
  (
  
  k
  
  ,
  
  a
  
  ,
  
  …
  
  …
  
  b
  
  )
  
  (
  
  l
  
  ,
  
  c
  
  ,
  
  …
  
  …
  
  d
  
  )
  
  =
  
  (
  
  k
  
  ,
  
  a
  
  ,
  
  …
  
  …
  
  b
  
  ,
  
  l
  
  ,
  
  c
  
  ,
  
  …
  
  …
  
  d
  
  )
  
  (k,l)(k,a,……b)(l,c,……d)=(k,a,……b,l,c,……d)
  
  $(k, l) (k, a, \dots \dots b) (l, c, \dots \dots d) = (k, a, \dots \dots b, l, c, \dots \dots d)$
  
  得：
  
  （2）
  
  a
  
  ,
  
  b
  
  )
  
  σ
  
  =
  
  (
  
  a
  
  ,
  
  b
  
  )
  
  τ
  
  1
  
  ⋅
  
  τ
  
  2
  
  …
  
  …
  
  ⋅
  
  τ
  
  s
  
  =
  
  (
  
  (
  
  a
  
  ,
  
  b
  
  )
  
  τ
  
  1
  
  ⋅
  
  τ
  
  2
  
  )
  
  τ
  
  3
  
  …
  
  …
  
  τ
  
  s
  
  =
  
  (
  
  a
  
  ,
  
  c
  
  1
  
  ,
  
  …
  
  …
  
  c
  
  k
  
  ,
  
  b
  
  ,
  
  d
  
  1
  
  ,
  
  …
  
  …
  
  d
  
  h
  
  )
  
  τ
  
  3
  
  …
  
  …
  
  τ
  
  s
  
  (a,b)\sigma\\=(a,b)\tau_1·\tau_2……·\tau_s\\=((a,b)\tau_1·\tau_2)\tau_3……\tau_s\\=(a,c_1,……c_k,b,d_1,……d_h)\tau_3……\tau_s
  
  $(a, b) σ = (a, b) τ_{1} \cdot τ_{2} \dots \dots \cdot τ_{s} = ((a, b) τ_{1} \cdot τ_{2}) τ_{3} \dots \dots τ_{s} = (a, c_{1}, \dots \dots c_{k}, b, d_{1}, \dots \dots d_{h}) τ_{3} \dots \dots τ_{s}$
  
  （3）
  
  (
  
  (
  
  a
  
  ,
  
  b
  
  )
  
  σ
  
  )
  
  =
  
  (
  
  −
  
  1
  
  )
  
  n
  
  −
  
  (
  
  s
  
  −
  
  1
  
  )
  
  =
  
  (
  
  −
  
  1
  
  )
  
  N
  
  (
  
  σ
  
  )
  
  N((a,b)\sigma)=(-1)^{n-(s-1)}=(-1)N(\sigma)
  
  $N ((a, b) σ) = (- 1)^{n - (s - 1)} = (- 1) N (σ)$

综上两种情况，

(

(

a

,

b

)

σ

)

=

(

−

1

)

N

(

σ

)

N((a,b)\sigma)=(-1)N(\sigma)

$N ((a, b) σ) = (- 1) N (σ)$

设

\sigma

$σ$

可分别表示为

h

$h$

个对换和

k

$k$

个对换的乘积（因为对换分解结果不惟一）：

即

(

)

(

)

…

(

)

(

)

(

)

…

(

)

\sigma=(a_1,b_1)(a_2,b_2)……(a_h,b_h)\\=(c_1,d_1)(c_2,d_2)……(c_k,d_k)

$σ = (a_{1}, b_{1}) (a_{2}, b_{2}) \dots \dots (a_{h}, b_{h}) = (c_{1}, d_{1}) (c_{2}, d_{2}) \dots \dots (c_{k}, d_{k})$

则
$N(\sigma)\\=N(\sigma·1)\\=N((a_1,b_1)(a_2,b_2)……(a_h,b_h)·(1))\\=(-1)^h·N(1)=(-1)^h N ( σ ) = N ( σ ⋅ 1 ) = N ( ( a 1 , b 1 ) ( a 2 , b 2 ) … … ( a h , b h ) ⋅ ( 1 ) ) = ( − 1 ) h ⋅ N ( 1 ) = ( − 1 ) h$

同理，

(

)

(

−

)

N(\sigma)=(-1)^k

$N (σ) = (- 1)^{k}$

所以

−

1

)

h

=

(

−

1

)

k

(-1)^h=(-1)^k

$(- 1)^{h} = (- 1)^{k}$

，

h

$h$

和

k

$k$

具有相同的奇偶性

原文链接：https://blog.csdn.net/qq_41545715/article/details/109777700

近世代数–置换群–判断置换的奇偶性

置换奇偶性定义

置换分解成轮换的结果是唯一的，置换分解成对换的结果不唯一

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置换分解成对换的奇偶性

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