博客

一级倒立摆的Simulink仿真

单级倒立摆稳定控制 直线一级倒立摆系统在忽略了空气阻力及各种摩擦之后，可抽象成小车和匀质摆杆组成的系统，如图1所示。m g杆长为 2u图1 直线一级倒立摆系统图 2 控制系统结构假设小车质量M =0.5kg，匀质摆杆质量 m=0.2kg，摆杆长度 2l =0.6m，x(t)为小车的水平位移， θ 为摆杆的角位移， 。控制的目标是通过外力 (t)使得摆直立向上2/8.9smgu(即 )。该系统的非线性模型为：0)(t，其中 。ulxMl glJ 22 )sin()()cos(co 231mlJ解：一、 非线性模型线性化及建立状态空间模型因为在工作点附近( )对系统进行线性化，所以0,可以做如下线性化处理：32sin,cos1!!当 θ 很小时，由 cosθ、sin θ 的幂级数展开式可知，忽略高次项后，可得 cosθ≈1，sinθ≈θ ，θ’ ^2≈0；因此模型线性化后如下：(J+ml^2 )θ’ ’+mlx’=mglθ (a)mlθ’+(M+m) x’=u (b) 其中 231mlJ取系统的状态变量为 输出 包括小车位移和摆杆,,,,4321 xTxy][的角位移.即 X= = Y= = 432x x31由线性化后运动方程组得X1’=x’=x2 x2’=x’= x3+ umMg3)(4m3)(4X3’ =θ’=x4 x4’=θ’= x3+ u l)( l)(故空间状态方程如下：X’= = +  43 21x 03)(401)(3010mlMg432xmlM3)(0)(4u X’= = + u 43 21xx018.30672.1431x54.082.Y= = 31x04321x二、通过 Matlab 仿真判断系统的可控与可观性，并说明其物理意义。(1)判断可控性代码：A=[0 1 0 0;0 0 -2.627 0;0 0 0 1;0 0 31.1818 0];B=[0;1.8182;0;-4.5455];P=ctrb(A,B);n=rank(P);运行了得 n= 4所以 P 为满秩，系统能控(2)判断可观性代码：A=[0 1 0 0;0 0 -2.627 0;0 0 0 1;0 0 31.1818 0];B=[0;1.8182;0;-4.5455];C=[1 0 0 0;0 0 1 0];P=obsv(A,C);n=rank(P);运行了得 n= 4所以 P 为满秩，系统能观。三、能否通过状态反馈任意配置系统的极点？若能，通过 Matlab 仿真确定反馈控制规律 K(如图 2)，使得闭环极点配置在上。并给出系统在施加一个单位脉冲输入时j1,2,14.3状态响应曲线；答： 因为系统完全能控，所以能通过状态反馈任意配置系统的极点。要将闭环极点配置在 上，所以期望特征方程为j1,2,14.3| I—(A-BK)|=( )*( +2)*( ( +1)^2+1)𝜆 𝜆+1 𝜆 𝜆= ^4+5 ^3+10 ^2+ +4𝜆 𝜆 𝜆 10𝜆Matlab 求解 K 如下：A=[0 1 0 0;0 0 -2.627 0;0 0 0 1;0 0 31.1818 0];B=[0;1.8182;0;-4.5455];J=[-1 -2 -1+i -1-i];K=place(A,B,J);运行得：K=[ -0.089378 -0.22345 -9.0957 -1.1894];未加入极点配置。仿真图：未进行极点配置仿真电路图(1)X 的响应图：Θ 的响应图：配置后：加入极点配置仿真图(2)X 的响应图：Θ 的响应图：四、 用 MatLab 中的 lqr 函数，可以得到最优控制器对应的 K。要求用 LQR 控制算法控制倒立摆摆动至竖直状态，并可以控制倒立摆左移和右移；欲对系统进行最优状态反馈设计，及小化性能指标为：J= dt1 2 ∫∞0[𝑋𝑇𝑄𝑋+𝑈𝑇𝑅𝑈]编写 matalab 程序如下：A=[0 1 0 0;00 -2.627 0;0 0 0 1;0 0 31.1818 0];B=[0;1.8182;0;-4.5455];C=[1 0 0 0;0 0 1 0];D=[0;0]x=1;y=1;Q=[x 0 0 0;0 0 0 0;0 0 y 0;0 0 0 0];R=1;G=lqr(A,B,Q,R);A1=[(A-B*G)];B1=[B];C1=[C];D1=[D];t=0:0.01:5;U=zeros(size(t));x0=[0.1 0 0.1 0];[Y,X]=lsim(A1,B1,C1,D1,U,t,x0);plot(t,Y);legend( 小车 , 倒立摆 );运行可得：G=[-1 -1.5495 -18.68 -3.4559]由图分析可得调节时间很长，所以增加 Q 的比重，将上程序中的 x,y 改为 x=150,y=150.运行可得：G=[-12.247 -9.3413 -41.934 -7.7732]比较可得，控制效果明显改善。但反馈增益变大，意味着控制作用变强，消耗能量变大。将 G 放入系统中，进行 simulink 仿真可得：仿真电路图：仿真结果：X 的响应图：Θ 的响应图：