下面的定理给出
样本均值的期望， 方差的期望， 样本方差的期望
, 它 不依赖于总体的分布形式。
一. 定理：
假设有总体X, 均值
μ
\mu
μ
, E(X)=
μ
\mu
μ
, 有方差
σ
2
\sigma^2
σ
2
,
\space
D(X) =
σ
2
\sigma^2
σ
2
<
+
∞
<+\infty
<
+
∞
。
X
1
,
X
2
,
.
.
.
X
n
X_1, X_2, … X_n
X
1
,
X
2
,
…
X
n
为来自X的样本，n为样本容量,
x
‾
\overline x
x
表示样本均值，
S
2
S^2
S
2
表示样本方差， 则有
1.
E
(
x
‾
)
=
E(\overline x) =
E
(
x
)
=
μ
\mu
μ
, 即 样本均值的期望 等于 总体均值
2.
D
(
x
‾
)
=
D(\overline x) =
D
(
x
)
=
σ
2
n
\frac{\sigma^2}{n}
n
σ
2
， 样本均值的方差等于总体方差除以样本容量
3.
E
(
S
2
)
=
E(S^2) =
E
(
S
2
)
=
σ
2
\sigma^2
σ
2
, 样本方差的期望 等于总体方差
4.
D
(
S
2
)
=
D(S^2)=
D
(
S
2
)
=
2
σ
4
n
−
1
\frac{2\sigma^4}{n-1}
n
−
1
2
σ
4
定理表明：
样本均值的期望与总体均值相同， 样本均值的方差是总体方差的
1
n
\frac{1}{n}
n
1
, 即
D
(
x
‾
)
=
D(\overline x) =
D
(
x
)
=
D
(
X
)
n
\frac{D(X)}{n}
n
D
(
X
)
二. 看例题
-
设
x1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
8
x_1, x_2, …,x_8
x
1
,
x
2
,
…
,
x
8
是从正态总体N(10, 9)中抽取的样本， 试求样本均值
x‾
\space \overline x
x
的标准差。
解:
D
(
x
)
=
\space\space \sqrt {D(x)} =
D
(
x
)
=
σ
2
n
\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}
n
σ
2
=
9
8
\sqrt{\frac{9}{8}}
8
9
=
3
2
2
\frac{3}{2\sqrt{2}}
2
2
3
.
-
从正态总体N(3.4, 36)中抽取容量为 n 的样本， 如果要求其样本均值位于区间(1.4, 5.4)内的概率不小于 0.95, 问样本容量 n 至少应取多大？
附表： 标准正态分布表
解：
依题意， 需要 求P{1.4<
x‾
\overline x
x
<5.4}
⩾\geqslant
⩾
0.95,
设样本均值为
x‾
\overline x
x
因为 P{X在a到b之间} =
Φ(
b
−
μ
σ
)
−
Φ
(
a
−
μ
σ
)
\Phi(\frac{b-\mu}{\sigma}) – \Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})
Φ
(
σ
b
−
μ
)
−
Φ
(
σ
a
−
μ
)
,
已知
μ=
3.4
\mu = 3.4
μ
=
3.4
,
P{1.4<
x
‾
\overline x
x
<5.4} =
Φ
(
5.4
−
3.4
6
n
)
−
Φ
(
1.4
−
3.4
6
n
)
\Phi(\frac{5.4-3.4}{\frac{6}{\sqrt{n}}}) – \Phi(\frac{1.4-3.4}{\frac{6}{\sqrt{n}}})
Φ
(
n
6
5.4
−
3.4
)
−
Φ
(
n
6
1.4
−
3.4
)
=
Φ
(
2
6
n
)
−
Φ
(
−
2
6
n
)
\Phi(\frac{2}{\frac{6}{\sqrt{n}}}) – \Phi(\frac{-2}{\frac{6}{\sqrt{n}}})
Φ
(
n
6
2
)
−
Φ
(
n
6
−
2
)
=
Φ
(
n
3
)
−
Φ
(
−
n
3
)
\Phi(\frac{\sqrt{n}}{3}) – \Phi(-\frac{\sqrt{n}}{3})
Φ
(
3
n
)
−
Φ
(
−
3
n
)
（1）
x
<5.4} =
Φ
Φ
(
n
6
5.4
−
3.4
)
−
Φ
(
n
6
1.4
−
3.4
)
=
Φ
Φ
(
n
6
2
)
−
Φ
(
n
6
−
2
)
=
Φ
Φ
(
3
n
)
−
Φ
(
−
3
n
)
（1）
因为
Φ
(
a
)
=
1
−
Φ
(
−
a
)
\Phi(a) = 1- \Phi(-a)
Φ
(
a
)
=
1
−
Φ
(
−
a
)
,
(1)式 = 2
Φ
(
n
3
)
−
1
⩾
0.95
\Phi(\frac{\sqrt{n}}{3}) – 1\geqslant0.95
Φ
(
3
n
)
−
1
⩾
0.95
有，
Φ
(
n
3
)
⩾
0.975
\Phi(\frac{\sqrt{n}}{3}) \geqslant0.975
Φ
(
3
n
)
⩾
0.975
，
查表格， 有
n
3
⩾
1.96
\frac{\sqrt{n}}{3} \geqslant1.96
3
n
⩾
1.96
,
n
⩾
34.5744
n\geqslant 34.5744
n
⩾
34.5744
所以
样本容量n 至少为35
.
~~~