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矩阵秩的定义和相关结论汇总

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秩的定义：对于矩阵
A \in \mathbb{R}^{m\times n}
，以下陈述为真。（如果
A\in C^{m\times n}
，则用共轭转置替换下述转置）

  • rank(A)=矩阵A经过行初等变换，所得行阶梯形矩阵的非零行数
  • rank(A)=矩阵A经过行初等变换，所得行阶梯形矩阵的主元数
  • rank(A)=矩阵A的线性无关列(行)数，也即以矩阵A的列(行)组成向量组的最大线性无关组
  • rank(A)=dim R(A)=dimR(
    A^T
    )，即矩阵A列空间的维数（即A的列向量组张成空间的维数），也等于A行空间的维数
  • rank(A)=n-dim N(A)=m-dim N(
    A^T
    )，即n-矩阵A零空间的维数
  • rank(A)=矩阵A的最大非奇异子矩阵的行数或列数（方阵）。
  • rank(A)=矩阵A非零奇异值的个数

相关结论

  • rank(AE)\leq rank(A)
    ，即 对任意矩阵A进行乘法操作，所得矩阵的秩不大于矩阵A的秩。
  • rank(A^TA)=rank(A)=rank(AA^T)
  • rank(A)+rank(B)-n\leq rank(AB)
  • rank(AB) \leq min \left \{ rank(A),rank(B) \right \}
  • rank(A+B) \leq rank(A) + rank(B)
  • 如果矩阵P和矩阵Q都是非奇异矩阵，那么：
    rank(A)=rank(PAQ)=rank(PA)=rank(AQ)
  • 对于矩阵$A_{m\times n}$和$B_{n\times p}$，$rank(AB)=rank(B)-dim N(A) \cap R(B)$


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