陶哲轩实分析 4.1 节习题试解

陶哲轩的书中定义整数时用的是一个比正常 “$-$” 号长的符号，但是我没有找到如何输入那个符号，只能找到个类似的符号“$\ominus$”，下面的证明中都用 “$\ominus$” 来代替那个长长的“$-$”。
这个 “$\ominus$” 看起来还更漂亮些。

4.1.1

（1）证明整数相等是自反的。
设 $a \ominus b$ 是一个任意的整数。
因为 $a+b = a + b$
所以 $a \ominus b = a \ominus b$

（2）证明整数相等是对称的。
设 $a \ominus b$ 和 $c \ominus d$ 是两个任意的整数。
已知 $a \ominus b = c \ominus d$
所以 $a + d = c + b$
所以 $c + b = a + d$
所以 $c \ominus d = a \ominus b$

4.1.2

如果 $a \ominus b = a' \ominus b'$，证明 ：$-(a \ominus b) = - (a' \ominus b')$

因为 $a \ominus b = a' \ominus b'$
所以 $a + b' = a' + b$
所以 $b + a' = b' + a$
所以 $b \ominus a = b' \ominus a'$
所以 $-(a \ominus b) = - (a' \ominus b')$

4.1.3

证明 $(-1) \times a = -a$

$-1 = 0 \ominus 1$
设 $a = c \ominus d$
则 $(-1) \times a = (0 \ominus 1) \times (c \ominus d) = d \ominus c = -a$

4.1.4

（1） 证明 $x+ y= y + x$
设 $x = a \ominus b$ 和 $y = c \ominus d$ 是两个任意的整数。
则 $(a \ominus b) + (c \ominus d) = (a +d) \ominus (b + d) = (c \ominus d) + (a \ominus b)$

（2）证明 $(x+y) +z = x + (y+z)$
设 $x = a \ominus b$ 、 $y = c \ominus d$ 、$z = e \ominus f$ 是三个任意的整数。

$$\begin{eqnarray} (x + y) + z &=& \left((a \ominus b) + (c \ominus d) \right)+ (e \ominus f) \\ &=& \left((a + c) \ominus (b + d)\right) + (e \ominus f) \\ &=& (a + c + e) \ominus (b + d + f)\\ &=& (a \ominus b) + \left((c + e) \ominus (d + f)\right)\\ &=& x + (y + z) \end{eqnarray}$$

（3）证明 $x + 0 = 0 + x = x$
设 $x = a \ominus b$， $0$ 可以表示为 $0 = (0 \ominus 0)$

$$\begin{eqnarray} x + 0 &=& (a \ominus b) + (0 \ominus 0) \\ &=& a \ominus b = x\\ &=& (0 \ominus 0) + (a \ominus b)\\ &=& 0 + x \end{eqnarray}$$

（4） 证明 $x + (-x) = (-x) + x = 0$
设 $x = a \ominus b$，则 $-x = b \ominus a$

$$\begin{eqnarray} x + (-x) &=& (a \ominus b) + (b \ominus a) \\ &=& 0 \ominus 0 \\ &=& (b \ominus a) + (a \ominus b) \end{eqnarray}$$

（5） 证明 $xy = yx$
设 $x = a \ominus b$， $y = c \ominus d$

$$\begin{eqnarray} x y &=& (a \ominus b) \times (c \ominus d) \\ &=& (ac + bd) \ominus (ad + bc) \\ &=& (ca + db) \ominus (da + cb) \\ &=& (c \ominus d) \times (a \ominus b) \\ &=& yx \end{eqnarray}$$

（6）证明 $(xy)z = x(yz)$
设 $x = a \ominus b$ 、 $y = c \ominus d$ 、$z = e \ominus f$ 是三个任意的整数。

$$\begin{eqnarray} (xy)z &=& \left((a \ominus b) \times (c \ominus d)\right) \times (e \ominus f)\\ &=& (ac + bd) \ominus (ad + bc) \times (e \ominus f)\\ &=& (ace + bde + b c f + a d f) \ominus (b c e + a d e + a c f + b d f) \\ \end{eqnarray}$$

$$\begin{eqnarray} x(yz) &=& (a \ominus b) \times \left((c \ominus d)\times (e \ominus f)\right) \\ &=& (a \ominus b) \times \left((ce + df) \ominus (cf + de)\right)\\ &=& (ace + adf + bcf + bde) \ominus (acf + ade + bce + bdf) \\ \end{eqnarray}$$

所以 $(xy)z = x(yz)$

（7） 证明$x \times 1 = 1 \times x = x$
由 （5） 可知 $x \times 1 = 1 \times x$，因此只需证明 $1 \times x = x$
设 $x = a \ominus b$。 $1$ 可表示为 $(1 \ominus 0)$。

$$\begin{eqnarray} 1 \times x &=& (1 \ominus 0) \times (a \ominus b) \\ &=& a \ominus b \\ &=& x \end{eqnarray}$$

（8）证明 $x(y+z) = xy + xz$
设 $x = a \ominus b$ 、 $y = c \ominus d$ 、$z = e \ominus f$ 是三个任意的整数。

$$\begin{eqnarray} x(y+z) &=& (a \ominus b) \times \left((c \ominus d) + (e \ominus f)\right) \\ &=& (a \ominus b) \times \left((c + e) \ominus (d + f)\right) \\ &=& (ac + ae + bd + bf) \ominus (ad + af + bc + be)\\ &=& (ac + bd) \ominus (ad + bc) + (ae + bf) \ominus (af + be)\\ &=& (a \ominus b)\times (c \ominus d) + (a \ominus b)\times (e \ominus f)\\ &=& xy + xz \end{eqnarray}$$

（9）证明 $(y+z)x = yx + zx$

$$(y+z)x = x(y+z) = xy +xz = yx + zx$$

4.1.5

由整数的三歧性。对 $x$ 和 $y$ 分类讨论。$xy$ 的组合共有 9 种情况。其中，$xy = 0$ 的组合共有 5 种情况：
1. $x = 0, y = 0$
2. $x = 0, y > 0$
3. $x = 0, y < 0$
4. $x > 0, y = 0$
5. $x < 0, y = 0$

无论哪种情况，都有 $x = 0$ 或 $y = 0$ 和 二者都为 $0$。

4.1.6

$a,b,c$ 是整数，$ac = bc$，并且 $c\neq 0$，那么 $a = c$。

$$ac = bc \\ \Rightarrow ac - bc = bc -bc\\ \Rightarrow (a - b) c = 0\\ $$

所以

$(a-b) = 0$ 或

$c = 0$。而

$c\neq 0$。所以

$(a-b) = 0$。

所以

$a = b$

4.1.7

（a） $a > b$ 当且仅当 $a-b$ 是正的自然数。
$a > b$ 表明存在一个自然数 $m$，满足 $a= b + m$，并且 $a \neq b$。
所以 $a - b = m$。因为 $a \neq b$，所以 $m \neq 0$
所以 $m$ 是正的自然数。

（b） 如果 $a > b$，那么 $a + c > b + c$
$a > b$ 表明存在一个自然数 $m$，满足 $a= b + m$，并且 $m \neq 0$。
所以 $a + c = b + c + m$，并且 $m \neq 0$。
所以 $a + c > b + c$

（c）如果 $a > b$，并且 $c$ 是正的，那么 $ac > bc$
$a > b$ 表明存在一个自然数 $m$，满足 $a= b + m$，并且 $m \neq 0$。
所以 $ac = bc + mc$。因为 $m,c$ 都是正的。所以 $mc$ 也是正的。
所以 $ac > bc$

（d）如果 $a > b$，那么 $-a < -b$
$a > b$ 表明存在一个自然数 $m$，满足 $a= b + m$，并且 $m \neq 0$。
所以 $-b = -a + m$
所以 $-a < -b$

（e）如果 $a > b$，$b > c$，那么 $a > c$
$a > b$ 表明存在一个自然数 $m$，满足 $a= b + m$，并且 $m \neq 0$。
$b > c$ 表明存在一个自然数 $n$，满足 $b= c + n$，并且 $n \neq 0$。
所以 $a= b + m = c + (n + m)$
因为 $m,n$ 都是正数，所以 $n+m$也是正数。
所以 $a > c$

（f）证明 $a > b$, $a = b$, $a < b$ 恰有一个成立。
设 $x = a - b$ 那么由整数的三歧性可知，下面三个命题恰有一个成立。
1. $x = 0$
2. $x$ 等于一个正的自然数 $n$。
3. $x$ 等于一个正的的自然数的负数 $-n$。

当 $x = 0$ 时，只有 $a = b$ 成立。
当 $x$ 等于一个正的自然数 $n$ 时，只有 $a > b$ 成立。
当 $x$ 等于一个正的的自然数的负数 $-n$， 只有 $a < b$ 成立。

4.1.8

数学归纳法不直接适用于整数系。比如性质 $P(n) \geq 0$
对 $P(0)$ 成立。当 $P(n)$成立时，$P(n++)$ 也成立。但是 $P(n)$ 对负整数不成立。