感谢我的朋友
清影
。
//话说我一篇FFT的文章好像吸了不少粉丝QAQ
//这篇文章因为是总结+自己的理解，所以应该有很多错误
//不过话说这本来就算是我的个人空间又不是去写教程的QAQ
基础知识引入：
引入斜率的概念：
我想先说一下广义的斜率：
斜率是某一
段
的倾斜程度，我们可以认为，
陡峭
的上坡路的斜率要大于
平缓
的上坡路。斜率可以为负数，负的斜率自然是下坡路。
定义
一段
函数的斜率的公式：
d
=
Δ
y
Δ
x
Δ
为
在这段中的
增量。
然而一段函数并不总是一条直线，所以：
把斜率推广到
点
：
某个点的斜率公式：
d
=
Δ
y
Δ
x
Δ
为
极小
增量。
你可以认为：
∀
ϵ
∈
R
,
ϵ
>
Δ
如果我们想知道曲线A上的某一点C的斜率，也就是该点的
倾斜程度
，那么我们考虑让一个点B**无限**接近于点C，BC直线的斜率也就是点C的斜率。(为了理解无限这个词，我们下面会介绍极限概念。)
此时，C的斜率和曲线A在C处的切线斜率相等。
斜率反映了
变化程度
。
比如说吧我们买股票，然后我们在曲线趋近平缓的时候买了许多，显然是不赚的，我们如果在这个股票隐隐有飞速上涨的
趋势
的时候购买，显然是划算的。
嗯……所以有人说买涨不买跌嘛……
所以斜率这个东西还是挺有用的。
然而为了引入导数我们不仅要介绍斜率，还要介绍极限的概念。
定义极限：
lim
x
−
>
a
f
(
x
)
=
b
这个式子表示的是
当x无限趋近于a时
，
f(x)就无限趋近于b
。
我们拿一个简单的例子来说：
lim
每
天
刷
100
道
b
z
o
j
f
(
刷
题
量
)
=
累
死
嗯……找到感觉了吧……？
拿几道例题来说话吧。
Prog1.
lim
x
−
>
1
(
1
−
x
)
这个就是说，x无限趋近于1时，1 – x无限趋近于多少呢？
我们其实可以带入x = 1，这个显然是0嘛。
Prog2.
lim
x
−
>
1
(
x
−
3
)
(
x
−
1
)
(
x
−
1
)
嗯……这个好像不能带入了……
但是我们仔细考虑以下，x**无限趋近**于1，并不代表x等于1，也就意味着：这个式子可以化简为
l
i
m
x
−
>
1
(
x
−
3
)
无论接近到什么程度，都不是相等的。
而接近的那个
目标值
，即f(x)的值，就是
极值
。
然而：
可以从两个方向接近，可以从右到左，也可以从左到右。
lim
x
−
>
0
1
x
Prog3.
这个式子……
如果我们
从右到左
，那么写作：
lim
x
−
>
0
+
1
x
它接近的值是正无穷。
如果我们
从左到右
，那么写作：
lim
x
−
>
0
−
1
x
它接近的值是负无穷。
也就是说，从两个方向接近得到的结果不同。
这种情况是
没有极限
的。
即
lim
x
−
>
0
1
x
是
没有极限
的。
Prog4.
那么
lim
x
−
>
0
1
x
2
的极限存不存在呢?
答案是存在的，因为从两边逼近，都是正无穷大。
我们发现极限有三种模式：
1.
lim
x
−
>
a
f
(
x
)
极限存在，且等于
f
(
a
)
.(Prog1)
2.
lim
x
−
>
a
f
(
x
)
极限不存在。(Prog3)
3.
lim
x
−
>
a
f
(
x
)
极限存在，但不等于
f
(
a
)
.(Prog4)
我们先来找函数f(x)上
任意
一点A的斜率，那么我们找到了和A(a,f(a))点
无限逼近
的点B(a + h,f(a + h))，则有AB的斜率：
斜
率
A
B
=
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
嗯……我们仔细想想点A的斜率等于什么？
lim
h
−
>
0
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
没错这就是点A的斜率公式……
那么这个算式
lim
h
−
>
0
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
，就是
f
(
x
)
在
点
x
=
a
的
导
数
。
然而A是任意一点。
所以，f(x)整个函数的求导公式为：
lim
h
−
>
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
我们拿个栗子来说一下：
我们要计算y = x在点(1,1)的斜率。
lim
h
−
>
0
f
(
1
+
h
)
−
f
(
1
)
h
=
1
嗯……可以在最后约掉h，因为h不会等于0。
这样我们就学会导数了，它能够求任意一个点的斜率。
我们可以考虑二次函数
y
=
x
2
的求导后的样子：
->
(
x
+
h
)
2
−
x
2
h
– >
2
x
h
+
h
2
h
– >
2
x
毕竟h趋近于0，那么我们最终的答案也趋近于2x。
等等，也就是说，任意一点横坐标为x的斜率都是2x……？
那么我们就知道了一件事情：
对于x = 0这个点，斜率为0，即它是一个
极值
。
即它是
水平
的。
我们只要知道极值左右两端的斜率都是怎样的，就能大概明白这个图形的样子了。
我们可以大概绘制出图形的形状，而这就是导数的应用.
f(x)的导数通常写作：
f
′
(
x
)
(
拉格朗日表示法
)
很方便，但我们并不知道它关于什么求导，但对于以
x
为唯一
变量
的函数，我们这个就是唯一确定的。
否则，我们定义u = x + 1，那么f(x)关于u的导数再记作
f
′
(
x
)
就会出问题了。
有莱布尼兹表示法：
对f(x)关于x求导：
d
y
d
x
d
f
(
x
)
d
x
d
d
x
f
(
x
)
这些都读作对f(x)关于x求导，其中d是微小增量。
我们可以看出，
d
d
x
和
y
是
相
乘
关
系
。
什么？你说
d
d
x
是什么？它是一个求导的整体，代表”求导命令”(微分算子).
d
x
<
=
>
lim
Δ
x
→
0
，它是一个整体。
所以千万不要把上面的d和下面的d约掉。
所以我们求二阶导的时候，按照拉格朗日的表示方法， 我们需要加两个撇，然而按照莱布尼兹的表示法：
(
d
d
x
)
(
d
d
x
)
y
=
d
2
y
d
x
2
再说一遍……dx为一个整体。
常用导数公式：
1.
f
(
x
)
=
C
,
f
′
(
x
)
=
0
2.
f
(
x
)
=
k
x
,
f
′
(
x
)
=
k
3.
f
(
x
)
=
x
n
,
f
′
(
x
)
=
n
x
n
−
1
4.
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
+
g
′
(
x
)
5.
(
f
(
x
)
∗
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
关于证明，前两个可以用定义显然地证明，第三个，由二项式定理可以轻松证明。
证明4.
左
边
=
l
i
m
h
−
>
0
f
(
x
+
h
)
+
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
−
g
(
x
)
h
右
边
=
l
i
m
h
−
>
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
+
l
i
m
h
−
>
0
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
h
提取右边的极限，显然左右两边相等。
证明5.
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
lim
h
−
>
0
f
(
x
+
h
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
h
->
lim
h
−
>
0
f
(
x
+
h
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
+
h
)
+
f
(
x
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
+
h
)
h
->
lim
h
−
>
0
[
g
(
x
+
h
)
(
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
)
h
+
f
(
x
)
(
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
)
h
]
由
l
i
m
h
−
>
0
g
(
x
+
h
)
=
g
(
x
)
所以可以推出
(
f
(
x
)
∗
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
.
基本运算只需掌握这些东西……
让我们进入积分的学习吧。
积分：积分是导数的逆运算。
每次求导就相当于使得次数界为n的多项式变成n – 1.
而积分可以使得次数界为n – 1的变成n。
可以暂且认为，导数求出的是斜率，而积分求出的是面积。
我们先讲
积分的表示方法
。
求函数f(x)关于x的积分，可以表示为：
∫
f
(
x
)
d
x
读作
求f(x)关于x的积分
。
其中f(x)和dx是乘法关系。
求函数f(x)
关于y
的积分，可以表示为：
∫
f
(
x
)
d
y
也就是对d之后的数去求积分。
同样的，如果求f(x)关于x的积分，我们可以直接说求f(x)的积分，然而如果求关于另一个变量v的积分，那么我们就要强调是关于v的积分。
积分的计算方法
我们之前说过，积分是导数的
逆运算
，所以我们求f(x)关于x的积分是什么，就相当于询问：
关于x求导得到f(x)的函数是什么
那么我们来解决一道题吧：
∫
x
2
d
x
关于什么求导之后等于x ^ 2呢？
p
(
x
)
=
x
3
−
>
p
′
(
x
)
=
3
x
2
差一点。
p
(
x
)
=
1
3
x
3
−
>
p
′
(
x
)
=
x
2
所以
∫
x
2
d
x
=
1
3
x
3
等等，有一些地方出了问题：
p
(
x
)
=
1
3
x
3
+
C
(
C
为
常
数
)
求
导
后
都
为
p
′
(
x
)
=
x
2
我们发现，对于这个积分的所有答案，都是：
∫
x
2
d
x
=
1
3
x
3
+
C
(
C
是
积
分
常
数
)
含有积分常数的积分叫做不定积分。
引入概念：
原函数
：对f(x)求关于x的不定积分最后得到的函数叫做原函数。
通常可以写成：
∫
f
(
x
)
d
x
或者
F
(
x
)
，然而原函数有时表示的是全体函数，有时表示特定的某一个函数。(具体情况具体分析)
(一般不加C)
我们现在来说一下积分的意义是什么。
因为前面我们只知道积分的计算方法，还没有说具体含义。
我们考虑对f(x)求导之后，就能得到f’(x)，即f(x)的
变化情况
。
这种变化情况只有一个。
然而我们如果对f’(x)求积分，这也就意味着，求一个：
变化情况为f’(x)的函数都长什么样
即求一个
变化集合
。
我们把它考虑成一个图.
f(x)的导数就相当于一个点S，从很多点f(x) + C都能通过求导回到f’(x)，所以从f’(x)出发能得到的所有的函数也不仅仅只有f(x)一个。
积分就是
通过求导之后能到达S的函数集合
求导就是
求出这个函数能到达哪里
定积分
：定积分是有区间范围的积分，写作：
∫
b
a
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
我们发现一个事情，就是当我们代入原函数进行求解之后，常量C会被消掉。
定积分的结果不是一个函数，而是一个
常数
。
我们在讲它的意义之前，首先要明白：
f(x)是x对应的y轴的坐标，dx表示x轴的最小增量。
f(x) * dx?
没错就是这一个红色的矩形面积。
所以把这些红色的矩形面积加起来就得到了这样a – > b的面积。
这样真的是对的吗？
一堆矩形按说不应该能拼成一个曲线面积。
但是当矩形的宽无限小的时候，我们就可以认为这个矩形面积
无限趋近于曲线的面积
。
//曲线是没有面积的，我的意思是那一段的面积
我们介绍一种算面积的方法：
也就是没有微积分之前的计算方法。
设我们要计算的区间长度为len
lim
n
−
>
+
∞
∑
k
=
0
n
−
1
l
e
n
n
f
(
x
k
)
我们想计算
f
(
x
)
=
x
2
在x = 0…1之间的面积，那么我们就可以应用这个公式。
然而在这之前我们引入一个公式：
∑
k
=
1
n
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
/
6
证明：
利用恒等式(n+1)³=n³+3n²+3n+1,可以得到：
(n+1)³-n³=3n²+3n+1,
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
.
3
³
−
2
³
=
3
∗
(
2
²
)
+
3
∗
2
+
1
2
³
−
1
³
=
3
∗
(
1
²
)
+
3
∗
1
+
1.
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+.+n²)+3(1+2+3+…+n)+n,
由于1+2+3+…+n=(n+1)n/2,
代入上式得：
n³+3n²+3n=3(1²+2²+3²+.+n²)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1²+2²+3²+.+n²=n(n+1)(2n+1)/6
lim
n
−
>
+
∞
∑
k
=
0
n
−
1
l
e
n
n
f
(
x
k
)
S
=
lim
n
−
>
+
∞
∑
k
=
0
n
−
1
1
n
(
k
n
)
2
=
(
1
n
)
3
lim
n
−
>
+
∞
∑
k
=
0
n
−
1
k
2
S
=
lim
n
−
>
+
∞
(
1
n
)
3
(
n
−
1
)
n
(
2
n
−
1
)
6
S
=
1
6
lim
n
−
>
+
∞
n
−
1
n
∗
2
n
−
1
n
S
=
1
6
lim
n
−
>
+
∞
(
1
−
1
n
)
∗
(
2
−
1
n
)
=
1
3
//太麻烦了……累死我了……
我们还是来讲一些比较资磁的东西吧。
我们尝试另一种计算面积的方式。
首先把区间分成n等分，这里我们只要让x的增量无限小就行了。
S
=
lim
Δ
x
−
>
0
∑
k
=
0
n
−
1
Δ
x
f
(
x
k
)
我们想到了之前的原函数F(x)，它对x进行求导之后会得到f(x).
则有
f
(
x
)
=
lim
h
−
>
0
F
(
x
+
h
)
−
F
(
x
)
h
我们代入一下。
S
=
lim
Δ
x
−
>
0
∑
k
=
0
n
−
1
F
(
x
k
+
1
)
−
F
(
x
k
)
全都消掉了，最后剩下什么呢？
S
=
F
(
x
n
)
−
F
(
x
0
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
这不就是
定积分
的表达方式吗？
所以我们如果要算0~x的面积，我们只需要计算出：
∫
x
0
f
(
x
)
d
x
然而，变量名重了，所以我们可以：
∫
x
0
f
(
t
)
d
t
这样就非常资磁啦.
微积分基本定理：
f
(
x
)
=
d
d
x
∫
x
0
f
(
t
)
d
t
这就是微积分基本定理的内容。
证明的话：
设一微小增量dx，则增加的面积相等。
d
S
(
x
)
=
f
(
x
)
d
x
而又有：
S
(
x
)
=
∫
x
0
f
(
t
)
d
t
d
∫
x
0
f
(
t
)
d
t
=
f
(
x
)
d
x
d
d
x
∫
x
0
f
(
t
)
d
t
=
f
(
x
)
证毕。
//嗯据说这好像是个伪证？
我们现在已经知道了积分能算面积，现在让我们来算算y = x这条直线在[-3,-1]之间的面积吧。
∫
−
1
−
3
x
d
x
=
F
(
−
1
)
−
F
(
−
3
)
F
(
x
)
′
=
f
(
x
)
=
x
F
(
x
)
=
1
2
x
2
∫
−
1
−
3
x
d
x
=
1
2
−
9
2
=
−
4
(￣ε(#￣)☆╰╮(￣▽￣///)
显然不太对啊……
面积怎么可能是负的？
显然我们发现一个事情：它的纵坐标是负的，所以我们此时要把纵坐标反过来，即g(x) = -f(x)，然后对g(x)求积分。
严格来讲，其实导数并不是算斜率，积分也并不是算面积的。
实际上导数属于细化，而积分属于聚集。
把直线细化，得到斜率。
把面积细化，得到直线。
把斜率聚集，得到直线。
把直线聚集，得到面积。
嗯……也就是导数是
降了一个维度
，而积分是
升了一个纬度。
习题：
推导圆锥体积公式。
把圆锥的顶点顶在原点，中心轴与x轴重合。
设圆锥的高为h，底面半径为r，则对于横坐标为x(x < h)的那一个截面，我们的半径为x * r / h.
V
=
∫
h
0
f
(
x
)
d
x
我们发现此时的dx表示”厚度”，那么只要f(x)是面积即可。
f
(
x
)
=
π
(
x
r
h
)
2
F
(
x
)
′
=
π
(
r
h
)
2
x
2
F
(
x
)
=
π
(
r
h
)
2
1
3
x
3
V
=
∫
h
0
f
(
x
)
d
x
=
F
(
h
)
−
F
(
0
)
=
F
(
h
)
=
1
3
π
r
2
h
同样的，我们可以计算球体的体积公式。
于是就有以下的题目。
//
凡人们，你们不懂什么叫数学。——欧几里德
嗯这题我也不会做，据说最后能推出一个通项(这是显然的)
然后这就是入门了……
参考资料：
<<漫画:七天搞定微积分>>//你不得不承认这是个好书。
<<网上的各种ppt>>
来填一些坑。
对于隐函数求导或者如何如何。
比如说有个式子
f
(
x
)
，现在要在这个式子上对x进行求导。
那么就要把这个玩意看作是x的函数，对x进行求导。
这样的话我们可以求隐函数的导数：
x
2
+
y
2
=
1
两边对x进行求导，并且我们知道可以分别求导，于是：
2
x
+
y
d
y
d
x
=
0
解出来就好了。