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矩阵分析——线性空间与线性映射(六)

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矩阵分析——线性空间与线性映射(六)

矩阵的等价与相似

定义（矩阵等价）
A,B\in F^{m\times n}
称为等价，如果存在可逆矩阵
P\in F^{n\times n}
,
Q\in F^{m\times m}
使
AP= QB

(
{\color{Blue}PAQ= B }
如果一个矩阵可以经过一系列的初等行列变换变成另外一个矩阵，则称这两个矩阵等价)

从线性映射（几何）角度来看矩阵等价

引入矩阵等价的动机：是用来刻画矩阵的初等行列变换的

A\begin{bmatrix} p_{1} &p_{2} &... & p_{n} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_{1} & q_{2} &... & q_{m} \end{bmatrix}B
p看作是入口基q看作是出口基

A\in F^{m\times n}
视为线性映射
F^{n}\rightarrow F^{m}

x \mapsto y= Ax
线性映射A在入口基p和出口基q下的矩阵表示是B

问题：选择基，寻找“最简表示”


取
Q= T^{-1}
,
P= S


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