1 基本概念

1.1 马尔科夫链（维基百科）

马尔可夫链（英语：Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain，缩写为DTMC），因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。

1.2 马尔科夫过程——离散的叫马尔科夫链

在概率论及统计学中，马尔可夫过程（英语：Markov process）是一个具备了马尔可夫性质的随机过程，因为俄国数学家安德雷·马尔可夫得名。马尔可夫过程是不具备记忆特质的（memorylessness）。换言之，马尔可夫过程的条件概率仅仅与系统的当前状态相关，而与它的过去历史或未来状态，都是独立、不相关的。

具备离散状态的马尔可夫过程，通常被称为马尔可夫链。马尔可夫链通常使用离散的时间集合定义，又称离散时间马尔可夫链。有些学者虽然采用这个术语，但允许时间可以取连续的值。

1.3 隐马尔科夫模型定义

隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model；缩写：HMM）或称作隐性马尔可夫模型，是统计模型，它用来描述一个含有隐含未知参数的马尔可夫过程。其难点是从可观察的参数中确定该过程的隐含参数。然后利用这些参数来作进一步的分析，例如模式识别。

在正常的马尔可夫模型中，状态对于观察者来说是直接可见的。这样状态的转换概率便是全部的参数。而在隐马尔可夫模型中，状态并不是直接可见的，但受状态影响的某些变量则是可见的。每一个状态在可能输出的符号上都有一概率分布。因此输出符号的序列能够透露出状态序列的一些信息。

隐马尔科夫模型是关于时序的概率模型，描述一个由隐藏的马尔科夫链随机生成不可观测的状态随机序列，再由各个状态生成一个可观测的观测随机序列的过程。

1.4 隐马尔科夫模型参数的确定

1.4.1 初始概率分布
$\pi$

$i_1$
可能是状态1，状态2 … 状态n，于是
$i_1$
就有个N点分布：

$i_1$	状态1	状态2	…	状态n
概率	$P_1$	$P_2$	..	$P_n$

即：
$i_1$
对应个n维的向量。

上面这个n维的向量就是初始概率分布，记做π。

1.4.2 状态转移矩阵A

因为
$i_2$
和
$i_1$
不独立，所以
$i_2$
是状态1的概率有：
$i_1$
是状态1时
$i_2$
是状态1，
$i_1$
是状态2时
$i_2$
是状态1,…,
$i_1$
是状态n时
$i_2$
是状态1，如下表

$i_2$ \ $i_1$	状态1	状态2	…	状态n
状态1	P11	P12	…	P1n
状态2	P21	P22	…	P2n
…	…	…	…	…
状态n	Pn1	Pn2	…	Pnn

即：
$i_1$
->
$i_2$
对应n*n的矩阵。

同理：
$i_n$
->
$i_{n+1}$
对应个n*n的矩阵。

上面这些n*n的矩阵被称为状态转移矩阵，用An*n表示。

当然了，真要说的话，
$i_n$
->
$i_{n+1}$
的状态转移矩阵一定都不一样，但在实际应用中一般将这些状态转移矩阵定为同一个，即：只有一个状态转移矩阵。

1.4.3 观测矩阵B

如果对于
$i_n$
有：状态1, 状态2, …, 状态n，那
$i_n$
的每一个状态都会从下面的m个观测中产生一个：观测1, 观测2, …, 观测m，所以有如下矩阵：

$i_n$ \ $O_m$	观测1	观测2	…	观测m
状态1	P11	P12	…	P1m
状态2	P21	P22	…	P2m
…	…	…	…	…
状态n	Pn1	Pn2	…	Pnm

这可以用一个n*m的矩阵表示，也就是观测矩阵，记做Bn*m。

由于HMM用上面的π，A，B就可以描述了，于是我们就可以说：HMM由初始概率分布π、状态转移概率分布A以及观测概率分布B确定，为了方便表达，把A, B, π 用 λ 表示，即：

λ = (A, B, π)

2 隐马尔科夫模型

隐马尔科夫模型是一个生成模型，也就意味着一旦掌握了其底层结构，就可以产生数据。

HMM模型一共有三个经典的问题需要解决：

1）评估观察序列概率。即给定模型
$\lambda (A,B,\pi)$
和观测序列
$O(O_1,O_2,O_3...O_T)$
，计算在模型λ下观测序列𝑂出现的概率
$P(O|\lambda)$
。这个问题的求解需要用到前向后向算法，我们在这个系列的第二篇会详细讲解。这个问题是HMM模型三个问题中最简单的。

2）模型参数学习问题。即给定观测序列
$O(O_1,O_2,O_3...O_T)$
，估计模型
$\lambda (A,B,\pi)$
的参数，使该模型下观测序列的条件概率
$P(O|\lambda)$
最大。这个问题的求解需要用到基于EM算法的鲍姆-韦尔奇算法，我们在这个系列的第三篇会详细讲解。这个问题是HMM模型三个问题中最复杂的。

3）预测问题，也称为解码问题。即给定模型
$\lambda (A,B,\pi)$
和观测序列
$O(O_1,O_2,O_3...O_T)$
，求对给定观测序列条件概率
$P(I|O)$
最大的状态序列
$I(i_1,i_2,i_3...i_T)$
。即给定观测序列条件下，最可能出现的对应的状态序列，这个问题的求解需要用到基于动态规划的维特比算法，我们在这个系列的第四篇会详细讲解。这个问题是HMM模型三个问题中复杂度居中的算法。

2.1 概率计算问题

穷举算法，有N中状态，经过T时间，则有
$N^{T}$
种可能(因为每一种状态都可能观测到
$O_{t}$
)，计算量巨大。但是很多路径是重复，基于动态规划的知识，我们可以重复利用很多节点的计算结果，所以出来了前向算法和后向算法。

2.1.1 前向概率

给定隐马尔可夫模型
$\lambda (A,B,\pi)$
，定义到时刻t为止的观测序列为
$O(O_1,O_2,O_3...O_T)$
，且状态为

的概率为前向概率，记作：

$a_t(i) = P(O_1,O_2,O_3...O_t,i_t=q_i|\lambda)$

可以递推地求得前向概率
$a_t(i)$
及观测序列概率
$P(O|\lambda)$
。

定义解析：由于每个状态生成一个观测变量，那么在t时刻就会生成t个观测变量，在t时刻处于状态i的概率就是前向概率。

2.1.1 前向算法

算法的目的：根据

初始参数

和

观测序列

求出观测序列概率

前向概率

的定义是：当第t个时刻的状态为i时，前面的时刻分别观测到
$O_1,O_2,O_3...O_T$
的概率，即：

$\alpha_i(t) = P(O_1,O_2,O_3...O_t|q_t=i,\lambda)$

从上图可以看出，我们可以基于时刻t时各个隐藏状态的前向概率，再乘以对应的状态转移概率，即
$a_t(j)a_{ji}$
就是在时刻t观测到
$O(O_1,O_2,O_3...O_T)$
，并且时刻t隐藏状态
$q_j$
, 时刻t+1隐藏状态
$q_i$
的概率。如果将像上面所有的线对应的概率求和，即
$\sum_{j=1}^{N}a_t(j)a_{ji}$
就是在时刻t观测到
$O(O_1,O_2,O_3...O_T)$
，并且时刻t+1隐藏状态
$q_i$
的概率。继续一步，由于观测状态
$O_{t+1}$
只依赖于t+1时刻隐藏状态
$q_i$
, 这样
$\left [ \sum_{j=1}^{N}a_t(j)a_{ji} \right ]b_i(O_{t+1})$
就是在在时刻t+1观测到
$O(O_1,O_2,O_3...O_T,O_{T+1})$
，并且时刻t+1隐藏状态
$q_i$
的概率。而这个概率，恰恰就是时刻t+1对应的隐藏状态i的前向概率，这样我们得到了前向概率的递推关系式如下：

$a_{t+1}(i) = \left [ \sum_{j=1}^{N} a_t(j)a_{ji}\right ]b_i(o_{t+1})$

前向算法步骤：

输入：HMM模型
$\lambda (A,B,\pi)$
，观测序列
$O(O_1,O_2,O_3...O_T)$

输出：观测序列概率𝑃(𝑂|𝜆)

1) 计算时刻1的各个隐藏状态前向概率：

$\alpha_1(i) = \pi_i b_i(O_1),i=1,2...N$

2) 递推时刻2,3,…𝑇2,3,…T时刻的前向概率：

$a_{t+1}(i) = \left [ \sum_{j=1}^{N} a_t(j)a_{ji} \right ]b_i(o_{t+1}),i=1,2...N$

3) 计算最终结果：

$P(O|\lambda) = \sum_{i=1}^{N}a_T(i)$

PS：这里的
$a_i(t)$
中i表示第i号状态，t表示第t时刻。有的教程中会把i和t位置调换一下，变成
$a_t(i)$
，其实都一样。

代码实现：

def forward(obs_seq):
    """前向算法"""
    N = A.shape[0]
    T = len(obs_seq)
    
    # F保存前向概率矩阵
    F = np.zeros((N,T))
    F[:,0] = pi * B[:, obs_seq[0]]  # 初始状态输出序列元素0概率

    for t in range(1, T):
        for n in range(N):
            # t时刻各个状态，是t-1时刻各个状态转移过来的
            # A[:,n]表示各个状态转移到状态n
            # F[:,t-1]表示从初始时刻到t-1处于该状态的概率（不准确的理解）
            # B[n, obs_seq[t]]表示n状态输出obs_seq[t]观察值的概率
            # 利用点乘 累加 所有状态
            F[n,t] = np.dot(F[:,t-1], (A[:,n])) * B[n, obs_seq[t]]

    return F

2.1.2 后向算法

后向算法和前向算法非常类似，都是用的动态规划，唯一的区别是选择的局部状态不同，后向算法用的是“后向概率”。

后向概率

的定义是：当第t个时刻的状态为i时，后面的时刻分别观测到
$O_{t+1},O_{t+2},O_{t+3}...O_T$
的概率，即：

$\beta_i(t) = P(O_{t+1},O_{t+2},O_{t+3.}..O_T|q_t=i,\lambda)$

后向概率的动态规划递推公式和前向概率是相反的。现在我们假设我们已经找到了在时刻t+1时各个隐藏状态的后向概率
$\beta_{t+1}(j)$
，现在我们需要递推出时刻t时各个隐藏状态的后向概率。如下图，我们可以计算出观测状态的序列为
$O_{t+1},O_{t+2},O_{t+3}...O_T$
， t时隐藏状态
$q_i$
, 时刻t+1隐藏状态为
$q_j$
的概率为
$a_{ij}\beta_{t+1}(j)$
, 接着可以得到观测状态的序列为
$O_{t+1},O_{t+2},O_{t+3}...O_T$
， t时隐藏状态为
$q_i$
, 时刻t+1隐藏状态为
$q_j$
的概率为
$a{ij}b{j}(O_{t+1})\beta_{t+1}(j)$
, 则把下面所有线对应的概率加起来，我们可以得到观测状态的序列为
$O_{t+1},O_{t+2},O_{t+3}...O_T$
， t时隐藏状态为
$q_i$
的概率为
$\sum _{j=1}^{N}a_{ij}b_j(O_{t+1})\beta_{t+1}(j)$
，这个概率即为时刻t的后向概率。

这样我们得到了后向概率的递推关系式如下：

$\beta_t (i)=\sum_{j=1}^{N}a_{ij}b_j(O_{t+1})\beta_{t+1}(j)$

后向算法步骤：

代码实现：


def backward(obs_seq):
    """后向算法"""
    N = A.shape[0]
    T = len(obs_seq)
    # X保存后向概率矩阵
    X = np.zeros((N,T))

    #t=T，T+1已经不观察了，后向概率都为1
    X[:,-1:] = 1

    for t in reversed(range(T-1)):
        for n in range(N):
            #t时刻转移概率*(t+1)时刻的后向概率
            X[n,t] = np.sum(X[:,t+1] * A[n,:] * B[:, obs_seq[t+1]])

    return X

2.3 学习问题

Baum-Welch算法也就是EM算法，己知观测序列
$O(O_1,O_2,O_3...O_T)$
,估计模型参数
$\lambda (A,B,\pi)$
，使得在该模型下观测序列概率
$P(O|\lambda)$
最大。即用极大似然估计的方法估计参数。

2.4 预测问题（

viterbi算法

）

参考视频：

https://www.youtube.com/watch?v=RKDIpPyeTTk

参考文章：

如何通俗地讲解 viterbi 算法？ – 知乎

删掉了不可能是答案的路径，就是viterbi算法（维特比算法）的重点，因为后面我们再也不用考虑这些被删掉的路径了

代码实现：

    def viterbi(self, obs_seq):
        """
        Returns
        -------
        V : numpy.ndarray
            V [s][t] = Maximum probability of an observation sequence ending
                       at time 't' with final state 's'
            观察序列
        prev : numpy.ndarray
            Contains a pointer to the previous state at t-1 that maximizes
            V[state][t]
        """
        N = self.A.shape[0]
        T = len(obs_seq)
        prev = np.zeros((T - 1, N), dtype=int)

        # DP matrix containing max likelihood of state at a given time
        # 隐状态个数, 观测序列长度
        V = np.zeros((N, T))

        # 0时刻观测状态 =  状态初始概率 * 每个状态输出观测概率
        V[:,0] = self.pi * self.B[:,obs_seq[0]]

        for t in range(1, T):
            for n in range(N):
                # 上一时刻状态概率 * 状态转移概率(每一个状态转移到状态n) * 观察概率
                seq_probs = V[:,t-1] * self.A[:,n] * self.B[n, obs_seq[t]]
                # prev用于记录最大概率是从哪个状态转移过来的 -- >记录转移路径
                prev[t-1,n] = np.argmax(seq_probs)

                # 这里找出概率当前状态最大的概率,实质就是删除不可能的路径 --> 记录最大概率
                V[n,t] = np.max(seq_probs)

        return V, prev

3 代码实现

完整实现

import numpy as np

class HMM:
    """
    Order 1 Hidden Markov Model

    Attributes
    ----------
    A : numpy.ndarray
        State transition probability matrix
    B: numpy.ndarray
        Output emission probability matrix with shape(N, number of output types)
    pi: numpy.ndarray
        Initial state probablity vector

    Common Variables
    ----------------
    obs_seq : list of int
        list of observations (represented as ints corresponding to output
        indexes in B) in order of appearance
    T : int
        number of observations in an observation sequence
    N : int
        number of states
    """

    def __init__(self, A, B, pi):
        self.A = A
        self.B = B
        self.pi = pi

    def _forward(self, obs_seq):
        N = self.A.shape[0]
        T = len(obs_seq)

        F = np.zeros((N,T))
        F[:,0] = self.pi * self.B[:, obs_seq[0]]

        for t in range(1, T):
            for n in range(N):
                F[n,t] = np.dot(F[:,t-1], (self.A[:,n])) * self.B[n, obs_seq[t]]

        return F

    def _backward(self, obs_seq):
        N = self.A.shape[0]
        T = len(obs_seq)

        X = np.zeros((N,T))
        X[:,-1:] = 1

        for t in reversed(range(T-1)):
            for n in range(N):
                X[n,t] = np.sum(X[:,t+1] * self.A[n,:] * self.B[:, obs_seq[t+1]])

        return X

    def observation_prob(self, obs_seq):
        """ P( entire observation sequence | A, B, pi ) """
        return np.sum(self._forward(obs_seq)[:,-1])

    def state_path(self, obs_seq):
        """
        Returns
        -------
        V[last_state, -1] : float
            Probability of the optimal state path
        path : list(int)
            Optimal state path for the observation sequence
        """
        V, prev = self.viterbi(obs_seq)

        # Build state path with greatest probability
        last_state = np.argmax(V[:,-1])
        path = list(self.build_viterbi_path(prev, last_state))

        return V[last_state,-1], reversed(path)

    def viterbi(self, obs_seq):
        """
        Returns
        -------
        V : numpy.ndarray
            V [s][t] = Maximum probability of an observation sequence ending
                       at time 't' with final state 's'
        prev : numpy.ndarray
            Contains a pointer to the previous state at t-1 that maximizes
            V[state][t]
        """
        N = self.A.shape[0]
        T = len(obs_seq)
        prev = np.zeros((T - 1, N), dtype=int)

        # DP matrix containing max likelihood of state at a given time
        V = np.zeros((N, T))
        V[:,0] = self.pi * self.B[:,obs_seq[0]]

        for t in range(1, T):
            for n in range(N):
                seq_probs = V[:,t-1] * self.A[:,n] * self.B[n, obs_seq[t]]
                prev[t-1,n] = np.argmax(seq_probs)
                V[n,t] = np.max(seq_probs)

        return V, prev

    def build_viterbi_path(self, prev, last_state):
        """Returns a state path ending in last_state in reverse order."""
        T = len(prev)
        yield(last_state)
        for i in range(T-1, -1, -1):
            yield(prev[i, last_state])
            last_state = prev[i, last_state]

    def baum_welch_train(self, obs_seq):
        N = self.A.shape[0]
        T = len(obs_seq)

        forw = self._forward(obs_seq)
        back = self._backward(obs_seq)

        # P( entire observation sequence | A, B, pi )
        obs_prob = np.sum(forw[:,-1])
        if obs_prob <= 0:
            raise ValueError("P(O | lambda) = 0. Cannot optimize!")

        xi = np.zeros((T-1, N, N))
        for t in range(xi.shape[0]):
            xi[t,:,:] = self.A * forw[:,[t]] * self.B[:,obs_seq[t+1]] * back[:, t+1] / obs_prob

        gamma = forw * back / obs_prob

        # Gamma sum excluding last column
        gamma_sum_A = np.sum(gamma[:,:-1], axis=1, keepdims=True)
        # Vector of binary values indicating whether a row in gamma_sum is 0.
        # If a gamma_sum row is 0, save old rows on update
        rows_to_keep_A =  (gamma_sum_A == 0)
        # Convert all 0s to 1s to avoid division by zero
        gamma_sum_A[gamma_sum_A == 0] = 1.
        next_A = np.sum(xi, axis=0) / gamma_sum_A


        gamma_sum_B = np.sum(gamma, axis=1, keepdims=True)
        rows_to_keep_B = (gamma_sum_B == 0)
        gamma_sum_B[gamma_sum_B == 0] = 1.

        obs_mat = np.zeros((T, self.B.shape[1]))
        obs_mat[range(T),obs_seq] = 1
        next_B = np.dot(gamma, obs_mat) / gamma_sum_B

        # Update model
        self.A = self.A * rows_to_keep_A + next_A
        self.B = self.B * rows_to_keep_B + next_B
        self.pi = gamma[:,0] / np.sum(gamma[:,0])

参考：

隐马尔可夫(HMM)、前/后向算法、Viterbi算法

【火炉炼AI】机器学习044-创建隐马尔科夫模型

隐马尔可夫模型HMM及Python实现

隐马尔可夫模型之Baum-Welch算法详解

HMM超详细讲解+代码

原文链接：https://blog.csdn.net/idwtwt/article/details/105430272

1 基本概念

1.1 马尔科夫链（维基百科）

1.2 马尔科夫过程——离散的叫马尔科夫链

1.3 隐马尔科夫模型定义

1.4 隐马尔科夫模型参数的确定

1.4.1 初始概率分布

1.4.2 状态转移矩阵A

1.4.3 观测矩阵B

2 隐马尔科夫模型

2.1 概率计算问题

2.1.1 前向概率

2.1.1 前向算法

2.1.2 后向算法

2.3 学习问题

2.4 预测问题（ viterbi算法 ）

3 代码实现

你可能也喜欢

1.4.1 初始概率分布
$\pi$

2.4 预测问题（

viterbi算法

）