文章目录
逻辑代数的基本运算规则 🎈
代入规则
-
任何一个含有变量A的等式,如果将所有出现变量A的地方都代换成一个逻辑函数式F,则代换后的等式仍然成立。
-
代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围
反演规则
-
和概率论汇总的对偶向对应
-
对于任意逻辑函数表达式F,若将F中所有
-
运算符
-
常量
-
变量
-
作如下变换,得到的新函数式F,称为原函数F的
反函数
-
⋅
+
0
1
原变量
反变量
↓
↓
↓
↓
↓
↓
+
⋅
1
0
反变量
原变量
\begin{array}{cccccc} \cdot & + & 0 & 1 & \text { 原变量 } & \text { 反变量 } \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ + & \cdot & 1 & 0 & \text { 反变量 } & \text { 原变量 } \end{array}
⋅
↓
+
+
↓
⋅
0
↓
1
1
↓
0
原变量
↓
反变量
反变量
↓
原变量
-
′⋅
′
↔
′
+
′
‘\cdot’\leftrightarrow{‘+’}
′
⋅
′
↔
′
+
′
-
′⋅
′
‘\cdot’
′
⋅
′
可能是隐含而不显式写出,需要换原出来并转换为’+’
-
-
Va
r
↔
V
a
r
‾
Var\leftrightarrow{\overline{Var}}
V
a
r
↔
V
a
r
-
Co
m
p
l
e
x
V
a
r
‾
↔
C
o
m
p
l
e
x
V
a
r
‾
\overline{ComplexVar}\leftrightarrow{\overline{ComplexVar}}
C
o
m
p
l
e
x
V
a
r
↔
C
o
m
p
l
e
x
V
a
r
-
意思是说,单变量(简单变量才需要取
非号
’
‾\overline{\quad}
‘) - 符合变量(表达式的非号保留!)
-
-
0↔
1
0\leftrightarrow{1}
0
↔
1
-
对称地,反之也成立
-
运用反演规则时应注意两点：
-
① 不能破坏原式运算的优先顺序
- 先算括号里和非号下的,然后按“先与后或”的原则
-
运用的时候(注意
加括号
)
-
②🎈
不属于单变量
上的
非号应保留不变
。
-
① 不能破坏原式运算的优先顺序
例
-
L=
A
‾
B
‾
+
C
D
+
0
L
‾
=
(
A
+
B
)
⋅
(
C
‾
+
D
‾
)
⋅
1
若
F
=
A
B
+
C
‾
⋅
D
+
A
C
,
则
F
‾
=
[
(
A
‾
+
B
‾
)
⋅
C
‾
‾
+
D
‾
]
(
A
‾
+
C
‾
)
;
若
F
=
A
+
B
‾
+
C
+
D
‾
+
E
‾
‾
,
则
F
‾
=
A
‾
⋅
B
⋅
C
‾
⋅
D
⋅
E
‾
‾
‾
。
L=\overline{A}\ \overline{B}+CD+0 \\ \overline{L}=(A+B)\cdot({\overline{C}+\overline{D}})\cdot{1} \\ 若 F=\overline{A B+C} \cdot D+A C , 则 \overline{F}=[(\overline{\overline{A}+\overline{B}) \cdot \overline{C}} +\overline{D}](\overline{A}+\overline{C}) ; \\ 若 F=A+\overline{B}+\overline{C+\overline{\overline{D}+E}} , 则 \overline{F}=\overline{A} \cdot B \cdot \overline{\overline{C} \cdot \overline{D \cdot \overline{E}}} 。
L
=
A
B
+
C
D
+
0
L
=
(
A
+
B
)
⋅
(
C
+
D
)
⋅
1
若
F
=
A
B
+
C
⋅
D
+
A
C
,
则
F
=
[
(
A
+
B
)
⋅
C
+
D
]
(
A
+
C
)
;
若
F
=
A
+
B
+
C
+
D
+
E
,
则
F
=
A
⋅
B
⋅
C
⋅
D
⋅
E
。
对偶规则
-
这里的对偶规则 和普通意义(命题逻辑/集合论)的对偶规则有些不同
-
数字逻辑对偶规则比
反演
的操作步骤更少一些 -
对于任意逻辑函数表达式F,若将F中所有
运算符,常量作
做如下变换,-
得到的新函数式
F∗
F^*
F
∗
,称为原函数F的对偶式
-
得到的新函数式
⋅
+
0
1
↓
↓
↓
↓
+
⋅
1
0
\begin{array}{cccccc} \cdot & + & 0 & 1 & \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ + & \cdot & 1 & 0 & \end{array}
⋅
↓
+
+
↓
⋅
0
↓
1
1
↓
0
-
简单一句话:
与/或
符号对换(取代)-
包括隐藏的
与
号 - 依然注意加括号(原则是转换前,就可以将括号划分出来)
-
包括隐藏的
-
运用对偶规则时应注意：
- ① 保持原式运算的优先次序；
-
② 原式中的
长短
非号
不变
(所有非号不变)； - ③ 单变量的对偶式为自己。
例
-
若F
=
A
B
‾
+
C
D
‾
则
F
∗
=
(
A
+
B
‾
)
(
C
+
D
‾
)
若 \mathbf{F}=\mathbf{A} \overline{\mathbf{B}}+\mathbf{C} \overline{\mathbf{D}} \\则 \mathbf{F}^{*}=(\mathbf{A}+\overline{\mathbf{B}})(\mathbf{C}+\overline{\mathbf{D}})
若
F
=
A
B
+
C
D
则
F
∗
=
(
A
+
B
)
(
C
+
D
)
-
若F
=
A
+
B
‾
+
C
+
D
+
E
‾
‾
‾
则
F
∗
=
A
B
C
D
E
‾
‾
若 \mathbf{F}=\overline{\mathbf{A}+\overline{\mathbf{B}}+\overline{\mathbf{C}+\mathbf{D}+\overline{\mathbf{E}}}} \quad \\则 \mathbf{F}^{*}=\mathbf{A} \overline{\mathbf{B} \mathbf{C D} \overline{\mathbf{E}}}
若
F
=
A
+
B
+
C
+
D
+
E
则
F
∗
=
A
B
C
D
E
-
证明加对乘的分配律:
已知
A
(
B
+
C
)
=
A
B
+
A
C
对偶关系
→
A
+
B
C
=
(
A
+
B
)
(
A
+
C
)
已知 \mathbf{A}(\mathrm{B}+\mathbf{C}) =\mathbf{A B}+\mathbf{A C} \quad \overrightarrow{\text { 对偶关系 }} \quad \mathbf{A}+\mathbf{B C} \\=(\mathbf{A}+\mathbf{B})(\mathrm{A}+\mathbf{C})
已
知
A
(
B
+
C
)
=
A
B
+
A
C
对偶关系
A
+
B
C
=
(
A
+
B
)
(
A
+
C
)
小结🎈
- 运用对偶律和反演律时,首先划分括号
- 在执行符号替换规则
对偶律(DeMorgan律)🎈
-
形式逻辑中此定律表达形式
-
-
德摩根定律
（英语：De Morgan’s laws,或称
笛摩根定理
,
对偶律
） -
¬(
p
∧
q
)
≡
(
¬
p
)
∨
(
¬
q
)
¬
(
p
∨
q
)
≡
(
¬
p
)
∧
(
¬
q
)
\begin{array}{l} \neg(p \wedge q) \equiv(\neg p) \vee(\neg q) \\ \neg(p \vee q) \equiv(\neg p) \wedge(\neg q) \end{array}
¬
(
p
∧
q
)
≡
(
¬
p
)
∨
(
¬
q
)
¬
(
p
∨
q
)
≡
(
¬
p
)
∧
(
¬
q
)
- 非 (p 且 q) 等价于 (非 p ) 或 (非 q )
- 非 (p 或 q) 等价于 (非 p ) 且 (非 q)
-
他的发现影响了
乔治·布尔
从事的逻辑问题
代数
解法的
研究
,这巩固了德摩根作为该规律的发现者的地位,
亚里士多德
亦曾注意到类似的现象,且这也为
古希腊
与
中世纪
的
逻辑学家
熟知
-
-
在集合论/概率论 中：
-
(A
∩
B
)
C
=
A
C
∪
B
C
(
A
∪
B
)
C
=
A
C
∩
B
C
\begin{array}{l} (A \cap B)^{C}=A^{C} \cup B^{C} \\ (A \cup B)^{C}=A^{C} \cap B^{C} \end{array}
(
A
∩
B
)
C
=
A
C
∪
B
C
(
A
∪
B
)
C
=
A
C
∩
B
C
-
FC
表
示
对
逻
辑
表
达
式
F
取
反
,
相
当
于
F
C
=
F
‾
F^C表示对逻辑表达式F取反,相当于F^C=\overline{F}
F
C
表
示
对
逻
辑
表
达
式
F
取
反
,
相
当
于
F
C
=
F
-
运用公式的时候,有三层变化:
-
变量取反(A,B
↔A
c
,
B
c
\leftrightarrow{A^c,B^c}
↔
A
c
,
B
c
) -
交/并号替换(
∪↔
∩
\cup\leftrightarrow {\cap}
∪
↔
∩
) -
表达式整体取反(区非)号(
F↔
F
c
F\leftrightarrow{F^c}
F
↔
F
c
)
-
变量取反(A,B
-
-
利用对偶律证明某些代数公式(等式)
-
从对偶律的定义可以知道
-
假设两个逻辑代数式
-
F1
,
F
2
的
对
偶
式
分
别
为
F
1
∗
,
F
2
∗
F_1,F_2的对偶式分别为F_1^{*},F_2^{*}
F
1
,
F
2
的
对
偶
式
分
别
为
F
1
∗
,
F
2
∗
-
如果
F1
∗
=
F
2
∗
F_1^{*}=F_{2}^{*}
F
1
∗
=
F
2
∗
那么
F1
=
F
2
F_1=F_2
F
1
=
F
2
(互为充要条件)
-
如果
-
并且
F1
∗
,
F
2
∗
F_1^{*},F_{2}^{*}
F
1
∗
,
F
2
∗
形式比较间接,有利于推导/化简,-
那么通过验证
F1
∗
,
F
2
∗
F_1^{*},F_{2}^{*}
F
1
∗
,
F
2
∗
是否相等 -
来验证,
F1
=
F
2
F_1=F_2
F
1
=
F
2
是否成立
-
那么通过验证
-
Note:
-
必须是原式的两个
对偶式之间
比较,不可以是
原式和对偶式
比较!(没有意义)
-
必须是原式的两个
-
-
假设两个逻辑代数式
代数式公式
消去律
A
B
+
A
B
‾
=
A
\mathbf{A B}+\mathbf{A} \overline{\mathbf{B}}=\mathbf{A}
A
B
+
A
B
=
A
吸收律
吸收律1
A
+
A
B
=
A
证
明
:
A
+
A
B
=
A
(
1
+
B
)
=
A
⋅
1
=
A
\mathrm{A}+\mathrm{AB}=\mathrm{A} \\ 证明: \\ \mathbf{A}+\mathbf{A B}=\mathbf{A}(1+\mathrm{B})=\mathbf{A} \cdot \mathbf{1}=\mathbf{A} \\
A
+
A
B
=
A
证
明
:
A
+
A
B
=
A
(
1
+
B
)
=
A
⋅
1
=
A
吸收律2
A
+
A
‾
B
=
A
+
B
证
明
:
A
+
A
‾
B
=
(
A
+
A
‾
)
(
A
+
B
)
根据对偶规则
=
1
⋅
(
A
+
B
)
=
A
+
B
⟶
A
(
A
+
B
)
=
A
B
\mathbf{A}+\overline{\mathbf{A}} \mathbf{B}=\mathrm{A}+\mathrm{B} \\ 证明: \\ \begin{array}{l} \mathbf{A}+\overline{\mathbf{A}} \mathbf{B}=(\mathbf{A}+\overline{\mathbf{A}})(\mathbf{A}+\mathbf{B}) \quad \text { 根据对偶规则 } \\ =\mathbf{1} \cdot(A+B)=A+B \quad \longrightarrow A(A+B)=A B \\ \end{array}
A
+
A
B
=
A
+
B
证
明
:
A
+
A
B
=
(
A
+
A
)
(
A
+
B
)
根据对偶规则
=
1
⋅
(
A
+
B
)
=
A
+
B
⟶
A
(
A
+
B
)
=
A
B
-
记F
1
=
A
+
A
‾
B
F
2
=
A
+
B
F
1
∗
=
A
(
A
‾
+
B
)
=
A
A
‾
+
A
B
=
A
B
F
2
∗
=
A
B
可
见
F
1
∗
=
F
2
∗
=
A
B
∴
F
1
=
F
2
,
即
A
+
A
‾
B
=
A
+
B
记F_1=A+\overline{A}B \\F_2=A+B \\F_1^{*}=A(\overline{A}+B)=A\overline{A}+AB=AB \\F_2^{*}=AB \\可见F_1^*=F_2^*=AB \\\therefore{F_1=F_2},即\mathbf{A}+\overline{\mathbf{A}} \mathbf{B}=\mathrm{A}+\mathrm{B}
记
F
1
=
A
+
A
B
F
2
=
A
+
B
F
1
∗
=
A
(
A
+
B
)
=
A
A
+
A
B
=
A
B
F
2
∗
=
A
B
可
见
F
1
∗
=
F
2
∗
=
A
B
∴
F
1
=
F
2
,
即
A
+
A
B
=
A
+
B
-
事实上,从集合论的角度容易理解吸收律(几何Venn图)
冗余律
A
B
+
A
‾
C
+
B
C
=
A
B
+
A
‾
C
\mathrm{AB}+\overline{\mathrm{A}} \mathbf{C}+\mathrm{BC}=\mathrm{AB}+\overline{\mathrm{A}}C
A
B
+
A
C
+
B
C
=
A
B
+
A
C
-
证明
-
AB
+
A
‾
C
+
B
C
=
A
B
+
A
‾
C
+
(
A
+
A
‾
)
B
C
=
A
B
+
A
‾
C
+
A
B
C
‾
+
A
‾
B
C
根据对偶规则
(
A
+
B
)
(
A
‾
+
C
)
(
B
+
C
)
=
A
B
(
1
+
C
)
+
A
ˉ
C
(
1
+
B
)
=
(
A
+
B
)
(
A
‾
+
C
)
=
A
B
+
A
C
A
B
+
A
‾
C
+
B
C
D
=
A
B
+
A
‾
C
\begin{array}{l} \mathbf{A B}+\overline{\mathbf{A}} \mathbf{C}+\mathbf{B C} \\ \begin{array}{l} =\mathbf{A B}+\overline{\mathbf{A}} \mathbf{C}+(\mathbf{A}+\overline{\mathbf{A}}) \mathbf{B C} \\ =\mathbf{A B}+\overline{\mathbf{A}} \mathbf{C}+\overline{\mathbf{A B C}}+\overline{\mathbf{A}} \mathbf{B C} \end{array} \\ \text { 根据对偶规则 } \quad(\mathrm{A}+\mathbf{B})(\overline{\mathrm{A}}+\mathbf{C})(\mathbf{B}+\mathbf{C}) \\ =A B(1+C)+\bar{A} C(1+B) \\ =(\mathbf{A}+\mathbf{B})(\overline{\mathrm{A}}+\mathrm{C}) \\ =\mathrm{AB}+\mathrm{A} C \\ \mathrm{AB}+\overline{\mathrm{A}} \mathrm{C}+\mathrm{BCD}=\mathrm{AB}+\overline{\mathrm{A}} \mathbf{C} \\ \end{array}
A
B
+
A
C
+
B
C
=
A
B
+
A
C
+
(
A
+
A
)
B
C
=
A
B
+
A
C
+
A
B
C
+
A
B
C
根据对偶规则
(
A
+
B
)
(
A
+
C
)
(
B
+
C
)
=
A
B
(
1
+
C
)
+
A
ˉ
C
(
1
+
B
)
=
(
A
+
B
)
(
A
+
C
)
=
A
B
+
A
C
A
B
+
A
C
+
B
C
D
=
A
B
+
A
C
-
F1
=
A
B
+
A
‾
C
+
B
C
F
2
=
A
B
+
A
‾
C
F
1
∗
=
(
A
+
B
)
(
A
‾
+
C
)
(
B
+
C
)
=
B
C
+
A
C
+
B
A
‾
F
2
∗
=
(
A
+
B
)
(
A
‾
+
C
)
=
A
C
+
B
C
+
B
A
‾
可
见
:
F
1
∗
=
F
2
∗
从
而
F
1
=
F
2
原
等
式
成
立
F_1=AB+\overline{A}C+BC \\ F_2=AB+\overline{A}C \\F_1^{*}=(A+B)(\overline{A}+C) (B+ C)=BC+AC+B\overline{A} \\F_2^{*}=(A+B)(\overline{A}+C)=AC+BC+B\overline{A} \\可见:F_1^{*}=F_2^{*} \\从而F_1=F_2 \\原等式成立
F
1
=
A
B
+
A
C
+
B
C
F
2
=
A
B
+
A
C
F
1
∗
=
(
A
+
B
)
(
A
+
C
)
(
B
+
C
)
=
B
C
+
A
C
+
B
A
F
2
∗
=
(
A
+
B
)
(
A
+
C
)
=
A
C
+
B
C
+
B
A
可
见
:
F
1
∗
=
F
2
∗
从
而
F
1
=
F
2
原
等
式
成
立
-
-
交叉互换律
A
B
+
A
‾
C
=
(
A
+
C
)
(
A
‾
+
B
)
\mathbf{A B}+\overline{\mathrm{A}} \mathbf{C} =(\mathrm{A}+\mathrm{C})(\overline{\mathrm{A}}+\mathrm{B})
A
B
+
A
C
=
(
A
+
C
)
(
A
+
B
)
集合论基础
-
集合
A
,
B
,
若
∀
a
∈
A
,
有
a
∈
B
∴
A
⊆
B
。
则
称
A
是
B
的
子
集
,
亦
称
A
包
含
于
B
,
或
B
包
含
A
,
记
作
A
⊆
B
或
B
⊇
A
,
否
则
称
A
不
是
B
的
子
集
记
作
A
⊈
B
或
B
⊉
A
。
若
A
⊆
B
,
且
A
≠
B
,
则
称
A
是
B
的
真
子
集
,
亦
称
A
真
包
含
于
B
,
或
B
真
包
含
A
,
记
作
A
⫋
B
或
B
⫌
A
(
有
时
也
记
作
A
⊂
B
或
B
⊃
A
)
。
集合 A , B ,若 \forall a \in A ,有 a \in B \therefore A \subseteq B 。 \\则称 A 是 B 的子集,亦称 A 包含于 B ,或 B 包含 A , 记作 A \subseteq B 或 B \supseteq A , \\ 否则称 A 不是 B 的子集 记作 A \nsubseteq B 或 B \nsupseteq A 。 \\若 A \subseteq B ,且 A \neq B , 则称 A 是 B 的真子集,亦称 A 真包含于 B ,或 B 真包含 A , \\记作 A \varsubsetneqq B 或 B \supsetneqq A (有时也记作 A \subset B 或 B \supset A )。
集
合
A
,
B
,
若
∀
a
∈
A
,
有
a
∈
B
∴
A
⊆
B
。
则
称
A
是
B
的
子
集
,
亦
称
A
包
含
于
B
,
或
B
包
含
A
,
记
作
A
⊆
B
或
B
⊇
A
,
否
则
称
A
不
是
B
的
子
集
记
作
A
⊈
B
或
B
⊉
A
。
若
A
⊆
B
,
且
A
=
B
,
则
称
A
是
B
的
真
子
集
,
亦
称
A
真
包
含
于
B
,
或
B
真
包
含
A
,
记
作
A
B
或
B
⫌
A
(
有
时
也
记
作
A
⊂
B
或
B
⊃
A
)
。
-
真包含关系
-
⫋是
集
合
间
的
一
个
严
格
偏
序
关
系
，
因
为
它
有
如
下
性
质
:
反
自
反
性
:
∀
集
合
S
，
S
⫋
S
都
不
成
立
;
非
对
称
性
:
A
⫋
B
⇒
B
⫋
A
不
成
立
；
反
之
亦
然
；
传
递
性
:
A
⫋
B
且
B
⫋
C
⇒
A
⫋
C
;
\\ \varsubsetneqq 是集合间的一个严格偏序关系，因为它有如下性质: \\ 反自反性: \forall 集合 S ， S \varsubsetneqq S 都不成立; \\ 非对称性: A \varsubsetneqq B \Rightarrow B \varsubsetneqq A 不成立；反之亦然； \\ 传递性: A \varsubsetneqq B 且 B \varsubsetneqq C \Rightarrow A \varsubsetneqq C ;
是
集
合
间
的
一
个
严
格
偏
序
关
系
，
因
为
它
有
如
下
性
质
:
反
自
反
性
:
∀
集
合
S
，
S
S
都
不
成
立
;
非
对
称
性
:
A
B
⇒
B
A
不
成
立
；
反
之
亦
然
；
传
递
性
:
A
B
且
B
C
⇒
A
C
;
-
-
包含关系
-
⊆是
集
合
间
的
一
个
非
严
格
偏
序
关
系
，
因
为
它
有
如
下
性
质
：
自
反
性
:
∀
集
合
S
,
S
⊆
S
;
（
任
何
集
合
都
是
其
本
身
的
子
集
)
反
对
称
性
:
A
⊆
B
且
B
⊆
A
⇔
A
=
B
；
（
这
是
证
明
两
集
合
相
等
的
常
用
手
段
之
一
）
传
递
性
:
A
⊆
B
且
B
⊆
C
⇒
A
⊆
C
;
\\ \subseteq 是集合间的一个非严格偏序关系，因为它有如下性质： \\ 自反性: \forall 集合 S, S \subseteq S ; （任何集合都是其本身的子集) \\ 反对称性: A \subseteq B 且 B \subseteq A \Leftrightarrow A=B ； （这是证明两集合相等的常用手段之一） \\ 传递性: A \subseteq B 且 B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq C ;
⊆
是
集
合
间
的
一
个
非
严
格
偏
序
关
系
，
因
为
它
有
如
下
性
质
：
自
反
性
:
∀
集
合
S
,
S
⊆
S
;
（
任
何
集
合
都
是
其
本
身
的
子
集
)
反
对
称
性
:
A
⊆
B
且
B
⊆
A
⇔
A
=
B
；
（
这
是
证
明
两
集
合
相
等
的
常
用
手
段
之
一
）
传
递
性
:
A
⊆
B
且
B
⊆
C
⇒
A
⊆
C
;
-
deMorgan律证明
-
从集合论的角度
-
对
∀A
,
B
,
总
有
:
\forall A,B,总有:
∀
A
,
B
,
总
有
:
-
A⊂
(
A
∪
B
)
A
∪
A
=
A
∩
A
=
A
A\sub{(A\cup{B})} \\A\cup{A}=A\cap{A}=A
A
⊂
(
A
∪
B
)
A
∪
A
=
A
∩
A
=
A
-
设P
1
⊂
Q
1
;
Q
1
=
P
1
∪
M
1
P
2
⊂
Q
2
;
Q
2
=
P
2
∪
M
2
Q
1
Q
2
=
(
P
1
∪
M
1
)
(
P
2
∪
M
2
)
=
P
1
P
2
∪
P
1
M
2
∪
M
1
P
2
∪
M
1
M
2
Q
1
∪
Q
2
=
P
1
∪
M
1
∪
P
2
∪
M
2
显
然
:
P
1
P
2
⊂
Q
1
Q
2
(
P
1
∪
P
2
)
⊂
(
Q
1
∪
Q
2
)
=
P
1
∪
M
1
∪
P
2
∪
M
2
设P_1\sub{Q_1};Q_1=P_1\cup{M_1} \\P_2\sub{Q_2};Q_2=P_2\cup{M_2} \\Q_1Q_2=(P_1\cup{M_1})(P_2\cup{M_2})=P_1P_2\cup P_1M_2\cup M_1P_2\cup M_1M_2 \\Q_1\cup{Q_2}=P_1\cup{M_1}\cup{P_2}\cup{M_2} \\显然: \\P_1P_2\sub{Q_1Q_2} \\ (P_1\cup{P_2})\sub{(Q_1\cup{Q_2})}=P_1\cup{M_1}\cup{P_2}\cup{M_2}
设
P
1
⊂
Q
1
;
Q
1
=
P
1
∪
M
1
P
2
⊂
Q
2
;
Q
2
=
P
2
∪
M
2
Q
1
Q
2
=
(
P
1
∪
M
1
)
(
P
2
∪
M
2
)
=
P
1
P
2
∪
P
1
M
2
∪
M
1
P
2
∪
M
1
M
2
Q
1
∪
Q
2
=
P
1
∪
M
1
∪
P
2
∪
M
2
显
然
:
P
1
P
2
⊂
Q
1
Q
2
(
P
1
∪
P
2
)
⊂
(
Q
1
∪
Q
2
)
=
P
1
∪
M
1
∪
P
2
∪
M
2
-
设A
⊂
B
记
B
=
A
∪
C
;
(
A
C
=
∅
)
全
集
S
=
Ω
A
c
=
S
−
A
B
c
=
S
−
B
=
S
−
(
A
∪
C
)
容
易
知
道
B
c
⊂
A
c
(
当
A
⊂
B
)
从
V
e
n
n
图
几
何
意
义
也
可
以
直
观
理
解
A
=
{
x
∣
x
∈
A
}
B
=
{
x
∣
x
∈
A
或
x
∈
C
}
A
c
=
{
x
∣
x
∉
A
}
B
c
=
{
x
∣
x
∉
A
且
x
∉
C
}
B
c
的
要
求
苛
刻
,
元
素
空
间
比
A
c
窄
设A\sub{B} \\记B=A\cup C;(AC={\varnothing}) \\全集S=\Omega \\A^c=S-A \\B^c=S-B=S-(A\cup{C}) \\容易知道B^c\sub{A^c}(当A\sub{B}) \\从Venn图几何意义也可以直观理解 \\A=\{x|x\in{A}\} \\B=\{x|x\in{A}或x\in{C}\} \\A^c=\{x|x\notin{A}\} \\B^c=\{x|x\notin{A}且x\notin{C}\} \\B^c的要求苛刻,元素空间比A^c窄
设
A
⊂
B
记
B
=
A
∪
C
;
(
A
C
=
∅
)
全
集
S
=
Ω
A
c
=
S
−
A
B
c
=
S
−
B
=
S
−
(
A
∪
C
)
容
易
知
道
B
c
⊂
A
c
(
当
A
⊂
B
)
从
V
e
n
n
图
几
何
意
义
也
可
以
直
观
理
解
A
=
{
x
∣
x
∈
A
}
B
=
{
x
∣
x
∈
A
或
x
∈
C
}
A
c
=
{
x
∣
x
∈
/
A
}
B
c
=
{
x
∣
x
∈
/
A
且
x
∈
/
C
}
B
c
的
要
求
苛
刻
,
元
素
空
间
比
A
c
窄
-
AB
⊂
A
,
B
⊂
A
∪
B
(
A
∪
B
)
c
⊂
A
c
,
B
c
⊂
(
A
B
)
c
A{B}\sub{A},B\sub{A\cup{B}} \\ (A\cup{B})^c\sub{A^c,B^c}\sub{(AB)^c}
A
B
⊂
A
,
B
⊂
A
∪
B
(
A
∪
B
)
c
⊂
A
c
,
B
c
⊂
(
A
B
)
c
-
(A
∪
B
)
c
⊂
A
c
B
c
,
(
A
c
∪
B
c
)
⊂
(
A
B
)
c
(T1)
(A\cup{B})^c\sub{A^cB^c},(A^c\cup{B^c})\sub{(AB)}^c\tag{T1}
(
A
∪
B
)
c
⊂
A
c
B
c
,
(
A
c
∪
B
c
)
⊂
(
A
B
)
c
(
T
1
)
-
-
类似地有(对称地/不失一般性的,代入
A:
A
c
,
B
:
B
c
A:A^c,B:B^c
A
:
A
c
,
B
:
B
c
)-
(A
c
∪
B
c
)
c
⊂
A
B
,
(
A
∪
B
)
⊂
(
A
c
B
c
)
c
(A^c\cup{B^c})^c\sub{AB},(A\cup{B})\sub{(A^cB^c)}^c
(
A
c
∪
B
c
)
c
⊂
A
B
,
(
A
∪
B
)
⊂
(
A
c
B
c
)
c
-
再次利用取反规律:
Ac
B
c
⊂
(
A
B
)
c
,
(
A
∪
B
)
c
⊂
(
A
c
∪
B
c
)
(T2)
{A^cB^c}\sub{
{(AB)^c},(A\cup{B})^c}\sub{(A^c\cup{B^c})}\tag{T2}
A
c
B
c
⊂
(
A
B
)
c
,
(
A
∪
B
)
c
⊂
(
A
c
∪
B
c
)
(
T
2
)
-
-
比较
T1
,
T
2
T_1,T_2
T
1
,
T
2
(得到两组利用对称性夹逼证明集合相等)
(A
∪
B
)
c
⊂
A
c
B
c
⊂
(
A
∪
B
)
c
(
A
c
∪
B
c
)
⊂
(
A
B
)
c
⊂
(
A
c
∪
B
c
)
即
(
A
∪
B
)
c
=
A
c
B
c
或
A
c
∪
B
c
=
(
A
B
)
c
(A\cup{B})^c\sub{A^cB^c}\sub{(A\cup{B})^c} \\ (A^c\cup{B^c})\sub{(AB)^c}\sub{(A^c\cup{B^c})} \\即 \\(A\cup{B})^c=A^cB^c \\或 \\A^c\cup{B^c}=(AB)^c
(
A
∪
B
)
c
⊂
A
c
B
c
⊂
(
A
∪
B
)
c
(
A
c
∪
B
c
)
⊂
(
A
B
)
c
⊂
(
A
c
∪
B
c
)
即
(
A
∪
B
)
c
=
A
c
B
c
或
A
c
∪
B
c
=
(
A
B
)
c
化简逻辑函数
代数法简化逻辑函数
-
运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简，常用方法有
- 合并项法
- 吸收法、
- 消去法、
- 配项法
- …
例
1) 合并项法
-
利用
公
式
A
B
+
A
B
=
B
、
1
+
A
=
1
、
A
+
A
ˉ
=
1
将
两
项
合
并
为
一
项
。
【
例
】
化
简
A
(
B
C
+
B
ˉ
C
ˉ
)
+
A
(
B
C
ˉ
+
B
ˉ
C
)
=
A
B
C
+
A
B
ˉ
C
ˉ
+
A
B
C
ˉ
+
A
B
ˉ
C
=
A
B
+
A
B
ˉ
=
A
利用公式 \\\boldsymbol{A B}+\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B} 、 \\1+\boldsymbol{A}=1 、 A+\bar{A}=1 将两项合并为一项。 \\ 【例】化简 A(B C+\bar{B} \bar{C})+A(B \bar{C}+\bar{B} C) \\= A B C+A \bar{B} \bar{C}+A B \bar{C}+A \bar{B} C=A B+A \bar{B}=A
利
用
公
式
A
B
+
A
B
=
B
、
1
+
A
=
1
、
A
+
A
ˉ
=
1
将
两
项
合
并
为
一
项
。
【
例
】
化
简
A
(
B
C
+
B
ˉ
C
ˉ
)
+
A
(
B
C
ˉ
+
B
ˉ
C
)
=
A
B
C
+
A
B
ˉ
C
ˉ
+
A
B
C
ˉ
+
A
B
ˉ
C
=
A
B
+
A
B
ˉ
=
A
2）吸收法
-
利用
公
式
A
+
A
B
=
A
、
A
B
+
A
ˉ
C
+
B
C
=
A
B
+
A
ˉ
C
吸
收
多
余
项
。
【
例
】
化
简
A
B
‾
+
C
D
+
A
B
D
ˉ
(
E
+
F
)
=
A
B
+
C
D
利用公式 A+A B=A 、 A B+\bar{A} C+B C=A B+\bar{A} C 吸收多余项。 \\ 【例】化简 \underline{A B}+C D+A B \bar{D}(E+F)=A B+C D
利
用
公
式
A
+
A
B
=
A
、
A
B
+
A
ˉ
C
+
B
C
=
A
B
+
A
ˉ
C
吸
收
多
余
项
。
【
例
】
化
简
A
B
+
C
D
+
A
B
D
ˉ
(
E
+
F
)
=
A
B
+
C
D
消去法
-
利用
公
式
A
+
A
ˉ
B
=
A
+
B
消
去
多
余
因
子
。
【
例
】
化
简
A
B
+
A
ˉ
C
‾
+
B
ˉ
C
‾
=
A
B
+
(
A
ˉ
+
B
ˉ
)
C
=
A
B
+
A
B
‾
C
=
A
B
+
C
利用公式 A+\bar{A} B=A+B 消去多余因子。 \\ 【例】化简 A B+\bar{A} \underline{C}+\bar{B} \underline{C}=A B+(\bar{A}+\bar{B}) C \\=A B+\overline{A B} C=A B+C
利
用
公
式
A
+
A
ˉ
B
=
A
+
B
消
去
多
余
因
子
。
【
例
】
化
简
A
B
+
A
ˉ
C
+
B
ˉ
C
=
A
B
+
(
A
ˉ
+
B
ˉ
)
C
=
A
B
+
A
B
C
=
A
B
+
C
配项法
-
利用
公
式
A
+
A
=
1
、
A
⋅
A
=
0
、
A
B
+
A
C
=
A
B
+
A
C
+
B
C
将
某
一
乘
积
项
展
开
为
两
项
,
或
添
加
某
乘
积
项
,
再
与
其
他
乘
积
项
进
行
合
并
化
简
。
【
例
】
化
简
L
=
A
B
+
A
ˉ
C
ˉ
+
B
‾
C
ˉ
=
A
B
+
A
ˉ
C
ˉ
+
(
A
+
A
ˉ
)
B
C
ˉ
=
A
B
‾
+
A
ˉ
‾
C
ˉ
+
A
B
‾
C
ˉ
+
A
ˉ
B
C
ˉ
‾
吸收率 /实际是分配律的逆用)，还是蛮常用
=
(
A
B
+
A
B
C
ˉ
)
+
(
A
ˉ
C
ˉ
+
A
ˉ
C
ˉ
B
)
的
=
A
B
+
A
ˉ
C
ˉ
利用公式 A+A=1 、 A \cdot A=0 、 \\A B+A C=A B+A C+B C \\将某一乘积项 展开为两项, 或添加某乘积项, \\再与其他乘积项进行合并化简。 \\【例】化简 \\ \begin{array}{l} L=A B+\bar{A} \bar{C}+\underline{B} \bar{C} \\=A B+\bar{A} \bar{C}+(A+\bar{A}) B \bar{C} \\ =\underline{A B}+\underline{\bar{A}} \bar{C}+\underline{A B} \bar{C}+\underline{\bar{A} B \bar{C}} \text { 吸收率 /实际是分配律的逆用)，还是蛮常用 } \\ \\=(A B+A B \bar{C})+(\bar{A} \bar{C}+\bar{A} \bar{C} B)^{\text {的 }}=A B+\bar{A} \bar{C} \\ \end{array}
利
用
公
式
A
+
A
=
1
、
A
⋅
A
=
0
、
A
B
+
A
C
=
A
B
+
A
C
+
B
C
将
某
一
乘
积
项
展
开
为
两
项
,
或
添
加
某
乘
积
项
,
再
与
其
他
乘
积
项
进
行
合
并
化
简
。
【
例
】
化
简
L
=
A
B
+
A
ˉ
C
ˉ
+
B
C
ˉ
=
A
B
+
A
ˉ
C
ˉ
+
(
A
+
A
ˉ
)
B
C
ˉ
=
A
B
+
A
ˉ
C
ˉ
+
A
B
C
ˉ
+
A
ˉ
B
C
ˉ
吸收率
/
实际是分配律的逆用
)
，还是蛮常用
=
(
A
B
+
A
B
C
ˉ
)
+
(
A
ˉ
C
ˉ
+
A
ˉ
C
ˉ
B
)
的
=
A
B
+
A
ˉ
C
ˉ
利用冗余律配项的配项法化简逻辑函数
-
AB
+
A
‾
C
+
B
C
=
A
B
+
A
‾
C
\mathrm{AB}+\overline{\mathrm{A}} \mathbf{C}+\mathrm{BC}=\mathrm{AB}+\overline{\mathrm{A}}C
A
B
+
A
C
+
B
C
=
A
B
+
A
C
-
逆用冗余律配项,在利用冗余律化简:
-
AB
‾
+
B
C
‾
+
B
‾
C
+
A
B
‾
=
A
B
‾
+
B
C
‾
+
B
‾
C
+
A
‾
B
+
A
‾
C
其
中
B
C
‾
+
A
‾
B
+
A
‾
C
可
以
消
去
A
‾
B
=
A
B
‾
+
B
C
‾
+
B
‾
C
+
A
‾
C
=
B
C
‾
+
(
A
B
‾
+
B
‾
C
+
A
‾
C
)
消
去
B
‾
C
=
A
B
‾
+
A
‾
C
+
B
C
‾
A\overline{B}+B\overline{C}+\overline{B}C+A\overline{B} \\=A\overline{B}+B\overline{C}+\overline{B}C+\overline{A}B+\overline{A}C \\其中B\overline{C}+\overline{A}B+\overline{A}C可以消去\overline{A}B \\ =A\overline{B}+B\overline{C}+\overline{B}C +\overline{A}C \\=B\overline{C}+(A\overline{B}+\overline{B}C +\overline{A}C) \\消去\overline{B}C \\=A\overline{B}+\overline{A}C+B\overline{C}
A
B
+
B
C
+
B
C
+
A
B
=
A
B
+
B
C
+
B
C
+
A
B
+
A
C
其
中
B
C
+
A
B
+
A
C
可
以
消
去
A
B
=
A
B
+
B
C
+
B
C
+
A
C
=
B
C
+
(
A
B
+
B
C
+
A
C
)
消
去
B
C
=
A
B
+
A
C
+
B
C
-