一、坐标系转换
摄像机标定(Camera calibration)简单来说是从世界坐标系换到图像坐标系的过程，也就是求最终的投影矩阵的过程。
【1】基本的坐标系：
世界坐标系；
相机坐标系；
成像平面坐标系；
像素坐标系
【2】一般来说，标定的过程分为两个部分：
第一步是从世界坐标系转为相机坐标系，这一步是三维点到三维点的转换，包括R，t（相机外参，确定了相机在某个三维空间中的位置和朝向）等参数；
第二步是从相机坐标系转为成像平面坐标系（像素坐标系），这一步是三维点到二维点的转换，包括K（相机内参,是对相机物理特性的近似）等参数；
投影矩阵 ： P=K [ R | t ] 是一个3×4矩阵，混合了内参和外参而成。
二、相机模型
是一个小孔成像的模型，其中：
[1]O点表示camera centre，即相机的中心点，也是相机坐标系的中心点；
[2]z轴表示principal axis，即相机的主轴；
[3]q点所在的平面表示image plane，即相机的像平面，也就是图片坐标系所在的二维平面；
[4]O1点表示principal point，即主点，主轴与像平面相交的点；
[5]O点到O1点的距离，也就是右边图中的f,即相机的焦距；
[6]像平面上的x和y坐标轴是与相机坐标系上的X和Y坐标轴互相平行的；
[7]相机坐标系是以X,Y,Z（大写）三个轴组成的且原点在O点，度量值为米（m）；
[8]像平面坐标系是以x,y（小写）两个轴组成的且原点在O1点，度量值为米（m）；
[9]像素坐标系一般指图片相对坐标系，在这里可以认为和像平面坐标系在一个平面上，不过原点是在图片的角上，而且度量值为像素的个数（pixel）；
2、相机坐标系→成像平面坐标系
[1]以O点为原点建立摄像机坐标系。点Q(X,Y,Z)为摄像机坐标系空间中的一点，该点被光线投影到图像平面上的q(x,y,f)点。
图像平面与光轴z轴垂直，和投影中心距离为f （f是相机的焦距）。按照三角比例关系可以得出：
x/f = X/Z y/f = Y/Z ，即 x = fX/Z y = fY/Z
以上将坐标为(X,Y,Z)的Q点映射到投影平面上坐标为(x,y)的q点的过程称作投影变换。
上述Q点到q点的变换关系用3*3的矩阵可表示为：q = MQ ，其中
最终得出透视投影变换矩阵为：
（1）
M称为摄像机的内参数矩阵，单位均为物理尺寸。
(X,Y,Z)↦(fX/Z,fY/Z)
(X,Y,Z)↦(fX/Z,fY/Z)
通过上面，可以把相机坐标系转换到像图像坐标系的物理单位[即(X,Y,Z)→(x,y)]
3、成像平面坐标系→像素坐标系
通过下面，可以把像平面坐标系物理单位到像素单位[即→(u,v)]
以图像平面的左上角或左下角为原点建立坐标系。假设像平面坐标系原点位于图像左下角，水平向右为u轴，垂直向上为v轴，均以像素为单位。
以图像平面与光轴的交点O1 为原点建立坐标系，水平向右为x轴，垂直向上为y轴。原点O1一般位于图像中心处，O1在以像素为单位的图像坐标系中的坐标为(u0, v0)。
像平面坐标系和像素坐标系虽然在同一个平面上，但是原点并不是同一个。
设每个像素的物理尺寸大小为 dx * dy (mm) ( 由于单个像素点投影在图像平面上是矩形而不是正方形，因此可能dx != dy)，
图像平面上某点在成像平面坐标系中的坐标为(x, y)，在像素坐标系中的坐标为(u, v)，则二者满足如下关系：[即(x, y)→(u, v)]
u = x / dx + u0 v = y / dy + v0
用齐次坐标与矩阵形式表示为：
将等式两边都乘以点Q(X,Y,Z)坐标中的Z可得：
将摄像机坐标系中的（1）式代入上式可得：
则右边第一个矩阵和第二个矩阵的乘积亦为摄像机的内参数矩阵（单位为像素），相乘后可得：
和（1）式相比，此内参数矩阵中f/dx, f/dy, cx/dx+u0, cy/dy+v0 的单位均为像素。令内参数矩阵为K，则上式可写成：
三.相机内参K（与棋盘所在空间的3D几何相关）
在计算机视觉中，摄像机内参数矩阵
其中 f 为摄像机的焦距，单位一般是mm;dx,dy 为像元尺寸;u0,v0 为图像中心。
fx = f/dx, fy = f/dy,分别称为x轴和y轴上的归一化焦距.
为更好的理解，举个实例：
现以NiKon D700相机为例进行求解其内参数矩阵：
就算大家身边没有这款相机也无所谓，可以在网上百度一下，很方便的就知道其一些参数——
焦距 f = 35mm 最高分辨率：4256×2832 传感器尺寸：36.0×23.9 mm
根据以上定义可以有：
u0= 4256/2 = 2128 v0= 2832/2 = 1416 dx = 36.0/4256 dy = 23.9/2832
fx = f/dx = 4137.8 fy = f/dy = 4147.3
分辨率可以从显示分辨率与图像分辨率两个方向来分类。
[1]显示分辨率（屏幕分辨率）是屏幕图像的精密度，是指显示器所能显示的像素有多少。由于屏幕上的点、线和面都是由像素组成的，
显示器可显示的像素越多，画面就越精细，同样的屏幕区域内能显示的信息也越多，所以分辨率是个非常重要的性能指标之一。
可以把整个图像想象成是一个大型的棋盘，而分辨率的表示方式就是所有经线和纬线交叉点的数目。
显示分辨率一定的情况下，显示屏越小图像越清晰，反之，显示屏大小固定时，显示分辨率越高图像越清晰。
[2]图像分辨率则是单位英寸中所包含的像素点数，其定义更趋近于分辨率本身的定义。
四.畸变参数（与点集如何畸变的2D几何相关。）
采用理想针孔模型，由于通过针孔的光线少，摄像机曝光太慢，在实际使用中均采用透镜，可以使图像生成迅速，但代价是引入了畸变。
有两种畸变对投影图像影响较大： 径向畸变和切向畸变。
1、径向畸变
对某些透镜，光线在远离透镜中心的地方比靠近中心的地方更加弯曲，产生“筒形”或“鱼眼”现象，称为径向畸变。
一般来讲，成像仪中心的径向畸变为0，越向边缘移动，畸变越严重。不过径向畸变可以通过下面的泰勒级数展开式来校正：
xcorrected = x(1+k1r2+k2r4+k3r6)
ycorrected = y(1+k1r2+k2r4+k3r6)
这里（x, y）是畸变点在成像仪上的原始位置，r为该点距离成像仪中心的距离，（xcorrected ，ycorrected ）是校正后的新位置。
对于一般的摄像机校正，通常使用泰勒级数中的前两项k1和k2就够了；对畸变很大的摄像机，比如鱼眼透镜，可以使用第三径向畸变项k3
2、切向畸变
当成像仪被粘贴在摄像机的时候，会存在一定的误差，使得图像平面和透镜不完全平行，从而产生切向畸变。也就是说，如果一个矩形被投影到成像仪上时，
可能会变成一个梯形。切向畸变可以通过如下公式来校正：
xcorrected = x + [ 2p1y + p2 (r2 + 2×2) ]
ycorrected = y + [ 2p2x + p1 (r2 + 2y2) ]
这里（x, y）是畸变点在成像仪上的原始位置，r为该点距离成像仪中心的距离，（xcorrected ，ycorrected ）是校正后的新位置。
五.摄像机的外参数
旋转向量（大小为1×3的矢量或旋转矩阵3×3）和平移向量（tx,ty,tz）。
旋转向量:旋转向量是旋转矩阵紧凑的变现形式，旋转向量为1×3的行矢量。
r就是旋转向量，旋转向量的方向是旋转轴 ,旋转向量的模为围绕旋转轴旋转的角度。
通过上面的公式，我们就可以求解出旋转矩阵R。同样的已知旋转矩阵，我们也可以通过下面的公式求解得到旋转向量：
六、OPENCV中的相机标定函数
在OpenCV中我们使用张正友相机标定法通过10幅不同角度的棋盘图像来标定相机获得相机内参和畸变系数。函数为calibrateCamera(objectPoints, imagePoints, imageSize, cameraMatrix, distCoeffs, rvecs, tvecs，flag)
objectPoints: 一组世界坐标系中的3D
imagePoints: 超过10张图片的角点集合
imageSize: 每张图片的大小
cameraMatrix: 内参矩阵
distCoeffs: 畸变矩阵(默认获得5个即便参数k1,k2,p1,p2,k3，可修改)
rvecs: 外参：旋转向量
tvecs: 外参：平移向量
flag: 标定时的一些选项：
CV_CALIB_USE_INTRINSIC_GUESS：使用该参数时，在cameraMatrix矩阵中应该有fx,fy,u0,v0的估计值。否则的话，将初始化(u0,v0）图像的中心点，使用最小二乘估算出fx，fy。
CV_CALIB_FIX_PRINCIPAL_POINT：在进行优化时会固定光轴点。当CV_CALIB_USE_INTRINSIC_GUESS参数被设置，光轴点将保持在中心或者某个输入的值。
CV_CALIB_FIX_ASPECT_RATIO：固定fx/fy的比值，只将fy作为可变量，进行优化计算。当CV_CALIB_USE_INTRINSIC_GUESS没有被设置，fx和fy将会被忽略。只有fx/fy的比值在计算中会被用到。
CV_CALIB_ZERO_TANGENT_DIST：设定切向畸变参数（p1,p2）为零。
CV_CALIB_FIX_K1,…,CV_CALIB_FIX_K6：对应的径向畸变在优化中保持不变。
CV_CALIB_RATIONAL_MODEL：计算k4，k5，k6三个畸变参数。如果没有设置，则只计算其它5个畸变参数。