在本文中，主要是针对线性无约束系统，设计模型预测控制算法。首先给出一个离散的数学模型，再根据模型预测控制“三步走”战略，实现控制器的设计。

“三步走”战略：

预测系统未来动态
求解优化问题
解第一个元素作用于系统

模型：

我们引入离散时间的状态空间模型，如下

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} x(k+1)=Ax(k)+B_uu(k)+B_dd(k)\\ y(k)=Cx(k) \end{array}} \right.$

其中
$x(k)\in\mathbb{R}^{n_x}$
为系统内部状态变量；
$A\in\mathbb{R}^{n_x\times n_x}$
为系统矩阵；
$B_u\in\mathbb{R}^{n_x\times n_u}$
为控制输入矩阵；
$u(k)\in \mathbb{R}^{n_u}$
为控制输入变量；
$B_d\in\mathbb{R}^{n_x\times n_d}$
为外部干扰输入矩阵；
$d(k)\in\mathbb{R}^{n_d}$
为可测外部干扰变量。

预测方程：

将模型改成增量模型

$x(k+1)=Ax(k)+B_uu(k)+B_dd(k)$

$x(k)=Ax(k-1)+B_uu(k-1)+B_dd(k-1)$

相减之后为

$\Delta x(k+1)=A\Delta x(k)+B_u\Delta u(k)+B_d \Delta d(k)$

其中
$\Delta x(k+1)=x(k+1)-x(k)$
，
$\Delta u(k+1)=u(k+1)-u(k)$
和
$\Delta d(k)=d(k)-d(k-1)$
。

另外

$y(k)=Cx(k)$

$x(k)=x(k-1)+\Delta x(k)$

合并之后为

$y(k)=C\Delta x(k)+y_c(k-1)$

以最新测量值为初始条件，预测时域为p，控制时域为m，并且有以下两个假设：

$\Delta u(k+i)=0,i=m,m+1,...,p-1$
$\Delta d(k+i)=0,i=1,2,...,p-1$

则

$\Delta x(k+1|k)=A\Delta x(k)+B_u\Delta u(k)+B_d \Delta d(k)$

其中
$\Delta x(k+1|k)$
表示第k个时刻对第k+1个时刻的状态预测。

$\begin{align*} \Delta x(k+2|k)&=A\Delta x(k+1|k)+B_u\Delta u(k+1)+B_d \Delta d(k+1)\\ &=A^2\Delta x(k)+AB_u\Delta u(k)+B_u\Delta u(k)+AB_d\Delta d(k) \end{align*}$

$\vdots$

$\begin{align*} \Delta x(k+m|k)=A^m\Delta x(k)+A^{m-1}B_u\Delta u(k)+A^{m-2}B_u\Delta u(k+1)+\cdots +B_u\Delta u(k+m-1)+A^{m-1}B_dd(k) \end{align*}$

$\vdots$

$\Delta x(k+p|k)=A^p \Delta x(k)+A^{p-1}B_u\Delta u(k)+A^{p-2}B_u\Delta u(k+1)+\cdots+A^{p-m}B_u\Delta u(k+m-1)+A^{p-1}B_d\Delta d(k)$

进一步输出方程可以为

$\begin{aligned} y(k+1 | k) &=C \Delta x(k+1 | k)+y(k) \\ &=C A \Delta x(k)+C B_{u} \Delta u(k)+C B_{d} \Delta d(k)+y(k) \end{aligned}$

$\begin{align*} y(k+2 | k) =&\left(CA^{2}+C A\right) \Delta x(k)+\left(C A B_{u}+C B_{u}\right) \Delta u(k) \\ &+C B \Delta u(k+1)+\left(C A B_{d}+C B_{d}\right) \Delta d(k)+y(k) \end{align*}$

$\vdots$

$\vdots$
$\begin{aligned} y(k+m | k) =&\sum_{i=1}^{m} C A^{i} \Delta x(k)+\sum_{i=1}^{m} C A^{i-1} B_{u} \Delta u(k) +\sum_{i=1}^{m-1} C A^{i-1} B_{u} \Delta u(k+1)+\cdots \\ &+C B_{u} \Delta u(k+m-1) +\sum_{i=1}^{m} C A^{i-1} B_{d} \Delta d(k)+y(k) \end{aligned}$

$\begin{aligned} y(k+p | k) =&\sum_{i=1}^{p} A^{i} \Delta x(k)+\sum_{i=1}^{p} CA^{i-1} B_{u} \Delta u(k)+\sum_{i=1}^{p-1} CA^{i-1} B_{u} \Delta u(k+1)+\cdots \\ &+\sum_{i=1}^{p-m+1} C A^{i-1} B_{u} \Delta u(k+m-1) +\sum_{i=1}^{p} C A^{i-1} B_{d} \Delta d(k)+y(k) \end{aligned}$

定义以下向量

$\begin{aligned} Y_{p}(k+1 | k) \stackrel{\text { def }}{=}\left[\begin{array}{c} y(k+1 | k) \\ y(k+2 | k) \\ \vdots \\ y(k+p | k) \end{array}\right] \\ \Delta U(k) \stackrel{\text { def }}{=}\left[\begin{array}{c} \Delta u(k) \\ \Delta u(k+1) \\ \vdots \\ \Delta u(k+m-1) \end{array}\right] \end{aligned}$

那么，对系统未来
$p$
步预测的输出

$Y_p(k+1|k)=S_x\Delta x(k)+\mathcal {I} y_c(k)+S_d\Delta d(k)+S_u\Delta U(k)$

其中

$\mathcal{S}_{x}=\left[\begin{array}{c} C A \\ \sum_{i=1}^{2} C A^{i} \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^{p} C A^{i} \end{array}\right] \quad I=\left[\begin{array}{c} I_{n_{e} \times n_{e}} \\ I_{n_{e} \times n_{e}} \\ \vdots \\ I_{n_{e} \times n_{e}} \end{array}\right] \quad S_{d}=\left[\begin{array}{c} C B_{d} \\ \sum_{i=1}^{2} C A^{i-1} B_{d} \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^{p} C A^{i-1} B_{d} \end{array}\right]$

$\mathcal{S}_{u}=\left[\begin{array}{cccccc} C B_{u} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{0} \\ \sum_{i=1}^{2} C A^{i-1} B_{u} & C B_{u} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{0} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{i=1}^{m} C A^{i-1} B_{u} & \sum_{i=1}^{m-1} C A^{i-1} B_{u} & \cdots & \cdots & C B_{u} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{i=1}^{p} C A^{i-1} B_{u} & \sum_{i=1}^{p-1} C A^{i-1} B_{u} & \cdots & \cdots & \sum_{i=1}^{p-m+1} C A^{i-1} B_{u} \end{array}\right]$

优化问题描述：

对于此优化问题考虑两个方面，一是输出跟踪上参考输入；二是尽可能减少控制幅度。目标函数选择如下：

$J=\sum_{i=1}^{p}\left\|\Gamma_{y, i}\left(y(k+i | k)-r(k+i)\right)\right\|^{2}+\sum_{i=1}^{m}\left\|\Gamma_{u, i} \Delta u(k+i-1)\right\|^{2}$

其中
$\Gamma_{y,i}\stackrel{\text { def }}{=}diag(\Gamma_{y_1,i},\Gamma_{y_2,i},\cdots,\Gamma_{y_{n_c},i})$
，
$\Gamma_{u,i}\stackrel{\text { def }}{=}diag(\Gamma_{u_1,i},\Gamma_{u_2,i},\cdots,\Gamma_{u_{n_u},i})$
。
$\Gamma_{y_j,i}$
是第i步预测的第j个输出的误差的加权因子，
$\Gamma_{u_j,i}$
是第i步预测对控制增量第j个分量的加权因子。改写为矩阵形式：

$J(x(k), \Delta U(k), m, p)=\left\|\Gamma_{y}\left(Y_{p}(k+1 | k)-R(k+1)\right)\right\|^{2}+\left\|\Gamma_{u} \Delta U(k)\right\|^{2}$

其中：
$\Gamma_y=diag(\Gamma_{y,1},\Gamma_{y,2},\cdots,\Gamma_{y,p})$
，
$\Gamma_u=diag(\Gamma_{u,1},\Gamma_{u,2},\cdots,\Gamma_{u,p})$
，参考输入序列为

$R(k+1)=\left[\begin{array}{c} r(k+1) \\ r(k+2) \\ \vdots \\ r(k+p) \end{array}\right]$

问题可以被描述为：
$\min _{\Delta U(k)} J(x(k), \Delta U(k), m, p)$

满足动力学模型：
$Y_p(k+1|k)=S_x\Delta x(k)+\mathcal {I} y_c(k)+S_d\Delta d(k)+S_u\Delta U(k)$

定义一个辅助变量

$\rho=\left[\begin{array}{c} \Gamma_{y}\left(Y_{p}(k+1 | k)-R(k+1)\right) \\ \Gamma_{u} \Delta U(k) \end{array}\right]$

将预测方程带入可得

$\begin{aligned} \rho =&\left[\begin{array}{c} \Gamma_{y}\left(\mathcal{S}_{x} \Delta x(k)+\mathcal{I} y_{c}(k)+\mathcal{S}_{d} \Delta d(k)+\mathcal{S}_{u} \Delta U(k)-R(k+1)\right) \\ \Gamma_{u} \Delta U(k) \end{array}\right] \\ =&\left[\begin{array}{c} \Gamma_{y} \mathcal{S}_{u} \\ \Gamma_{u} \end{array}\right] \Delta U(k) \\ &-\left[\begin{array}{c} \Gamma_{y} {\left(R(k+1)-\mathcal{S}_{x} \Delta x(k)-\mathcal{I} y_{c}(k)-\mathcal{S}_{d} \Delta d(k)\right)} \\ \mathbf{0} \end{array}\right] \\ =&\mathcal{A}z-b \end{aligned}$

其中

$\begin{array}{l} z=\Delta U(k), \quad \mathcal{A}=\left[\begin{array}{c} \Gamma_{y} \mathcal{S}_{u} \\ \Gamma_{u} \end{array}\right], \quad b=\left[\begin{array}{c} \Gamma_{y} E_{p}(k+1 | k) \\ \mathbf{0} \end{array}\right] \end{array}$

$E_{p}(k+1 | k)=R(k+1)-\mathcal{S}_{x} \Delta x(k)-\mathcal{I} y_{c}(k)-\mathcal{S}_{d} \Delta d(k)$

因此
$\min _{z} \rho^{\mathrm{T}} \rho=(\mathcal{A}z-b)^T(\mathcal {A}z-b)$
的极值解为
$z^*=(\mathcal A^T\mathcal A)^{-1}\mathcal A^Tb$
。（充要条件自证）

最优控制序列为：

$\Delta U^{*}(k)=\left(\mathcal{S}_{u}^{\mathrm{T}} \Gamma_{y}^{\mathrm{T}} \Gamma_{y} \mathcal{S}_{u}+\Gamma_{u}^{\mathrm{T}} \Gamma_{u}\right)^{-1} \mathcal{S}_{u}^{\mathrm{T}} \Gamma_{y}^{\mathrm{T}} \Gamma_{y} E_{p}(k+1 | k)$

解第一个元素

$\Delta u(k)=\left[\begin{array}{cccc} I_{n_{u} \times n_{u}} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{0} \end{array}\right]_{1 \times m} \Delta U^{*}(k)$

定义
$K_{\mathrm{mpc}}=\left[\begin{array}{cccc} I_{n_{u} \times n_{u}} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{0} \end{array}\right]_{1 \times m}\left(\mathcal{S}_{u}^{\mathrm{T}} \Gamma_{y}^{\mathrm{T}} \Gamma_{y} \mathcal{S}_{u}+\Gamma_{u}^{\mathrm{T}} \Gamma_{u}\right)^{-1} \mathcal{S}_{u}^{\mathrm{T}} \Gamma_{y}^{\mathrm{T}} \Gamma_{y}$
，因此控制增量可以写为

$\Delta u(k)=K_{\mathrm{mpc}} E_{p}(k+1 | k)$
。

理解：

将
$E_{p}(k+1 | k)=R(k+1)-\mathcal{S}_{x} \Delta x(k)-\mathcal{I} y_{c}(k)-\mathcal{S}_{d} \Delta d(k)$
带入
$\Delta u(k)=K_{\mathrm{mpc}} E_{p}(k+1 | k)$
，可得

$\begin{aligned} \Delta u(k)=& K_{\mathrm{mpc}} R(k+1)-K_{\mathrm{mpc}}\left(\mathcal{S}_{x}+\mathcal{I} C_{c}\right) \Delta \hat{x}(k) -K_{\mathrm{mpc}} \mathcal{I} \hat{y}_{c}(k-1)-K_{\mathrm{mpc}} \mathcal{S}_{d} \Delta d(k) \end{aligned}$

$K_{\mathrm{mpc}} R(k+1)$
相当于未来参考输入的前馈补偿；
$-K_{\mathrm{mpc}} \mathcal{S}_{d} \Delta d(k)$
相当于可预测扰动的前馈补偿；
$-K_{\mathrm{mpc}}\left(\mathcal{S}_{x}+\mathcal{I} C_{c}\right) \Delta \hat{x}(k) -K_{\mathrm{mpc}} \mathcal{I} \hat{y}_{c}(k-1)$
相当于状态反馈补偿。

原文链接：https://blog.csdn.net/qq_40241332/article/details/105023605

“三步走”战略：

模型：

预测方程：

优化问题描述：

解第一个元素

理解：

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