高精度(整数)
由于java中自带计算高精度的对象，所以没有使用传统的方法来解决高精度问题
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高精度加法
给定两个正整数（不含前导 0），计算它们的和。
输入格式
共两行，每行包含一个整数。
输出格式
共一行，包含所求的和。
数据范围
1≤整数长度≤100000
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import java.math.BigInteger; import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner scanner=new Scanner(System.in); BigInteger a=scanner.nextBigInteger(); BigInteger b=scanner.nextBigInteger(); BigInteger add = a.add(b); System.out.println(add); } }
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高精度减法
给定两个正整数（不含前导 0），计算它们的差，计算结果可能为负数。
输入格式
共两行，每行包含一个整数。
输出格式
共一行，包含所求的差。
数据范围
1≤整数长度≤105
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import java.math.BigInteger; import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner scanner=new Scanner(System.in); BigInteger a=scanner.nextBigInteger(); BigInteger b=scanner.nextBigInteger(); scanner.close(); BigInteger subtract = a.subtract(b); System.out.println(subtract); } }
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高精度乘法
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给定两个非负整数（不含前导 0） A 和 B，请你计算 A×B 的值。
输入格式
共两行，第一行包含整数 A，第二行包含整数 B。
输出格式
共一行，包含 A×B 的值。
数据范围
1≤A的长度≤100000,
0≤B≤10000 -
import java.math.BigInteger; import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner scanner=new Scanner(System.in); BigInteger a=scanner.nextBigInteger(); BigInteger b=scanner.nextBigInteger(); scanner.close(); BigInteger multiply = a.multiply(b); System.out.println(multiply); } }
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高精度除法
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给定两个非负整数（不含前导 0） A，B，请你计算 A/B 的商和余数。
输入格式
共两行，第一行包含整数 A，第二行包含整数 B。
输出格式
共两行，第一行输出所求的商，第二行输出所求余数。
数据范围
1≤A的长度≤100000,
1≤B≤10000,
B 一定不为 0 -
import java.math.BigInteger; import java.util.Scanner; public class Main{ public static void main(String[] args) { Scanner scanner=new Scanner(System.in); BigInteger a=scanner.nextBigInteger(); BigInteger b=scanner.nextBigInteger(); scanner.close(); BigInteger divide = a.divide(b); System.out.println(divide); System.out.println(a.subtract(divide.multiply(b))); } }
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前缀和与差分
前缀和
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例题一
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输入一个长度为n的整数序列。
接下来再输入m个询问，每个询问输入一对l, r。
对于每个询问，输出原序列中从第Ⅰ个数到第r个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数数列。
接下来m行，每行包含两个整数l和r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共m行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤l<r ≤n,
1≤n, m ≤ 100000,
—1000≤数列中元素的值≤1000 -
import java.io.BufferedReader; import java.io.IOException; import java.io.InputStreamReader; public class Main { public static void main(String[] args) throws IOException { BufferedReader reader=new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)); int n,m; int[] a=new int[100010]; int[] s=new int[100010]; String[] strings=reader.readLine().split(" "); n=Integer.parseInt(strings[0]); m=Integer.parseInt(strings[1]); String[] strings1=reader.readLine().split(" "); for (int i = 1; i <=n; i++) { a[i]=Integer.parseInt(strings1[i-1]); } for (int i = 1; i <=n; i++) { s[i]=s[i-1]+a[i]; } while ((m--)>0){ int l,r; String[] strings2=reader.readLine().split(" "); l=Integer.parseInt(strings2[0]); r=Integer.parseInt(strings2[1]); System.out.println(s[r]-s[l-1]); } } }
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例题2
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输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。输入格式
第一行包含三个整数n, m，q。
接下来n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。
接下来q行，每行包含四个整数x1,y1,x2,y2表示一组询问。
输出格式
共q行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1 ≤n, m ≤1000,1≤q≤200000,1≤1 ≤2≤n,1≤y1≤ 92≤ m,
—1000≤矩阵内元素的值≤1000 -
二维数组求解前缀项和(图形理解)
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求解s[i] [j]
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求解前缀项和
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题解
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import java.util.Scanner; /** * * 796. 子矩阵的和 */ public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner scanner=new Scanner(System.in); int n,m,q; int[][] a=new int[1010][1010]; int[][] s=new int[1010][1010]; n=scanner.nextInt(); m=scanner.nextInt(); q=scanner.nextInt(); for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= m; j++) { a[i][j]=scanner.nextInt(); } } for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= m; j++) { // 计算, 结合求解s[i] [j]图来理解 s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]; } } while ((q--)>0){ int x1,x2,y1,y2; x1=scanner.nextInt(); y1=scanner.nextInt(); x2=scanner.nextInt(); y2=scanner.nextInt(); // 计算, 结合求解前缀项和图来理解 System.out.println(s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]); } } }
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差分
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差分是求前缀和的逆操作，对于原数组a[n],构造出一个数组b[n],使a[n]为b[n]的前缀和。一般用于快速对整个数组进行操作，比如对将a数组中[l,r]部分的数据全部加上c。使用暴力方法的话，时间复杂至少为O(n)，而使用差分算法可以将时间复杂度降低到O(1)。
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算法思路
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拥有数组b[n]后，想要对a数组中所有的数据加上c,只需要将b[1]+c即可，因为a[i]是b[i]的前缀和，a[i]=b[1]+b[1]+b[3]+……+b[i]。b[1]是所有的a[i]都拥有的子元素,将b[0]+c,那么a[n]中所有的数据都会加上c。如果想将a数组中[l,r]部分的数据全部加上c，只需要将b[l]+c,然后b[r+1]-c即可。
差分操作和前缀和一样数组下标都从1开始。b[l]+c后，l后面的数组都会加c。r后面的数据也会被改变，要改回来就得b[r+1]-c
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拥有数组b[n]后，想要对a数组中所有的数据加上c,只需要将b[1]+c即可，因为a[i]是b[i]的前缀和，a[i]=b[1]+b[1]+b[3]+……+b[i]。b[1]是所有的a[i]都拥有的子元素,将b[0]+c,那么a[n]中所有的数据都会加上c。如果想将a数组中[l,r]部分的数据全部加上c，只需要将b[l]+c,然后b[r+1]-c即可。
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如何构造b[n]
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构造b[n]看起来很难，其实根本就不用刻意去构造它。如果将a数组中[l,r]部分的数据全部加上c看作一次插入操作，那么构造的过程可以看作是将a进行了n次插入操作。第一次在[1,1]的范围插入了a[1],第二次在[2,2]范围插入a[2]，第二次在[3,3]范围插入a[3]……，以此类推，进行n次插入后，那么数组a就正好是数组b的前缀和了。
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例题一：
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输入一个长度为n的整数序列。
接下来输入m个操作，每个操作包含三个整数l,r,c，表示将序列中[1,r]之间的每个数加上c。请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数序列。
接下来m行，每行包含三个整数l， r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含n个整数，表示最终序列。
数据范围
1 ≤n, m ≤100000,1≤l≤r ≤n,
-1000≤c≤1000,
-1000≤整数序列中元素的值≤1000 -
import java.util.Scanner; public class Main { static int N = 100010; public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); int n = scanner.nextInt(); int m = scanner.nextInt(); int[] a = new int[N]; int[] b = new int[N]; for (int i = 1; i <= n; i++) { a[i] = scanner.nextInt(); } for(int i=1;i<=n;i++) { insert(b, i, i, a[i]); } while((m--)>0) { int l,r,c; l = scanner.nextInt(); r = scanner.nextInt(); c = scanner.nextInt(); insert(b, l, r, c); } for(int i=1;i<=n;i++)b[i] +=b[i-1]; for(int i=1;i<=n;i++) System.out.print(b[i]+" "); System.out.println(); scanner.close(); } public static void insert(int[] a,int l,int r,int c) { a[l]+=c; a[r+1]-=c; } }
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二维差分
- 二维差分思路和一维的思路是一样的。区别在于公式不同而已
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例题二：
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1)和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。
请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
输入格式
第一行包含整数 n,m,q
接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。
接下来 qq行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。
输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
数据范围
1≤n,m≤1000
1≤q≤100000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤c≤1000
−1000≤矩阵内元素的值≤1000-
import java.io.*; /** * 798. 差分矩阵 */ public class Main { public static void main(String[] args) throws IOException { BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)); String[] str1 = reader.readLine().split(" "); int n = Integer.parseInt(str1[0]); int m = Integer.parseInt(str1[1]); int q = Integer.parseInt(str1[2]); int N = 1010; int[][] a = new int[N][N]; int[][] b = new int[N][N]; for (int i = 1; i <= n; i++) { String[] str2 = reader.readLine().split(" "); for (int j = 1; j <= m; j++) { a[i][j] = Integer.parseInt(str2[j-1]); insert(b, i, j, i, j, a[i][j]); } } while (q-- > 0) { String[] str3 = reader.readLine().split(" "); int x1 = Integer.parseInt(str3[0]); int y1 = Integer.parseInt(str3[1]); int x2 = Integer.parseInt(str3[2]); int y2 = Integer.parseInt(str3[3]); int k = Integer.parseInt(str3[4]); insert(b, x1, y1, x2, y2, k); } for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= m; j++) { b[i][j] += b[i][j - 1] + b[i - 1][j] - b[i - 1][j - 1]; System.out.print(b[i][j] + " "); } System.out.println(); } reader.close(); } private static void insert(int[][] b, int x1, int y1, int x2, int y2, int k) { b[x1][y1] += k; b[x2 + 1][y1] -= k; b[x1][y2 + 1] -= k; b[x2 + 1][y2 + 1] += k; } }