文章目录

1.树的基本概念
2.二叉树

1.树的基本概念

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

子树是不相交的。

除了根结点外，每个结点有且只有一个父结点。

一棵N个结点的树有N-1条边。

在这里插入图片描述

结点的度

：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6，B的度为0
树的度

：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点

：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
双亲结点或父结点

：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点

：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
根结点

：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次

：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度

：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

非终端结点或分支结点

：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点
兄弟结点

：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点

：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
结点的祖先

：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙

：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林

：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

2.二叉树

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

或者为空
或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

在这里插入图片描述

2.2 两种特殊的二叉树

满二叉树

: 一棵二叉树，

如果每层的结点数都达到最大值

，

则这棵二叉树就是满二叉树

。

也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是2^k -1 ，则它就是满二叉树。
完全二叉树

: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

在这里插入图片描述

2.3 二叉树的性质

若规定

根结点的层数为1

，则一棵

非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) (i>0)个结点

.
若规定只有

根结点的二叉树的深度为1

，则

深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1 (k>=0)
对任何一棵二叉树, 如果其

叶结点个数为 n0

,

度为2的非叶结点个数为 n2

,则有n0＝n2＋1

（推导：

1.假设任意一棵二叉树有N个结点，又因为一棵二叉树，都是由叶结点n0，度为1的结点n1和度为2的结点n2 组成N = n0+n1+n2 （1）

2.对于任何一棵树，如果有N个结点，那么就会产生N-1条边

n0: 度为0的结点，向下只能够产生0条边

n1: 度为1的结点，向下能产生n1条边

n2: 度为2的结点，向下能产生2*n1条边

得到：N-1 = 0+n1+2*n2（2）

表达式（1）和（2）相结合得到n0=n2+1）
具有

n个结点的完全二叉树的深度k为上取整
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i

的结点有：

若i>0，

双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号

，无双亲结点

若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子

若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

练习题：

某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

答：度为0的结点 n0 = n2+1，n0 = 199+1=200 ，选B
在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

答：结点由度为0，度为1，度为2的结点组成。

在完全二叉树中，有偶数个结点数，所以度为1的结点有1个。 2n= n0+n1+2*n2 = n0+1+n2

又因为n0 = n2+1，所以n0 = n，选A
一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A 383

B 384

C 385

D 386

答：在完全二叉树中，有奇数个结点数，所以度为1的结点有0个。767=n0+0+n2

又因为n0 = n2+1，所以n0 = 384，选B
一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（）

A 11

B 10

C 8

D 12

答：k = log2(n+1) = log2(532)向上取整，选B

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 二叉树的遍历

所谓

遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)

。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按

照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。

前中后序遍历

如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树。

则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR：

前序遍历

(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树。

// 前序遍历 根->左子树->右子树
public void preOrder(TreeNode root) {
    if(root == null){
        return;
    }
    System.out.print(root.val+" ");
    preOrder(root.left);//递归
    preOrder(root.right);
}
//子问题思路：（一般用这个）
    public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        if(root == null) { //如果根节点为空，直接返回
            return list;
        }
        list.add(root.val);
        //左子树和右子树相加
        List<Integer> leftTree = preorderTraversal(root.left);
        list.addAll(leftTree);

        List<Integer> rightTree = preorderTraversal(root.right);
        list.addAll(rightTree);
        return list;
    }

LNR：

中序遍历

(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树。

// 中序遍历 左子树->根->右子树
    void inOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val+" ");
        inOrder(root.right);
    }

LRN：

后序遍历

(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点。

// 后序遍历 左子树->右子树->根
    void postOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val+" ");
    }

练习题：

完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为(A)

A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA
二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为(A)

A: E B: F C: G D: H

答：先序遍历的根节点是第一个结点E。
设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为(D)

A: adbce B: decab C: debac D: abcde

答：后序遍历的根节点是最后一个结点a，在中序遍历中a的左边就是左子树，右边的就是a的右子树。
二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为(A)

A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF

答：后序遍历的根节点是最后一个结点F，左边数字就是F的右子树或者左子树。

2.5.2 二叉树的基本操作习题

获取树中节点的个数

int count = 0;
int size(TreeNode root){
    if (root == null){
        return 0;
    }
    count++;
    return size(root.left)+size(root.right);
}
/**
 * 子问题思路
 */
int size1(TreeNode root){
    if (root == null) return 0;
    //左子树和右子树之和+根节点
    return size1(root.left)+size1(root.right)+1;
}

获取叶子节点的个数 – (遍历思路、子问题思路)

//1. 遍历思路：遍历到叶子结点，就让计数器++
int leafCount = 0;
public void getLeafNodeCount(TreeNode root){
    if(root == null){
        return;
    }
    //左子树和右子树都为null时，是叶子结点
    if (root.left == null && root.right ==null){
        leafCount++;
    }
    //递归左子树和右子树
    getLeafNodeCount(root.left);
    getLeafNodeCount(root.right);
}

//2. 子问题思路 ：左树叶子数 +右树叶子数 = 整棵树的叶子
 int leafCount1 = 0;
 public int getLeafNodeCount1(TreeNode root) {
     if (root == null) {
          return 0;
     }
     if (root.left == null &&root.right == null){
         //当前的root没有子树，自己就是叶子节点
         return 1;
     }
        return getLeafNodeCount1(root.left) + getLeafNodeCount1(root.right);
}

获取第K层节点的个数

子问题思路：是根节点的第k层，也就是第二层结点的第k-1层

public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){
    if (root == null || k <= 0){
        return 0;
    }
    if (k == 1){ //当k=1时，第一层
        return 1;
    }
    //k不为1时：递归
    return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) + getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
}

获取二叉树的高度
- 子问题思路：左树的高度和右树的高度取最大值然后+1（根节点）= 整棵树的高度
- 下面的函数时间复杂度：O(n) （看递归的次数，每个结点都递归，次数为n）
- 空间复杂度：O(k) k=log2(n) （空间复杂度为数的高度）

int getHeight2(TreeNode root) {
    if(root == null){
        return 0;
    }
    int leftHeight = getHeight2(root.left);
    int rightHeight = getHeight2(root.right);
    return leftHeight>=rightHeight ? leftHeight+1 : rightHeight+1;
}
int getHeight(TreeNode root){
    if(root == null){
        return 0;
    }
    //比较左树高度和右树高度,取最大值
    int leftHeight = getHeight(root.left);
    int rightHeight = getHeight(root.right);
    return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1 : rightHeight+1;

   //return getHeight(root.left) > getHeight(root.right)? (getHeight(root.left)+1):(getHeight(root.right)+1);
   //递归的次数太多了，重复计算了好多次，err
   //超出规定的运行时间：1.死循环 2.递归的次数太多了
}

检测值为value的元素是否存在

TreeNode find(TreeNode root,char val) {
    if (root == null) return null;
    if (root.val == val){
        return root;
    }
    TreeNode ret = find(root.left,val);
    if(ret!=null){
        return ret;
    }
    ret = find(root.right,val); //如果左子树没有值为value的元素，看看右子树
    if (ret != null){
        return ret;
    }
    return null;
}

判断一棵树是不是完全二叉树

思路：root为空返回true，不为空时，建立一个队列，将root放入队列，
队列不为空时，每次取出队列队头元素，对头元素不为null，则加入对头元素的左子树和右子树，为null则中止循环
之后，队列不为空时，检测队列中所有元素，如果都是null则为true，如果有别的元素，则为false

boolean isCompleteTree(TreeNode root){
    if(root == null){
        return true;
    }
    //队列
    Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
    queue.offer(root);//将根入队列
    //循环
    while (!queue.isEmpty()){// 队列不为空
        TreeNode cur = queue.poll(); //取出队头元素给cur
        if (cur != null){  //当取出的队头不为null时，加入其左子树和右子树两个元素
            queue.offer(cur.left);
            queue.offer(cur.right);
        }else {
            break; //为null时，中止循环
        }
    }
    //看队列剩下的元素是否都为null，如果有不为null的元素，那么就不是完全二叉树
    while(!queue.isEmpty()){
        TreeNode top = queue.peek();
        if(top != null){
            return false;
        }
        queue.poll();
    }
    return true;
}

r.left);

queue.offer(cur.right);

}else {

break; //为null时，中止循环

}

}

//看队列剩下的元素是否都为null，如果有不为null的元素，那么就不是完全二叉树

while(!queue.isEmpty()){

TreeNode top = queue.peek();

if(top != null){

return false;

}

queue.poll();

}

return true;

}

原文链接：https://blog.csdn.net/qq_42697165/article/details/125488261