刚体动力学基础学习

在这里插入图片描述

1 符号

r

$r$

：刚体上某个质量微元对固定点O的位置矢径

r_P

$r_{P}$

：刚体上一点P对固定点O的位置矢径

\rho

$ρ$

：刚体上某个质量微元对基点P的位置矢径

\rho_c

$ρ_{c}$

：刚体质心C对P的位置矢径

m

$m$

：质量

v_k

$v_{k}$

：点k的速度

\omega

$ω$

：角速度

a_k

$a_{k}$

：点k的加速度

Q

$Q$

：动量

G_k

$G_{k}$

：关于点k的绝对动量矩

′

G_k^{'}

$G_{k}^{^{'}}$

：关于点k的相对动量矩

F

$F$

：合外力

L_k

$L_{k}$

：对点k的合外力矩

2 动量

∫

Q=\int_m \dot r \ {\rm dm}=m\dot r_c=mv_c\tag{2-1}

$Q = \int_{m} \overset{r}{˙} d m = m \overset{r}{˙}_{c} = m v_{c} (2 - 1)$

3 动量矩

动量矩的这部分内容相对复杂，因为要分成好多种情况进行讨论。分别是：

对固定点的动量矩
对动点的绝对动量矩
对动点的相对动量矩

首先，要对动点和固定点做区分。动点就是在动坐标系上的点，固定点就是在固定坐标系（或者说是惯性系）下的点。

其次，要对绝对动量矩和相对动量矩做区分。动量矩的计算公式是矢径和速度的乘积的积分，所谓绝对动量矩就是用绝对速度求解的动量矩，而相对动量矩就是用相对速度（相对动坐标系的速度）来求解的动量矩。由此可知，对固定点求动量矩，都没有绝对动量矩和相对动量矩的说法，因为对固定点都是绝对动量矩。而对于动点求动量矩，就有二者的区分。

另外，特别值得注意的是，动点中有一个点，非常特殊，那就是质心，它是占据有非常特殊地位的一个动点。对于质心而言，绝对动量矩和相对动量矩是相等的。而对于一般的动点，这一条完全不成立。

3.1 对固定点O的动量矩

∫

(

)

(

)

∫

(

)

(

)

⋅

\begin{aligned} G_O&=\int_m r\times\dot r \ {\rm dm}\\ &=\int_m (r_P+\rho)\times (\dot r_P + \dot \rho) \ {\rm dm}\\ &=\int_m (r_P+\rho)\times (v_P + \omega\times\rho) \ {\rm dm}\\ &=r_P\times v_c m+\rho_c\times v_P m+J_P\cdot \omega\\ \end{aligned}\tag{3-1}

$G_{O} = \int_{m} r \times \overset{r}{˙} d m = \int_{m} (r_{P} + ρ) \times (\overset{r}{˙}_{P} + \overset{ρ}{˙}) d m = \int_{m} (r_{P} + ρ) \times (v_{P} + ω \times ρ) d m = r_{P} \times v_{c} m + ρ_{c} \times v_{P} m + J_{P} \cdot ω (3 - 1)$

3.2 对动点P的相对动量矩

公式(3-1)右端的第三项，实际上就是刚体在相对P点平动坐标系运动中对P点的动量矩。

′

⋅

G_P^{'}=J_P\cdot\omega\tag{3-2}

$G_{P}^{^{'}} = J_{P} \cdot ω (3 - 2)$

它的意思就是说，假设有一个坐标系固连在P点上，这个坐标系相对固定点O在平动，然后，计算刚体相对于P点的动量矩。因此，上式也可以写成：

′

∫

(

′

)

(

′

)

⋅

\begin{aligned} G_P^{'}&=\int_m \rho\times\dot\rho \ {\rm dm}\\ &=\int_m (\rho_c+\rho^{'})\times(\dot\rho_c+\dot\rho^{'})\ {\rm dm}\\ &=\rho_c\times\dot\rho_c m+J_c\cdot \omega=J_P\cdot\omega \end{aligned}\tag{3-3}

$G_{P}^{^{'}} = \int_{m} ρ \times \overset{ρ}{˙} d m = \int_{m} (ρ_{c} + ρ^{^{'}}) \times (\overset{ρ}{˙}_{c} + \overset{ρ}{˙}^{^{'}}) d m = ρ_{c} \times \overset{ρ}{˙}_{c} m + J_{c} \cdot ω = J_{P} \cdot ω (3 - 3)$

3.3 对动点P的绝对动量矩

公式(3-1)右端的第二和第三项，实际上是刚体对P点的绝对动量矩。

⋅

G_P=\rho_c\times v_P m+J_P\cdot \omega\tag{3-4}

$G_{P} = ρ_{c} \times v_{P} m + J_{P} \cdot ω (3 - 4)$

而上式又可以写作：

∫

(

′

)

⋅

\begin{aligned} G_P&=\int_m \rho\times\dot r \ {\rm dm}\\ &=\int_m (\rho_c+\rho^{'})\times\dot r\ {\rm dm}\\ &=\rho_c\times v_c m+J_c\cdot \omega \end{aligned}\tag{3-5}

$G_{P} = \int_{m} ρ \times \overset{r}{˙} d m = \int_{m} (ρ_{c} + ρ^{^{'}}) \times \overset{r}{˙} d m = ρ_{c} \times v_{c} m + J_{c} \cdot ω (3 - 5)$

3.4 对质心C的相对动量矩和绝对动量矩

相对动量矩

′

⋅

G_c^{'}=J_c\cdot\omega\tag{3-6}

$G_{c}^{^{'}} = J_{c} \cdot ω (3 - 6)$

刚体在绝对运动（相对于固定点O的运动）中，对刚体质心的动量矩，等于，刚体在相对运动（相对基点P的运动）中对质心的动量矩。即：

′

G_c=G_c^{'}\tag{3-7}

$G_{c} = G_{c}^{^{'}} (3 - 7)$

3.5 固定点的动量矩与对动点的动量矩之间的关系

对固定点的动量矩与对动点P的绝对动量矩的关系为：

⋅

G_O=r_P\times v_c m+G_P=r_P\times v_c m+\rho_c\times v_c m+J_c\cdot \omega\tag{3-8}

$G_{O} = r_{P} \times v_{c} m + G_{P} = r_{P} \times v_{c} m + ρ_{c} \times v_{c} m + J_{c} \cdot ω (3 - 8)$

当P点就是C点时，

⋅

G_O=r_c\times v_c m+J_c\cdot \omega=r_c\times v_c m+G_c\tag{3-9}

$G_{O} = r_{c} \times v_{c} m + J_{c} \cdot ω = r_{c} \times v_{c} m + G_{c} (3 - 9)$

4 动量定理

\frac{

{\rm d}Q}{

{\rm d}t}=F=m\ddot r_c=ma_c\tag{4-1}

$\frac{d Q}{d t} = F = m \overset{r}{¨}_{c} = m a_{c} (4 - 1)$

上式便是牛顿动力学方程。

5 动量矩定理

5.1 动量矩基本定理（无需证明的）

刚体对固定点O的动量矩定理：

\frac{

{\rm d}}{

{\rm d}t}G_O=L_O \tag{5-1}

$\frac{d}{d t} G_{O} = L_{O} (5 - 1)$

刚体对质心的动量矩定理：

\frac{

{\rm d}}{

{\rm d}t}G_c=L_c \tag{5-2}

$\frac{d}{d t} G_{c} = L_{c} (5 - 2)$

5.2 刚体对动点的绝对动量矩定理

首先申明，刚体对动点的绝对动量矩就是前文推导的

G_P

$G_{P}$

。对动点的绝对动量矩的意思就是，对平移坐标系的原点求动量矩，但是求解时用的是绝对速度。

所以，

∫

G_P=\int_m \rho\times\dot r \ {\rm dm}=\rho_c\times v_c m+G_c \tag{5-3}

$G_{P} = \int_{m} ρ \times \overset{r}{˙} d m = ρ_{c} \times v_{c} m + G_{c} (5 - 3)$

所以求导，

(

−

)

−

\begin{aligned} \frac{

{\rm d}}{

{\rm d}t}G_P &=\dot \rho_c\times mv_c+\rho_c\times ma_c+\frac{

{\rm d}}{

{\rm d}t}G_c\\ &=(\dot r_c-\dot r_P)\times mv_c+\rho_c\times F+L_c\\ &=-v_P\times mv_c+L_P \end{aligned}\tag{5-4}

$\frac{d}{d t} G_{P} = \overset{ρ}{˙}_{c} \times m v_{c} + ρ_{c} \times m a_{c} + \frac{d}{d t} G_{c} = (\overset{r}{˙}_{c} - \overset{r}{˙}_{P}) \times m v_{c} + ρ_{c} \times F + L_{c} = - v_{P} \times m v_{c} + L_{P} (5 - 4)$

其中，

L_P

$L_{P}$

代表了刚体所受的外力系对动点P的主矩，它的定义为：

L_P=\rho_c\times F+L_c\tag{5-5}

$L_{P} = ρ_{c} \times F + L_{c} (5 - 5)$

最终，刚体对动点的绝对动量矩定理的表达形式为：

−

\frac{

{\rm d}}{

{\rm d}t}G_P=-v_P\times mv_c+L_P\tag{5-6}

$\frac{d}{d t} G_{P} = - v_{P} \times m v_{c} + L_{P} (5 - 6)$

5.3 刚体对动点的相对动量矩定理

首先申明，刚体对动点的相对动量矩就是前文推导的

′

G_P^{''}

$G_{P}^{^{''}}$

。对动点的相对动量矩的意思就是，对平移坐标系的原点求动量矩，但是求解时用的是相对速度。

′

∫

G_P^{'}=\int_m \rho\times\dot\rho \ {\rm dm}=\rho_c\times\dot\rho_c m+G_c\tag{5-7}

$G_{P}^{^{'}} = \int_{m} ρ \times \overset{ρ}{˙} d m = ρ_{c} \times \overset{ρ}{˙}_{c} m + G_{c} (5 - 7)$

求导：

′

(

−

)

−

\begin{aligned} \frac{

{\rm d}}{

{\rm d}t}G_P^{'} &=\rho_c\times m \ddot\rho_c +\frac{

{\rm d}}{

{\rm d}t} G_c\\ &=\rho_c\times m (\ddot r_c-\ddot r_P) +L_c\\ &=\rho_c\times m a_c-\rho_c\times ma_P+L_c\\ &=\rho_c\times F-\rho_c\times ma_P+L_c\\ &=-\rho_c\times ma_P+L_P\\ \end{aligned}\tag{5-8}

$\frac{d}{d t} G_{P}^{^{'}} = ρ_{c} \times m \overset{ρ}{¨}_{c} + \frac{d}{d t} G_{c} = ρ_{c} \times m (\overset{r}{¨}_{c} - \overset{r}{¨}_{P}) + L_{c} = ρ_{c} \times m a_{c} - ρ_{c} \times m a_{P} + L_{c} = ρ_{c} \times F - ρ_{c} \times m a_{P} + L_{c} = - ρ_{c} \times m a_{P} + L_{P} (5 - 8)$

又因为，

′

⋅

G_P^{'}=J_P\cdot\omega

$G_{P}^{^{'}} = J_{P} \cdot ω$

，其中

J_P

$J_{P}$

是一个张量在某组坐标系（基）下的坐标矩阵，它的取值和基的选取非常相关。如果

J_P

$J_{P}$

表示在固定坐标系下，那么由于刚体的旋转，

J_P

$J_{P}$

的取值时时刻刻都会发生变化。而如果

J_P

$J_{P}$

表示在与刚体固连的动坐标系下，那么其取值可以为一个常量。另外，必须注意，当

J_P

$J_{P}$

表示在动坐标系下时，此时公式中相应的

\omega

$ω$

也是表示在动坐标系下的。所以：

′

(

⋅

)

⋅

\begin{aligned} \frac{

{\rm d}}{

{\rm d}t}G_P^{'}=\frac{

{\rm d}}{

{\rm d}t}(J_P\cdot\omega)={J_P}\cdot\dot\omega+\omega\times J_P\cdot\omega \end{aligned}\tag{5-9}

$\frac{d}{d t} G_{P}^{^{'}} = \frac{d}{d t} (J_{P} \cdot ω) = J_{P} \cdot \overset{ω}{˙} + ω \times J_{P} \cdot ω (5 - 9)$

所以，若把公式(5-9)带入公式(5-8)，可得：

⋅

{J_P}\cdot\dot\omega+\omega\times J_P\cdot\omega+\rho_c\times ma_P=L_P \tag{5-10}

$J_{P} \cdot \overset{ω}{˙} + ω \times J_{P} \cdot ω + ρ_{c} \times m a_{P} = L_{P} (5 - 10)$

若P点就是质心，则

\rho_c=0

$ρ_{c} = 0$

，由公式(5-10)，可得：

⋅

{J_c}\cdot\dot\omega+\omega\times J_c\cdot\omega=L_c \tag{5-11}

$J_{c} \cdot \overset{ω}{˙} + ω \times J_{c} \cdot ω = L_{c} (5 - 11)$

上式便是鼎鼎大名的欧拉动力学方程了。

最终，刚体对动点的相对动量矩定理的表达形式为：

′

−

\frac{

{\rm d}}{

{\rm d}t}G_P^{'}=-\rho_c\times ma_P+L_P\tag{5-12}

$\frac{d}{d t} G_{P}^{^{'}} = - ρ_{c} \times m a_{P} + L_{P} (5 - 12)$

6 牛顿—欧拉公式

⋅

\begin{aligned} &F=ma_c\\ &L_c={J_c}\cdot\dot\omega+\omega\times J_c\cdot\omega \end{aligned}\tag{6-1}

$F = m a_{c} L_{c} = J_{c} \cdot \overset{ω}{˙} + ω \times J_{c} \cdot ω (6 - 1)$

以上，是大名鼎鼎的牛顿欧拉公式，看着形式很简单，但在应用时，有一些细节务必注意。

$a_c a c 是质心处的绝对加速度$
$J_c J c 是质心处定义的在动坐标系下表示的惯性张量$
$\omega ω 是刚体在动坐标系下表示的角速度，通常也就是体坐标系$
$L_c L c 是对质心的合外力矩$

7 利用牛顿—欧拉公式推导常见的多连杆机器人动力学方程

假设所有量都是表示在动坐标系下的，也就是刚体的随体坐标系{b}系，另外{b}系的原点设置在b点，b点与刚体质心不重合。此时的牛顿欧拉方程为：

⋅

\begin{aligned} &F^b=ma_c^b\\ &L_c^b={J_c}\cdot\dot\omega^b+\omega^b\times J_c\cdot\omega^b \end{aligned}\tag{7-1}

$F^{b} = m a_{c}^{b} L_{c}^{b} = J_{c} \cdot \overset{ω}{˙}^{b} + ω^{b} \times J_{c} \cdot ω^{b} (7 - 1)$

首先分析牛顿方程：

(

)

(

)

(

)

\begin{aligned} &v_c^b=v_b^b+\omega^b\times r_{bc}^b\\ &\dot v_c^b=\dot v_b^b+\omega^b\times v_b^b+(\dot\omega^b+\omega^b\times\omega^b)\times r_{bc}^b+\omega^b\times(\omega^b\times r_{bc}^b)\\ &a_c^b=\dot v_c^b=\dot v_b^b+\omega^b\times v_b^b+\dot\omega^b\times r_{bc}^b+\omega^b\times(\omega^b\times r_{bc}^b)\\ \end{aligned}\tag{7-2}

$v_{c}^{b} = v_{b}^{b} + ω^{b} \times r_{b c}^{b} \overset{v}{˙}_{c}^{b} = \overset{v}{˙}_{b}^{b} + ω^{b} \times v_{b}^{b} + (\overset{ω}{˙}^{b} + ω^{b} \times ω^{b}) \times r_{b c}^{b} + ω^{b} \times (ω^{b} \times r_{b c}^{b}) a_{c}^{b} = \overset{v}{˙}_{c}^{b} = \overset{v}{˙}_{b}^{b} + ω^{b} \times v_{b}^{b} + \overset{ω}{˙}^{b} \times r_{b c}^{b} + ω^{b} \times (ω^{b} \times r_{b c}^{b}) (7 - 2)$

所以，得到结论：

(

)

\begin{aligned} &F^b=m\dot v_b^b+m\omega^b\times v_b^b+m\dot\omega^b\times r_{bc}^b+m\omega^b\times(\omega^b\times r_{bc}^b)\\ \end{aligned}\tag{7-3}

$F^{b} = m \overset{v}{˙}_{b}^{b} + m ω^{b} \times v_{b}^{b} + m \overset{ω}{˙}^{b} \times r_{b c}^{b} + m ω^{b} \times (ω^{b} \times r_{b c}^{b}) (7 - 3)$

接下来分析欧拉方程：

⋅

(

)

(

)

[

(

)

]

(

⋅

−

)

⋅

(

)

[

(

)

]

(

⋅

−

)

⋅

(

)

(

⋅

−

)

⋅

\begin{aligned} L_b^b&=L_c^b+r_{bc}^b\times F^b=L_c^b+mr_{bc}^b\times a_c^b\\ &={J_c}\cdot\dot\omega^b+\omega^b\times J_c\cdot\omega^b+mr_{bc}^b\times\dot v_b^b+mr_{bc}^b\times(\omega^b\times v_b^b)+mr_{bc}^b\times(\dot\omega^b\times r_{bc}^b)\\ &\ \ \ \ \ +mr_{bc}^b\times[\omega^b\times(\omega^b\times r_{bc}^b)]\\ &=(J_c+m{r_{bc}^b}\cdot{r_{bc}^b}\cdot I_{3\times3}-m{r_{bc}^b}^T{r_{bc}^b})\cdot\dot\omega^b+\omega^b\times J_c\cdot\omega^b+mr_{bc}^b\times\dot v_b^b\\ &\ \ \ \ \ +mr_{bc}^b\times(\omega^b\times v_b^b)+m\omega^b\times[r_{bc}^b\times(\omega^b\times r_{bc}^b)]\\ &=(J_c+m{r_{bc}^b}\cdot{r_{bc}^b}\cdot I_{3\times3}-m{r_{bc}^b}^T{r_{bc}^b})\cdot\dot\omega^b+mr_{bc}^b\times\dot v_b^b\\ &\ \ \ \ \ +mr_{bc}^b\times(\omega^b\times v_b^b)+\omega^b\times(J_c+m{r_{bc}^b}\cdot{r_{bc}^b}\cdot I_{3\times3}-m{r_{bc}^b}^T{r_{bc}^b})\cdot\omega^b \end{aligned}\tag{7-4}

$L_{b}^{b} = L_{c}^{b} + r_{b c}^{b} \times F^{b} = L_{c}^{b} + m r_{b c}^{b} \times a_{c}^{b} = J_{c} \cdot \overset{ω}{˙}^{b} + ω^{b} \times J_{c} \cdot ω^{b} + m r_{b c}^{b} \times \overset{v}{˙}_{b}^{b} + m r_{b c}^{b} \times (ω^{b} \times v_{b}^{b}) + m r_{b c}^{b} \times (\overset{ω}{˙}^{b} \times r_{b c}^{b}) + m r_{b c}^{b} \times [ω^{b} \times (ω^{b} \times r_{b c}^{b})] = (J_{c} + m r_{b c}^{b} \cdot r_{b c}^{b} \cdot I_{3 \times 3} - m r_{b c}^{b}^{T} r_{b c}^{b}) \cdot \overset{ω}{˙}^{b} + ω^{b} \times J_{c} \cdot ω^{b} + m r_{b c}^{b} \times \overset{v}{˙}_{b}^{b} + m r_{b c}^{b} \times (ω^{b} \times v_{b}^{b}) + m ω^{b} \times [r_{b c}^{b} \times (ω^{b} \times r_{b c}^{b})] = (J_{c} + m r_{b c}^{b} \cdot r_{b c}^{b} \cdot I_{3 \times 3} - m r_{b c}^{b}^{T} r_{b c}^{b}) \cdot \overset{ω}{˙}^{b} + m r_{b c}^{b} \times \overset{v}{˙}_{b}^{b} + m r_{b c}^{b} \times (ω^{b} \times v_{b}^{b}) + ω^{b} \times (J_{c} + m r_{b c}^{b} \cdot r_{b c}^{b} \cdot I_{3 \times 3} - m r_{b c}^{b}^{T} r_{b c}^{b}) \cdot ω^{b} (7 - 4)$

最终形式为：

⋅

(

)

⋅

L_b^b=J_b\cdot\dot\omega^b+mr_{bc}^b\times\dot v_b^b +mr_{bc}^b\times(\omega^b\times v_b^b)+\omega^b\times J_b\cdot\omega^b\tag{7-5}

$L_{b}^{b} = J_{b} \cdot \overset{ω}{˙}^{b} + m r_{b c}^{b} \times \overset{v}{˙}_{b}^{b} + m r_{b c}^{b} \times (ω^{b} \times v_{b}^{b}) + ω^{b} \times J_{b} \cdot ω^{b} (7 - 5)$

其中：

⋅

−

J_b = J_c+m{r_{bc}^b}\cdot{r_{bc}^b}\cdot I_{3\times3}-m{r_{bc}^b}^T{r_{bc}^b}\tag{7-6}

$J_{b} = J_{c} + m r_{b c}^{b} \cdot r_{b c}^{b} \cdot I_{3 \times 3} - m r_{b c}^{b}^{T} r_{b c}^{b} (7 - 6)$

所以，结合牛顿和欧拉方程，写成矩阵形式，有：

[

]

[

−

[

]

[

]

[

]

[

(

)

(

)

⋅

]

\begin{aligned} \left[\begin{matrix} F^b \\ L_b^b \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} mI_{3\times3} & -m[r_{bc}^b]_\times \\ m[r_{bc}^b]_\times & J_b \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \dot v_b^b \\ \dot\omega^b \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix} m\omega^b\times v_b^b+m\omega^b\times(\omega^b\times r_{bc}^b) \\ mr_{bc}^b\times(\omega^b\times v_b^b)+\omega^b\times J_b\cdot\omega^b \end{matrix}\right] \end{aligned}\tag{7-7}

$[F^{b} L_{b}^{b}] = [m I_{3 \times 3} m [r_{b c}^{b}]_{\times} - m [r_{b c}^{b}]_{\times} J_{b}] [\overset{v}{˙}_{b}^{b} \overset{ω}{˙}^{b}] + [m ω^{b} \times v_{b}^{b} + m ω^{b} \times (ω^{b} \times r_{b c}^{b}) m r_{b c}^{b} \times (ω^{b} \times v_{b}^{b}) + ω^{b} \times J_{b} \cdot ω^{b}] (7 - 7)$

原文链接：https://blog.csdn.net/handsome_for_kill/article/details/100118677