近日遇到一个需求，要从点云数据中提取空间平面。看了看计算机图形学中关于直线检测的霍夫变换的原理，自己写了一个用于三维空间点中进行平面检测的霍夫变换算法。
先说从最简单的，xy平面图像中，提取直线的霍夫变换开始。
假如xy平面上存在一条直线，用方程y=k
x+
b来表示。那么在kb平面上就可以用一个点(k,b)来对应xy平面上的这条直线。这个变换可以反过来，已知xy平面上有一个点(x0,y0)，所有过该点的直线都肯定满足：y0=k·x0+b。改写一下就是：b= x0·k + y0，在kb平面上是一条直线。
假如xy平面上存在一系列的点P1,P2,…构成一条直线，那么对每一个点都进行霍夫变换，最终会在kb平面上得到一个直线族，直线族相交于一点(k0,b0)，就是所要寻找的直线y=k0·x+b0。
上述算法原理上可行，但是实际中有两个严重问题：1 平行与y轴的直线斜率k不存在；2 k、b的取值范围都是(-∞,+∞)，编程中不可能接受这么大的平面。
因此直线检测的霍夫变换用的是法线式直线方程：p=x·cosθ+y·sinθ。θ是法线角度，p是直线到原点距离。很明显的，θ∈(0,π), p∈(-Max(|P1,P2,…|),Max(|P1,P2,…|))，在给定一堆点坐标的前提下，这两个参数都是有界的。
最终，为了检测出直角坐标X-Y中由点所构成的直线，将p-θ平面分割为许多小格。根据直角坐标中每个点的坐标(x,y)，在θ∈ (0,π)范围内内以小格的步长计算各个p值，所得值落在某个小格内，便使该小格的累加记数器加1。当直角坐标中全部的点都变换后，对小格进行检验，计数值最大的小格，其(θ，p)值对应于直角坐标中所求直线。
理解直线检测的原理之后，就可以推广到三维空间平面检测。关键在于寻找合适的平面方程形式，让方程参数取值范围有明确的边界。参考法线式直线方程，这里我选择用点法式平面方程：xsinθcosφ+ysinθsinφ+zcosθ=r。其中r为原点到平面距离，θ为平面法向量天顶角，φ为平面法向量方位角，上述概念不清楚的话可以去参考球坐标系。
对于给定的一系列XYZ空间点(P1,P2,…)，很明显，θ∈(0,π)，φ∈(-π,+π)，r∈(0,Max(|P1,P2,…|))，我们可以确定一个有界三维霍夫空间(θ,φ,r)，把该空间细分为许多小格子。对于每一个空间点坐标(x0,y0,z0)，按照θ∈(0,π)，φ∈(-π,+π)的取值范围去遍历计算r = x0·sinθcosφ+y0·sinθsinφ+z0·cosθ，所得值落在某个小格内，便使该小格的累加记数器加1。完成全部霍夫变换后，取计数值最大的小格，对应的(θ,φ,r)值就可以得到XYZ空间内的平面。